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28Abstände zwischen Punkten

Einleitung

Wenn wir nun Punkte, Geraden und Ebenen im Raum betrachten, können wir auch die Abstände zwischen ihnen bestimmen. Dabei ist generell der kürzeste Abstand von Interesse.

Dafür sucht man meist zwei passende Punkte, zwischen denen man den Vektor und dessen Betrag bestimmen kann. Die gesuchten Punkte bekommen wir durch geschickte Wahl von Geraden, die wir durch die jeweiligen Objekte legen.

Den einfachsten Fall behandeln wir gleich vorweg:

Punkt und Punkt

Wir können bereits den Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen und anschließend seinen Betrag ausrechnen. Der Betrag entspricht dann dem gesuchten Abstand.

Beispiel:

Gegeben sind zwei Punkte: A=(343)\vec{A} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} und B=(73,51)\vec{B} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}

Wir berechnen den Vektor von A\vec{A} nach B\vec{B} (oder andersrum):

AB=BA=(7(3)3,5413)=(107,52)\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 7 - (-3) \\ -3{,}5 - 4 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10 \\ -7{,}5 \\ -2 \end{pmatrix}

Als Letztes bestimmen wir den Betrag von AB\overrightarrow{AB}:

AB=102+(7,5)2+(2)2=100+56,25+4=160,2512,66|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{10^2+(-7{,}5)^2+(-2)^2}=\sqrt{100+56{,}25+4}=\sqrt{160{,}25}\approx12{,}66

Die beiden Punkte haben einen Abstand von etwa 12,66  LE12{,}66\;\text{LE} voneinander.


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