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7Lineare (Un)abhängigkeit (2/2)

Drei Vektoren

Drei Vektoren a\vec{a}, b\vec{b} und c\vec{c} sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

(I)    k1a+k2b+k3c=0\mathrm{(I)}\;\;k_1\cdot\vec{a}+k_2\cdot\vec{b}+k_3\cdot\vec{c}=\vec{0}

Dabei ist (mindestens) einer der Koeffizienten kik_i von 00 verschieden.

Ist dagegen die Gleichung (I)\mathrm{(I)} nur erfüllbar, wenn alle ki k_i den Wert 0 annehmen, dann sind die Vektoren a\vec{a}, b\vec{b} und c\vec{c} linear unabhängig.

Bildliche Veranschaulichung:

Linear abhängige Vektoren:

Die drei Vektoren liegen in einer Ebene.

Linear Abhängig

Linear unabhängige Vektoren:

Die drei Vektoren liegen nicht in einer Ebene.

Grafik drei linear Unabhängige Vektoren

Beispiel 1

Sind die drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

(123),(121)und(101)\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Ansatz: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

k1(123)+k2(121)+k3(101)=(000)k_1\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+k_2\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+k_3\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Damit erhält man drei Gleichungen:

(I):      k1+k2+k3=0(II):        2k1+2k2+0=0(III):          3k1k2+k3=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&k_1 & + & k_2 & +&k_3&=&0&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &-2k_1 &+&2k_2& +&0&=&0&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&3k_1&-& k_2&+&k_3&=&0&\end{array}

Aus (II)      k1=k2\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;\;k_1=k_2, eingesetzt in (I)  und  (III)\mathrm{(I)}\;\text{und}\; \mathrm{(III)} erhält man die Gleichungen:

(I):      k1+k1+k3=0  2k1+k3=0(III):          3k1k1+k3=0  2k1+k3=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I')}:\;\;\;&k_1 & + & k_1 & +&k_3&=&0&\Rightarrow\;&2k_1 & +&k_3&=&0&\\\mathrm{(III')}:\;\;\;\;\;&3k_1&-& k_1&+&k_3&=&0&\Rightarrow\;&2k_1 & +&k_3&=&0&\end{array}

Rechnet man nun (I)(III)      0=0 \mathrm{(I')}-\mathrm{(III')}\;\Rightarrow \;\;0=0

Das ist eine wahre Aussage und bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Die drei Vektoren sind damit linear abhängig.

Möchte man eine Lösung des Gleichungssystems angeben, so kann z.B. k3=2k_3=2 gesetzt werden. Aus (I)\mathrm{(I')} folgt dann k1=1 k_1=-1 und aus (I)\mathrm{(I)} folgt k2=1 k_2 =-1.

Beispiel 2

Sind die drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

(013),(111)und(211)\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}

Ansatz: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

k1(013)+k2(111)+k3(211)=(000)k_1\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+k_2\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+k_3\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Damit erhält man ein Gleichungssytem, das man z.B. mit den Additionsverfahren lösen kann:

(I):      0+k2+2k3=0(II):        k1+k2+k3=0(III):          3k1+k2+k3=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&0 & + & -k_2 & +&2k_3&=&0&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &k_1 &+&k_2& +&k_3&=&0&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&3k_1&+& k_2&+&k_3&=&0&\end{array}

Man rechnet z.B. (3)(II)+(III)(I)(-3)\cdot \mathrm{(II)}+\mathrm{(III)}\Rightarrow \mathrm{(I')} und (2)(I)(II)(-2)\cdot \mathrm{(I)}\Rightarrow\mathrm{(II')}

(I):      02k22k3=0(II):          0+2k24k3=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I')}:\;\;\;&0 & - &2 k_2 & -&2k_3&=&0&\\\mathrm{(II')}:\;\;\;\;\;&0&+&2 k_2&-&4k_3&=&0&\end{array}

(I)+(II):                        0k2            6k3      =    0            k3=0\overline{\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0k_2\;\;\;-\;\;\;6k_3\;\;\;=\;\;0\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow k_3=0

k3=0k_3=0 eingesetzt in (I)k2=0 \mathrm{(I)} \Rightarrow k_2=0

k3=0k_3=0 und k2=0 k_2=0 eingesetzt in (II)k1=0\mathrm{(II)} \Rightarrow k_1=0

Damit sind alle ki=0k_i=0 , d.h. das Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung.

Die drei Vektoren sind linear unabhängig.


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