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24Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Wenn man eine Gerade und eine Ebene im Raum betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten wie diese zueinander stehen können:

1. Die Gerade liegt in der Ebene.

2. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

3. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt SS.

Vorgehensweise

Um die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, ist es empfehlenswert wenn man eine Parametergleichung der Geraden und eine Koordinatengleichung der Ebene verwendet.

Gegeben sind eine Gerade g:X=A+rug:\: \vec X= \vec A+r\cdot \vec u und eine Ebene EE in Koordinatenform

E:n1x1+n2x2+n3x3=n0E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0 mit n=(n1n2n3)\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}.

1. Entscheidung über die gegenseitige Lage von gg und EE

Man betrachtet das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor n\vec n der Ebene E E und dem Richtungsvektor u\vec u der Geraden gg. Das folgende Diagramm erläutert die Entscheidungsfindung.

Lage Gerade-Ebene als Baumdiagramm

2. Schnittpunktsberechnung (für den Fall nu0\vec{n}\circ\vec{u}\ne0 )

Schritt 1: Die Geradengleichung wird in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt:
Der allgemeine Geradenvektor hat die Koordinaten:
x1=A1+ru1x_1=A_1+r\cdot u_1; x2=A2+ru2 x_2=A_2+r\cdot u_2 und x3=A3+ru3x_3=A_3+r\cdot u_3
Durch Einsetzen dieser Terme in die Koordinatengleichung der Ebene E:n1x1+n2x2+n3x3=n0E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0 erhält man eine Gleichung für den Geradenparameter rr.
n1(A1+ru1)+n2(A2+ru2)+n3(A3+ru3)=n0n_1(A_1+r\cdot u_1)+n_2(A_2+r\cdot u_2)+n_3(A_3+r\cdot u_3)=n_0
Schritt 2: Auflösung der Gleichung nach dem Parameter rr
Man erhält für den Geradenparameter den Wert r=rSr=r_S.
Dieser Wert rSr_S wird in die Geradengleichung gg eingesetzt       S=A+rSu=(s1s2s3) \;\;\Rightarrow \; \vec S= \vec A+r_S\cdot \vec u =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix}.
Die Gerade gg und die Ebene EE schneiden sich im Punkt S(s1s2s3)S\left(s_1|s_2|s_3\right).

Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder der drei möglichen Lagebeziehungen ein Beispiel zum Ausklappen.

Hier findet man weitere Aufgaben zur Lagebeziehung.


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