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30Abstände zwischen Punkten und Ebenen

Um den Abstand eines Punktes zur Ebene zu berechnen, braucht man die Ebene zunächst in der Hesseschen Normalform. Die Ebenengleichung muss also möglicherweise erst umgeformt werden. Durch Einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung erhält man den Abstand des Punktes zur Ebene.

Methode 1: Hessische Normalenform

Abstand mit Hessescher Normalenform

Gegeben ist die Ebene z.B. in Koordinatenform

E:ax1+bx2+cx3d=0E:ax_1+bx_2+cx_3-d=0 und ein Punkt P(P1P2P3)P\left(P_1|P_2|P_3\right). Der Normalenvektor von EE ist:

n=(abc)\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}und n=a2+b2+c2|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

1. Man erstellt die Hessesche Normalenform:

EHNF=ax1+bx2+cx3dn=0EHNF=ax1+bx2+cx3da2+b2+c2=0E_{HNF}=\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|}=0\\E_{HNF}=\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0

2. Zur Berechnung des Abstandes setzt man die Koordinaten des Punktes P P in Hessesche Normalenform ein:

d(P,E)=aP1+bP2+cP3da2+b2+c2d(P,E)=\left|\dfrac{a\cdot P_1+b\cdot P_2+c\cdot P_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|

Nachteil dieser Methode: Es kann nur der Abstand und nicht der Lotfußpunkt berechnet werden.

Beispiel für Methode 1


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