Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Einleitung

Wenn wir nun Punkte, Geraden und Ebenen im Raum betrachten, können wir auch die Abstände zwischen ihnen bestimmen. Dabei ist generell der kürzeste Abstand von Interesse.

Dafür sucht man meist zwei passende Punkte zwischen denen man den Vektor und dessen Betrag bestimmen kann. Die gesuchten Punkte bekommen wir durch geschickte Wahl von Geraden, die wir durch die jeweiligen Objekte legen.

Den einfachsten Fall behandeln wir gleich vorweg:

Punkt und Punkt

Wir können bereits den Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen und anschließend seinen Betrag ausrechnen. Der Betrag entspricht dann dem gesuchten Abstand.

Beispiel:

Gegeben sind zwei Punkte: %%\vec{A} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}%% und %%\vec{B} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3,5 \\ 1 \end{pmatrix}%%

Wir berechnen den Vektor von %%\vec{A}%% nach %%\vec{B}%% (oder andersrum):

%%\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 7 - (-3) \\ -3,5 - 4 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -7,5 \\ -2 \end{pmatrix}%%

Als letztes bestimmen wir den Betrag von %%\vec{AB}%%:

%%|\vec{AB}| = \sqrt{10^2 + (-7,5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 56,25 + 4} = \sqrt{160,25} \approx 12,66%%

Punkt und Gerade

Um den Abstand eines Punktes zu einer Gerade zu ermitteln, stellt man zunächst das Lot auf die Gerade auf und ermittelt den Schnittpunkt des Lots mit der Gerade.

Punkt und Ebene

Um den Abstand eines Punktes zur Ebene zu berechnen, braucht man die Ebene zunächst in der Hesseschen Normalform. Die Ebenengleichung muss also möglicherweise erst umgeformt werden. Durch einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung erhält man den Abstand des Punktes zur Ebene.

Beispiel

Gegeben ist der Punkt %%\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}%% und die Ebene %%E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\gamma \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}%%.

Gerade und Gerade

Gerade und Ebene

Ebene und Ebene

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