Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

1
Auf einer Fähre befinden sich 20 Personen. Zwei Personen haben Schmuggelware dabei, einer dieser Schmuggler ist Felix. Ein Zollbeamter ruft der Reihe nach 3 Personen zur Kontrolle von der Fähre herunter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
1. mindestens einer der Schmuggler entdeckt wird?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Bilde das Gegenereignis.
  $P („Mindestens einer der Schmuggler$
  $wird entdeckt“)$
  $= 1 - P („Keiner der Schmuggler w i r d e n t d e c k t “)$
  18 von 20 Personen an Bord sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird, ist $\frac{18}{20}$ . Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{17}{19}$ . Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.
  $1 - P („Keiner der Schmuggler w i r d e n t d e c k t “) =$ $1 - (\frac{18}{20} \cdot \frac{17}{19} \cdot \frac{16}{18}) = \frac{27}{95} \approx 28,4 %$
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2. Felix entdeckt wird?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten wie Felix entdeckt werden könnte. 1. Bei der ersten Kontrolle. 2. Erst bei der zweiten Kontrolle. Davor wird irgendeiner der anderen Passagiere kontrolliert. 3. Erst bei der dritten Kontrolle. Diese Möglichkeiten müssen addiert werden.
  $P („Felix wird entdeckt“) =$
  $= \underset{bei der 1. Kontrolle}{\underset{⏟}{\frac{1}{20}}} + \underset{bei der 2. Kontrolle}{\underset{⏟}{(\frac{19}{20} \cdot \frac{1}{19})}}$ $+ \underset{bei der 3. Kontrolle}{\underset{⏟}{(\frac{19}{20} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18})}} =$
  $= \frac{1}{20} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20} =$
  $= \frac{3}{20} = 0,15 = 15 %$
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3. beide Schmuggler bei dieser Kontrolle entdeckt werden?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit
  $P = \frac{Anzahl günstiger Ergebnisse}{Anzahl möglicher Ergebnisse}$
  Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.
  Es gibt $(\begin{array}{c} 20 \\ 3 \end{array})$ Möglichkeiten, $3$ Menschen aus $20$ auszuwählen.
  Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es $18$ günstige Ergebnisse.
  $\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}) \cdot 18}{(\begin{array}{c} 20 \\ 3 \end{array})} = \frac{1 \cdot 18}{\frac{20!}{17! \cdot 3!}} = \frac{18}{1140} \approx 0,016 \approx 1,6 %$
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Gegeben ist: $P (A) = \frac{1}{5}$ ; $P (B) = \frac{1}{3}$ ; $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$

Berechne:

$P (A \cup B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:
$P (A \cup B)$ $=$ $P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
$=$ $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
$=$ $0,7$
Lösung mithilfe von Additionssätzen
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) =$
Bilde das Gegenereignis $P (B)$ von $P (B) = \frac{1}{3}$ .
$=$ $\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
$=$ $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
↓
Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
$=$ $\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
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Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.
$P (A \cap B) = \frac{3}{10} = 0,3$
Additionssätze
$P (A \cap B)$ $=$
↓
Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
$=$ $P (A \cup B)$
↓
Bilde das Gegenereignis.
$=$ $1 - P (A \cup B)$ $P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
$=$ $\frac{9}{30}$
$=$ $\frac{3}{10} = 0,3$
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Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

$P (A \cup B)$

3
Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E = " entweder A oder B "$ durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ , $B$ und $A \cap B$ aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Das Ereignis $" entweder A oder B "$ bedeutet, dass nur das Ereignis $A$ oder nur das Ereignis $B$ eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $" A oder B "$ eintritt, ist:
$P (" A oder B ") = P (A \cup B)$
Aber bei diesem Ereignis können auch $A$ und $B$ gleichzeitig auftreten.
Merke
Das Ereignis $" A oder B "$ heißt immer: Es tritt $A$ ein oder es tritt $B$ ein oder es treten $A$ und $B$ gleichzeitig ein.
Das heißt, du musst von der Wahrscheinlichkeit $P (" A oder B ")$ noch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $" A und B gleichzeitig "$ abziehen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Dafür musst du wissen:
$P (" A und B gleichzeitig ") = P (A \cap B)$
Also lautet das Endergebnis:
$\begin{array}{rcl} P (" entweder A oder B ") \\ = & P (" A oder B ") - P (" A und B gleichzeitig ") \\ = & P (A \cup B) - P (A \cap B) \end{array}$
4
Gegeben: $P (E_{1}) = 0,4$ ; $P (E_{2}) = 0,7$ ; $P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,3$
Berechne:
1. $P (E_{1})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
  Gesucht ist das Gegenereignis zu $E_{1}$ .
  Es gilt für $P (E_{1})$ :
  $P (E_{1}) + P (E_{1})$ $=$ $1$ $- P (E_{1})$
  $P (E_{1})$ $=$ $1 - P (E_{1})$
  ↓
  Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
  $=$ $1 - 0,4$
  $=$ $0,6$
  $\Rightarrow P (E_{1}) = 1 - 0,4 = 0,6$
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  Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.
2. $P (E_{1} \cup E_{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse $E_{1}$ und $E_{2}$ eintritt: $P (E_{1} \cup E_{2})$ .
  Verwende:
  $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (Satz von Sylvester)
  $P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
  $=$ $0,4 + 0,7 - 0,3$
  $=$ $0,8$
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  Da die Ereignisse nicht disjunkt sind (also $P (E_{1} \cap E_{2}) \neq 0$ ), musst du den Satz von Sylvester anwenden.
3. $P (E_{1} \cap E_{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
  Lösung mit einer Vierfeldertafel
  Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
  $E_{1}$
  $E_{1}$
  $E_{2}$
  0,3
  0,4
  0,7
  $E_{2}$
  0,1
  0,2
  0,3
  0,4
  0,6
  1
  Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
  Die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ ist in der 3. Zeile links:
  $P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
  Lösung mit Mengenalgebra
  Verwende
  $(E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{2}) = E_{1}$
  und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:
  $\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.
  $P (E_{1} \cap E_{2})$ $=$ $x$
  ↓
  Wir setzen die gegebenen Werte ein.
  $0,3 + x$ $=$ $0,4$
  ↓
  Löse nach x auf.
  $x$ $=$ $0,1$
  $\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
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  Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
  Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.
4. $P (E_{1} \cup E_{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
  Lösung mit einer Vierfeldertafel
  Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
  $E_{1}$
  $E_{1}$
  $E_{2}$
  0,3
  0,4
  0,7
  $E_{2}$
  0,1
  0,2
  0,3
  0,4
  0,6
  1
  Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
  Die Wahrscheinlichkeit für $P (E_{1} \cup E_{2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):
  $P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
  $=$ $0,3 + 0,1 + 0,2$
  $=$ $0,6$
  Mengenoperationen
  Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ .
  $P (E_{1} \cap E_{2}) = x$
  Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.
  $P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
  Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:
  $0,3 + x = 0,4$
  $x = 0,1$
  Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
  $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
  $P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
  Setze die entsprechenden Werte ein.
  $P (E_{1} \cup E_{2}) = 0,4 + (1 - 0,7) - 0,1 = 0,6$
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  Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
  Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.
5. $P (E_{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
  $P (E_{2}) + P (E_{2})$ $=$ $1$ $- P (E_{2})$
  $P (E_{2})$ $=$ $1 - P (E_{2})$
  ↓
  Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
  $=$ $1 - 0,7$
  $=$ $0,3$
  $\Rightarrow P (E_{2}) = 1 - 0,7 = 0,3$
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  Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.
5
Zwei Jungen und drei Mädchen sind eingeladen. Sie treffen nacheinander ein. Jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
2. abwechselnd ein Junge und ein Mädchen eintreffen
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  $P (M J M J M) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$
  $= 0,1 = 10 %$
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3. die drei Mädchen direkt nacheinander eintreffen?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  $P (M M M J J) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{1} = 0,1 = 10 %$
  $P (J J M M M) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{1} = 0,1 = 10 %$
  $P (J M M M J) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = 0,1 = 10 %$
  $\Rightarrow P (3 Mädchen hintereinander) = 10 % + 10 % + 10 % = 30 %$
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6
Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach, bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.
Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:
$𝐊 = der angesehene Monitor ist 𝐤𝐚𝐩𝐮𝐭𝐭$
$𝐆 = der angesehene Monitor ist 𝐠𝐮𝐭$
Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:
Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.
Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.
Fertig nach zwei Überprüfungen
Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:
Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad $KK GG$ . Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $P (KK GG) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} .$
Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad $GG KK$ . In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $P (GG KK) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} .$
Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:
$P (KK GG) + P (GG KK) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3 % .$
Fertig nach drei Überprüfungen
Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:
Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer $KK GG$ und $GG KK$ .
Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:
Das Ereignis $"nach drei Überprüfungen fertig"$ ist genau das Gegenereignis zu $"nach zwei Überprüfungen fertig"$ . Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt:
$\begin{array}{rcl} P ("nach drei Überprüfungen fertig") \\ = & 1 - P ("nach zwei Überprüfungen fertig") \\ = & 1 - \frac{1}{3} \approx 66,7 % . \end{array}$
Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen sollst, das sehr viele Pfade hat, schau nach, ob das Gegenereignis weniger Pfade hat. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Eregnisses wie folgt berechnen:
$P (Ereignis) = 1 - P (Gegenereignis) .$
Erstelle zunächst ein Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen). Berechne dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. Auch die Betrachtung eines Gegenereignisses kann hilfreich sein.
7
In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 6 Spanier und 10 Schweizer. Zwei Personen werden zufällig ausgelost. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Schweizer ausgelost wird?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Geg.: 5 Franzosen, 6 Spanier, 10 Schweizer.
$\Rightarrow$ Insgesamt: 21 Personen.
$P („genau ein Schweizer“)$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schweizer ausgelost wird, ist $\frac{10}{21}$ . Beim 2. Losen dürfen nur Spanier oder Franzosen gezogen werden. Daher $\frac{11}{20}$ . Da aber auch erst ein Franzose oder Spanier und dann erst ein Schweizer gezogen werden kann, muss das Ganze mal 2 genommen werden.
$= \frac{10}{21} \cdot \frac{11}{20} + \frac{11}{21} \cdot \frac{10}{20}$
$= 2 \cdot (\frac{10}{21} \cdot \frac{11}{20})$
Multipliziere aus.
$= 2 \cdot \frac{11}{42}$
$= \frac{11}{21} \approx 52,4 %$
8
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit $4, 6$ und $8$ Seitenflächen erstellen.
1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhältst du für die Augenzahlen $0, 1$ und $2$ bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.
  Würfel 1
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $= \frac{1}{4} = 25 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $= \frac{1}{4} = 25 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $= \frac{2}{4} = 50 %$
  Würfel 2
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $= \frac{2}{6} \approx 33 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $= \frac{2}{6} \approx 33 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $= \frac{2}{6} \approx 33 %$
  Würfel 3
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $= \frac{3}{8} = 37,5 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $= \frac{3}{8} = 37,5 %$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $= \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25 %$
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2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „ $2$ “ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
  Würfel 1 (4 Seiten)
  Würfel 2 (6 Seiten)
  Würfel 3 (8 Seiten)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine $2$ zu würfeln, ist Würfel $1$ .
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3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „ $0$ “ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „ $0$ “ zu werfen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine $0$ zu würfeln, von $100 %$ ab.
  Würfel 1
  $100 % - 25 % = 75 %$
  Würfel 2
  $100 % - 33 % = 67 %$
  Würfel 3
  $100 % - 37,5 % = 62,5 %$
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4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:
  Augenzahl
  0
  1
  2
  absolute Häufigkeit
  241
  253
  506
  Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.
  Würfel 1 (4 Seiten)
  Würfel 2 (6 Seiten)
  Würfel 3 (8 Seiten)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.
  Summe aller Würfe $\begin{array}{l} = 1000 \end{array}$
  Anteil 0 $= \frac{241}{1000} = 24,1 %$
  Anteil 1 $= \frac{253}{1000} = 25,3 %$
  Anteil 2 $= \frac{506}{1000} = 50,6 %$
  Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 infrage kommen kann.
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9
Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse
$Ω = {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4}}$
Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_{1}$
bis $E_{3}$ gegeben.
$E_{1} : = {ω_{1}, ω_{2}}$ ; $P (E_{1}) = 0,2$
$E_{2} : = {ω_{3}}$ ; $P (E_{2}) = 0,5$
$E_{3} : = {ω_{4}}$ ; $P (E_{3}) = 0,5$
1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1,2$ beträgt.
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  Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
2. Ändere $P (E_{3})$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Es muss gelten:
  $P (E_{1}) + P (E_{2}) + P (E_{3}) = 1$
  Löse nach $P (E_{3})$ auf.
  $1 - P (E_{1}) - P (E_{2}) = P (E_{3})$
  Setze die Werte aus der Angabe ein.
  $1 - 0,2 - 0,5 = 0,3$
  $\Rightarrow P (E_{3}) = 0,3$
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  Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.
3. Berechne $P ({ω_{1}})$ unter der Voraussetzung, dass $ω_{1}$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $ω_{2}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Aus der Angabe ist bekannt:
  $P (E_{1}) = P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
  Die Wahrscheinlichkeit $P ({ω_{1}})$ von $ω_{1}$ soll doppelt so groß sein wie $P ({ω_{2}})$ von $ω_{2}$ .
  Da die Wahrscheinlichkeit von Elementarereignissen direkt addiert werden kann, gilt außerdem:
  $P ({ω_{1}; ω_{2}})$ $=$ $P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
  ↓
  Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
  $0,2$ $=$ $2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
  ↓
  Fasse zusammen
  $0,2$ $=$ $3 \cdot P ({ω_{2}})$ $: 3$
  $P ({ω_{2}})$ $=$ $\frac{1}{15}$
  Da $P ({ω_{2}}$ ) doppelt so groß ist wie $P ({ω_{1}})$ ist
  $P ({ω_{1}}) = \frac{2}{15}$
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  Stelle eine Gleichung auf und löse diese.

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Augenzahl	0	1	2
absolute Häufigkeit	241	253	506

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$P (A \cup B)$	$=$	$P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
	$=$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$
	$=$	$0,7$

	$=$	$\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
	$=$	$\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$

$P (A \cap B)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$P (A \cup B)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$1 - P (A \cup B)$	$P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
	$=$	$\frac{9}{30}$
	$=$	$\frac{3}{10} = 0,3$

$P (A \cup B)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
	$=$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$1 - \frac{6}{30} + \frac{5}{30}$
	$=$	$1 - \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{29}{30}$

$P (E_{1}) + P (E_{1})$	$=$	$1$	$- P (E_{1})$
$P (E_{1})$	$=$	$1 - P (E_{1})$
	↓	Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,4$
	$=$	$0,6$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,4 + 0,7 - 0,3$
	$=$	$0,8$

$P (E_{1} \cap E_{2})$	$=$	$x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$0,3 + x$	$=$	$0,4$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$0,1$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,3 + 0,1 + 0,2$
	$=$	$0,6$

$P (E_{2}) + P (E_{2})$	$=$	$1$	$- P (E_{2})$
$P (E_{2})$	$=$	$1 - P (E_{2})$
	↓	Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,7$
	$=$	$0,3$

$P ({ω_{1}; ω_{2}})$	$=$	$P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
$0,2$	$=$	$2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Fasse zusammen
$0,2$	$=$	$3 \cdot P ({ω_{2}})$	$: 3$
$P ({ω_{2}})$	$=$	$\frac{1}{15}$

Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

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Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

Lösung mithilfe von Additionssätzen

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Vierfeldertafel

Additionssätze

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Lösung mit einer Vierfeldertafel

Lösung mit Mengenalgebra

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Lösung mit einer Vierfeldertafel

Mengenoperationen

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Fertig nach zwei Überprüfungen

Fertig nach drei Überprüfungen

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