Aufgaben

Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme

Wende Potenzgesetze an und berechne.

Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division

Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.

Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen

Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.

Hinweis

Ein Polynom ist geordnet, wenn

  1. Glieder mit gleichen Exponenten zusammengefasst sind und
  2. der Funktionsterm nach fallenden Exponenten geordnet ist.

%%1+2x+x^2-4x^3%%

%%2+5x-2x^2+x+1%%

%%-3+3x^2-2x^2+1%%

%%2\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3%%

Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form %%a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0%% .

%%2\cdot(1-3x)-(5-x^2-3x^3)\cdot3%%

Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.

%%2\cdot(1-3x)-(5-x^2-3x^3)\cdot3=\\ 2-6x-15+3x^2+6x^3=\\6x^3+3x^2-6x-13%%

Grad des Polynoms: 3

Koeffizienten: %%\quad a_3 =6; \quad a_2 = 3; \quad a_1 = -6; \quad a_0 =-13%%

Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision $$(1+x^4):(2x-x^2+x+1)$$ in geordneter Form wiedergibt.

Das Divisorpolynom ist noch nicht geordnet.

Das Polynom des Dividenden ist noch nicht geordnet.

Dividend und Divisor eines Quotienten dürfen nicht vertauscht werden.

Richtig!

Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form %%a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0%% .

%%(1+x^4):(2x-x^2+x+1)%%

Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:

%%1+x^4=x^4+1%%

Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:

%%2x-x^2+x+1=-x^2+3x+1%%

Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:

%%(x^4+1):(-x^2+3x+1)%%

Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen$$f(x) = 3x^4-2x^3+x^2-1\quad\text{und}\quad g(x)= 2x^4+x^3-2x^2+x$$ Berechne %%f(x)-g(x)%%.

%%\begin{align}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\ \;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{align}%%

Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für %%f(x)%% und %%g(x)%% untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

  1. Weg

2.Weg

Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst %%\color{red}{-}g(x)%%.

Hinweise

Achte vor jeder Rechnung darauf, dass die Polynome nach fallenden Exponenten ihrer Glieder geordnet sind. Dies erreichst du durch eventuelles Umstellen der Glieder. Nur dadurch bleibt die Rechnung - auch bei späteren Polynomdivisionen - übersichtlich und du vermeidest Flüchtigkeitsfehler. Die beiden Polynome 4.Grades in diesem Beispiel sind bereits "geordnet".

Achte auch auf folgende Stolperfallen, die hier oft Ärger verursachen:

Es gilt z.B. %%x^2-(-2x^2)=x^2+2x^2=3x^2%%.

Beachte auch, dass beim Übergang von %%g(x)%% zu %%\color{red}{-}g(x)%% %%\color{red}{\text{alle}}%% Glieder des Polynoms ihr Rechenzeichen ändern.

Bilde für folgende Aufgaben die Differenz %%f(x)-g(x)%%.

%%\begin{align} f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\ g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{align}%%

Klicke an was stimmt!

Hier ist %%f(x)+g(x)%% gebildet!

Der Fehler liegt beim linearen Glied!

prima!

%%\begin{align} f(x) &=x^4-2x^3+x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+x^3-3x^2-x-3\end{align}%%

Bilde %%\color{red}{-}g(x)%% und addiere dann %%f(x)%% und %%\color{red}{-}g(x)%% spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=\quad \,x^4-2x^3+\;\;\;x^2-x+2\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{\color{red}{-}2x^4\,\color{red}{-}\;x^3\;\color{red}{+}3x^2\;\color{red}{+}x\color{red}{+}3}\\ f(x)-g(x) &=\;\;-x^4-3x^3+4x^2\quad\quad+5\end{align}%%

%%f(x)=1-x^3%% und %%g(x)=x^3+2x+x%%

Klicke an was stimmt!

Hier wurde %%g(x)-f(x)%% berechnet!

Das lineare Glied stimmt nicht!

prima!

Die Polynome sind noch nicht geordnet (%%f(x))%% bzw. zusammengefasst (%%g(x)%%).

%%f(x)=1-x^3%% noch nicht geordnet:

Geordnet: %%f(x)=-x^3+1%%

%%g(x)=x^3+2x+x%% noch nicht zusammengefasst:

Zusammengefasst: %%\color{red}{-}g(x)=\color{red}{-}x^3\color{red}{-}3x%%

Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=-x^3\quad\quad+1\\ \color{red}{-}g(x) &=\underline{-x^3\;-3x\quad\quad}\\ f(x)-g(x) &=-2x^3-3x+1 \end{align}%%

Das Polynom %%x^3-1%% sei das Ergebnis der Polynomdifferenz %%f(x)-g(x)%%.

Kreuze an was stimmt.

Dies ist nur in einem Sonderfall möglich. Sieh in der Lösung nach!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig überlegt. Kannst du das Ergebnis auch angeben?

Stets kann man aus %%f(x)-g(x)%% auch %%g(x)-f(x)%% erschließen, da immer gilt: $$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))$$

Also ist hier:$$g(x)-f(x)=-(x^3-1)=1-x^3$$

%%f(x)+g(x)%% kann man aus %%f(x)-g(x)%% nur im Sonderfall, dass %%g(x)%% das Nullpolynom %%g(x)=0%% ist erschließen. Dann ist %%f(x)+g(x)=f(x)-g(x)%%.

Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!

%%(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\ \color{red}{-(}\underline{-2x^3+3x^2}\color{red}{)}\\ \hphantom{(-2x}0\;\;\;+\;0 \;\; +2x-3\\ \hphantom{(-2x^3+3x^2+}\,\color{red}{-(}\underline{2x-3}\color{red}{)}\\ \hphantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}%%

Es gilt also: $$(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1$$

%%(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

Hinweis:

Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3\\ \color{red}{-(}\underline{-2x^3 \phantom{+3x^21} +2x}\color{red}{)}\\ \hphantom{(-2x^3+3}3x^2\phantom{+2x1} -3\\ \hphantom{-2x^3x^2}\color{red}{-(}\underline{3x^2\phantom{+2x1} -3}\color{red}{)}\\ \hphantom{-2x^2+3x^2+2x-31}0\end{array}%%

Es gilt also: $$(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3$$

%%(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^4-x^3-21x^2\;\;\;\;+x+20):(x^2+5x+4)=x^2-6x+5\\\underline{-(x^4+5x^3+4x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^3-25x^2\;\;\;+x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^3-30x^2-24x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5x^2+25x+20\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(5x^2+25x+20)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)%%

%%(3x^2+1):(2x^3-1)%%

%%(x^5-x^4+3x-3):(x-1)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} (x^5-x^4+3x-3):(x-1)=x^4+3\\ \color{red}{-(}\underline{x^5-x^4}\color{red}{)}\\ \hphantom{(-(x^5-}\;0\;+3x-3\\ \hphantom{(-2x^3+3}\,\color{red}{-(}\underline{3x-3}\color{red}{)}\\ \hphantom{(-2x^3+3x^2+2}\;\;\;0\end{array}%%

%%(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

%%(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)%%

Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit %%x%%. Ergänze %%0x=0%% im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.

%%(x^3+1{,}5x^2+0-0{,5}):(x-0{,}5)%%

Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3+1{,}5x^2+0-0{,}5):(x-0{,}5)=x^2+2x+1\\\underline{-(x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2+0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-0{,}5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-0{,}5)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%(x^2+1):(x-1)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

%%(x^2+1):(x-1)%%

Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit %%x%%. Ergänze %%0x=0%% im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.

%%=(x^2+0+1):(x-1)%%

Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(x^2+0+1):(x-1)=x+1+\displaystyle\frac{2}{x-1}\\ \color{red}{-(}\underline{x^2-x}\color{red}{)}\\ \hphantom{(x^2+0}\space x+1\\ \hphantom{(x^2+}\color{red}{-(}\underline{x-1}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+1): )x}2\quad\leftarrow \text{Rest}\end{array}%%

%%(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)%%

Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(4x^5-\;\,x^4):(2x^2-x+1)=2x^3+0,5x^2-0,75x-0,625+\displaystyle \frac{0,125x+0,625}{2x^2-x+1}\\ \color{red}{-(}\underline{4x^5-2x^4+\;2x^3}\color{red}{)}\\ \hphantom{(4x^5-x^4}x^4-\;2x^3\\ \hphantom{(4x^5-}\;\color{red}{-(}\underline{x^4-0,5x^3+0,5x^2}\color{red}{)} \\ \hphantom{(4x^5--x^4}-1,5x^3-0,5x^2\\ \hphantom{(4x^5-x^4}\color{red}{-(}\underline{-1,5x^3+0,75x^2-0,75x}\color{red}{)}\\ \hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-}\,-1,25x^2+\,0,75x\\ \hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2}\;\color{red}{-(}\underline{-1,50x^2+\,0,625x-0,625}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-x+1):(2x^2}0,125x+0,625\quad\text{Restpolynom}\end{array}%%

Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?

Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:$$(10x^2-5x+1):5 = 2x^2-x+0,2$$ Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?

Lösen mit Polynomdivision

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.

Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.

Eine Konstante, wie die Zahl %%5%%, kann deshalb wegen %%5=5\cdot x^0%% als Polynom 0. Grades betrachtet werden.

Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.

Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge %%\text{Division}\rightarrow\text{Multiplikation}\rightarrow\text{Subtraktion}%% ergeben sich hier wie folgt:

%%\begin{array} {l} \hphantom{\text{1. Restpolynom}}(10x^2-5x+1):5=\color{red}{2x^2}\color{blue}{-x}\color{green}{+0,2}\\ \hphantom{\text{1. Restpolyno}}\color{red}{-}\underline{10x^2 \quad \quad\quad}\\\color{red}{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad \color{red}{-5x+1}\\ \hphantom{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad \color{red}{+}\underline{5x \quad\; }\\ \hphantom{2x+}\color{blue}{\text{2. Restpolynom}}\quad \quad\;\; \color{blue}{+1}\\ \hphantom{2x+3+4+10x^2+2x+}\;\;\,\underline{\color{red}{-}\,1}\\ \hphantom{2x+3+2}\color{green}{\text{3. Restpolynom}}\quad \,\color{green}{0}\end{array}%%

%%(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

%%\phantom{-}\ (x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6 \\-\underline{(x^3-2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}5x^2-4x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(5x^2-10x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-x}6x-12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x-12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0%%

Es gilt also: $$(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6$$

%%(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)%%

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:

%%(-4x+5x^2-3+2x^3)=(2x^3+5x^2-4x-3)%%

Berechne nun %%(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)%% mit dem Verfahren der Polynomdivision:

%%\phantom{-}(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3\\ -\underline{(2x^3+x^2)}\\ \phantom{-(2x^3+(}4x^2-4x\\ \phantom{2x^3+}-\underline{(4x^2+ 2x)}\\ \phantom{(2x^3++5x^2}-6x-3\\ \phantom{2x^3+5x^2}-\underline{(-6x-3)}\\ \phantom{(2x^3+5x^2-4x-3)}0%%

Es gilt also: $$(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3$$

%%(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)%%

Polynomdivision

Verwende das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

Im Dividenden fehlt das Monom mit %%x^2%%. Ergänze deshalb %%0 \cdot x^2=0%% im Dividenden:

%%(x^4+4x^3+2x-3)=(x^4+4x^3+0+2x-3)%%

Benutze nun das Verfahren der Polynomdivision:

%%\phantom{-}(x^4+4x^3+0+2x-3):(x+2)=x^3+2x^2-4x+10+(\dfrac {-23}{x+2})\\ -\underline{(x^4+2x^3)}\\ \phantom{-(x^4+)}2x^3+0\\ \phantom{(x^4(}-\underline{(2x^3+4x^2)}\\ \phantom{(x^4+4x^3+}-4x^2+2x\\ \phantom{(x^4+4x}-\underline{(-4x^2-8x)}\\ \phantom{(-x^4+4x^3+0+2}10x-3\\ \phantom{(x^4+4x^3+0+}-\underline{(10x+20)}\\ \phantom{-(x^4+4x^3+0+2x-3)}-23 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leftarrow \text{Rest}%%

Es gilt also: $$(x^4+4x^3+0+2x-3):(x+2)=x^3+2x^2-4x+10+(\dfrac{-23}{x+2})$$

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=1%% eine Nullstelle. Da %%f(1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x-1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x-1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-4=0%%

%%\vert+4% %%

%%x^2=4%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt4=\pm2%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-2%%.

%%g(x)=x^3+3x^2-16x+12%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%g(x)=x^3+3x^2−16x+12%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%g(x)%% ein.

%%g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0%%

Die Funktion %%g(x)%% hat an der Stelle %%x_1=1%% eine Nullstelle. Da %%g(1)=0%%, wissen wir, dass %%g(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x-1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%g(x):(x-1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%g(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%g%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2+4x-12=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-4\pm8}{2}%%

%%x_2=\dfrac{4}{2}=2%%

%%x_3=\dfrac{-12}{2}=-6%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%g(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-6%%.

%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%

%%3x%% ausklammern.

%%h(x)=3x\cdot(x^3+4x^2-11x-30)%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Die Funktion %%h(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=0%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%h%% bestimmen, indem du die Klammer gleich %%0%% setzt.

%%x^3+4x^2-11x-30=0%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%-2%% für %%x%% ein.

%%(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0%%

Die Funktion %%h(x)%% hat an der Stelle %%x_2=-2%% eine Nullstelle. Da %%h(-2)=0%%, wissen wir, dass %%h(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+2)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15\\\underline{-(x^3+2x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2-11x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2+4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-15x-30\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-15x-30)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Setze das erhaltene Polynom gleich %%0%%.

%%x^2+2x-15=0%%

%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-2\pm8}{2}%%

%%x_3=\dfrac{6}{2}=3%%

%%x_4=\dfrac{-10}{2}=-5%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%h(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=-2%%, %%x_3=3%% und %%x_4=-5%%.

%%i(x)=x^3-7x-6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%i(x)=x^3-7x-6%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%i(x)%% ein.

%%i(1)=1^3-7\cdot1-6=-12%%

%%i(1)\neq0%%

Setze z.B. %%-1%% in %%i(x)%% ein.

%%i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0%%

Die Funktion %%i(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-1%% eine Nullstelle. Da %%i(-1)=0%%, wissen wir, dass %%i(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%i(x):(x+1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%i(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%i%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-x-6=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}%%

%%x_2=\dfrac62=3%%

%%x_3=\dfrac{-4}{2}=-2%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%i(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=3%% und %%x_3=-2%%.

Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

Zu text-exercise-group 2895:
Nish 2018-09-16 20:53:06
Diese Aufgabe sollte nochmal bzgl. den aktuellen Richtlinien zu Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden. Hier geht es v.a. darum, dass Überschriften nicht mehr verlinkt werden sollten ;)
LG,
Nish
chdieter 2018-09-17 07:33:57
Stimme der Argumentation, in Überschriften nicht zu verlinken, voll zu.
LG
Dieter
Antwort abschicken
Zu text-exercise-group 2895:
Renate 2016-11-15 11:44:27
AUFGABENGRUPPE AUFTEILEN
Meiner Meinung nach sollte diese Aufgabengruppe, die momentan von a) bis k) geht und Aufgaben recht unterschiedlicher Art und Schwierigkeit beinhaltet, besser in mehrere Aufgabengruppen unterteilt werden (mit einem jeweils passenden Überaufgabentext natürlich).

Man sollte dabei nämlich auch bedenken: Wir können in Lehrplanordner, anders als in Artikel, nur Aufgabengruppen als Ganzes einordnen - und müssen uns daher dann an der schwierigsten Teilaufgabe orientieren, wenn wir die Gruppe irgendwo einsortieren.

Viele Grüße
Renate (Serlo-Teammitglied Mathematikredaktion)
Nish 2018-09-16 20:51:44
Auch diese scheint mir veraltet zu sein ;) Gerne einfach wieder öffnen, falls ich falsch liege.
LG,
Nish
Zu text-exercise-group 2895:
Renate 2016-11-15 11:29:56
MISSVERSTÄNDLICHE AUFGABENSTELLUNG?
Ich hätte die Aufgabenstellung eigentlich so verstanden, dass man die Nullstellenberechnung und die Faktorisierung nur dann zu machen braucht, wenn die Polynomdivision aufgegangen ist.
Das steht zwar vielleicht nicht ausdrücklich so da, wäre aber deshalb naheliegend, weil die verlangte Polynomdivision ja dann, wenn sie nicht aufgeht, überhaupt nichts mit dem Rest der Aufgabe zu tun hat.
Nish 2018-09-16 20:48:47
Da diese Diskussion nun veraltet scheint, archiviere ich das mal ;)
LG,
Nish

%%(x^3+2x^2-x-2):(x-1)%%

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Neue Funktion : %%f\left(x\right)=x^2+3x+2%%

%%f\left(x\right)=x^2+3x+2%%

Gleich %%0%% setzen.

%%0=x^2+3x+2%%

%%x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}2%%

%%=\frac{-3\pm1}2%%

%%x_2=\frac{-3+1}2=\frac{-2}2=-1%%

%%x_3=\frac{-3-1}2=\frac{-4}2=-2%%

%%x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)%% ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

%%(4x^3-4x):(x+1)%%

%%\begin{array}{l}\;\;\;(4x^3-4x):(x+1)=4x^2-4x\\\underline{-(4x^3+4x^2)\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-4x\\\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

 

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=4x^2-4x%%  

%%f\left(x\right)=4x^2-4x%%

Gleich %%0%% setzen.

%%0=4x^2-4x+0%%

%%x_{2,3}=\displaystyle\frac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}%%

%%=\displaystyle\frac{4\pm\sqrt{16}}{8}%%

%%=\displaystyle\frac{4\pm4}{8}%%

%%x_2=\displaystyle\frac{4+4}{8}=\frac{8}{8}=1%%

%%x_3=\displaystyle\frac{4-4}{8}=\frac{0}{8}=0%%

%%4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)%% ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

%%(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)%%

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)=\frac23x^2+\frac23x-\frac43\\\underline{-(\frac23x^3+\frac43x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac23x^2-\frac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(\frac23x^2-\frac43x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac43x-\frac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-\frac43x-\frac83)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\frac23x^2+\frac23x-\frac43=0%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\sqrt{(\frac23)^2-4\cdot(\frac23)\cdot(-\frac43)}}{\frac43}%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\sqrt{\frac{36}9}}{\frac43}%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\frac63}{\frac43}%%

 

%%x_2=1%%

 

%%x_3=-2%%

 

%%\frac23x^3+2x^2-\frac83=\frac23(x+2)^2(x-1)%% ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für %%x=-2%% eine doppelte Nullstelle.

%%(x^4-8x^2-9):(x-3)%%

%%\begin{array}[l] &\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\ \underline{-(x^4-3x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\ \;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array} %%

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3%%

 

Als ganzzahlige Nullstellen des Terms %%x^3+3x^2+x+3%% kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes %%3%% in Frage.

Also die vier Zahlen: %%\pm1,\pm3%%.

Einsetzen ergibt %%f(-3)=-28+27-3+3=0%%. Daneben erhält man: %%f(\pm1) \neq0%% und %%f(+3) \neq0%%.

%%x=-3%% ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.

Somit muss die Polynomdivision %%f(x):(x+3)%% aufgehen.

%%\begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=x^2+1%%

 

%%x^2+1=0%%

%%\left|{-1}\right.%%

%%x^2=-1%%

 

%%\Rightarrow%% keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in %%\mathbb{R}%% .

Für den ursprünglichen Funktionsterm %%x^4-8x^2-9%% erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.

%%x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)%%

Zeige, dass die Polynomdivisionen dieser Aufgabengruppe nicht aufgehen. Gib für jede der zu den Polynomdivisionen gehörenden gebrochenrationalen Funktion deren asymptotisches Verhalten im Unendlichen an.

Hinweis

Jeder Quotient %%a:b%% (%%b\neq0%%) ist wertgleich dem Bruch %%\displaystyle\frac{a}{b}%%.

Als Beispiel gehört zur Polynomdivision %%(x^4+1):(x^2+1)%% die gebrochenrationale Funktion $$x\mapsto\frac{x^4+1}{x^2+1}$$

%%(2x^2-x-2):(x-1)%%

%%\begin{array}{l}\;\;(2x^2-x-2):(x-1)=\displaystyle2x+1-\frac1{x-1}\\\color{red}{-} \underline{(2x^2-2x)\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\color{red}{-}\underline{(1x-1)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\color {red}{Rest}\end{array}%%

Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest %%(-1)%% wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt.

Dem Quotient %%(2x^2-x-2):(x-1)%% entspricht die gebrochenrationale Funktion $$f(x)=\frac{2x^2-x-2}{x-1}$$

Die Polynomdivision hat f(x) in die Differenz aus dem Polynom ersten Grades %%a(x)=2x+1%% und der echtgebrochenrationalen Funktion %%r(x)%% zerlegt.

%%f(x)=\underbrace{2x+1}_{\displaystyle \color {red}{a(x)}} -\underbrace {\frac{1}{x-1}}_{\displaystyle \color {red}{r(x)}}%%

Bringe %%a(x)%% auf die linke Seite der Gleichung.

%%f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{-1}{x-1}%%

Für jede echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% gilt $$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}r(x)=0$$

$$f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{-1}{x-1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}$$

Damit unterscheiden sich %%f(x)%% und %%a(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade %%a(x)=2x+1%% ist deshalb die Asymptote von %%f(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich.

Graph Funktion Asymptote

%%(x^2-x):(x+1)%%

  %%\begin{array}{l}\;\;(x^2-x):(x+1)=x-2+\displaystyle\frac2{x-1}\\\color{red}{-}\underline{(x^2+x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;-2x+0\\\;\;\;\;\,\color{red}{-}\underline{(2x-2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2\;\;\;\;\color{red}{Rest}\end{array}%%

Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner dem Teilergebnis hinzugefügt.

Dem Quotienten %%(x^2-x):(x+1)%% entspricht die gebrochenrationale Funktion $$f(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$$

Die Polynomdivision hat %%f(x)%% in die Summe aus der linearen Funktion %%a(x)%% und die echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% zerlegt.

$$f(x)= \underbrace {x-2}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}}+\underbrace{\frac{2}{x+1}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}$$

Bringe %%a(x)%% auf die linke Seite der Gleichung.

$$f(x)-a(x)=\frac{2}{x+1}$$

Für jede echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% gilt $$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}r(x)=0$$

$$f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{2}{x+1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow0}\;\text{falls}\;x\rightarrow\pm \infty}$$

Damit unterscheidet sich %%f(x)%% von %%a(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade %%a(x)=x-2%% ist somit die Asymptote von %%f(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich.

Graph Funktion Asymptote

%%(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)%%

%%\begin{array}{l}\;\;(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)=\displaystyle\frac{1}{2}x-2+\frac{8x+1}{2x^2+4x}\\\underline{\color{red}{-}(x^3+2x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-4x^2+1\\\;\;\;\underline{\color{red}{-}(-4x^2-8x)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+8x+1\;\;\;\;\color{red}{Restpolynom}\end{array}%%

Die Polynomdivision "geht nicht auf".

Der Grad des verbleibenden Restpolynoms des Dividenden ist kleiner als der Grad des Divisors und es wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt

Dem Quotienten %%(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)%% entspricht die gebrochenrationale Funktion $$f(x)=\frac{x^3-2x^2+1}{2x^2+4x}$$

Die Polynomdivision hat %%f(x)%% in die Summe der linearen Funktion %%a(x)%% und eine echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% zerlegt.

$$f(x)= \underbrace{0,5x-2}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}} \;+ \underbrace{\frac{1}{2x^2+4x}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}$$

Bringe %%a(x)%% auf die linke Seite der Gleichung.

$$f(x)-a(x)=\frac{1}{2x^2+4x}$$

Für jede echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% gilt $$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}r(x)=0$$

$$f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{1}{2x^2+4x}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}$$

Damit unterscheidet sich %%f(x)%% von %%a(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade %%a(x)=0,5x-2%% ist somit die Asymptote der Funktion %%f(x)%% für %%x%% gegen plus/minus Unendlich.

Graph Funktion Asymptote

$$(1-x^4):(1+x+x^2)$$

Vorbereitung der Polynomdivision:

Ordne sowohl das Polynom des Dividenden als auch das Polynom des Divisors nach fallenden Potenzen.

%%(1-x^4):(1+x+x^2)= %%

%%(-x^4+1):(x^2+x+1)%%

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(-x^4+1):(x^2+x+1)=\displaystyle{-x^2+x+\frac{1-x}{x^2+x+1}}\\ \color{red}{-(}\underline{-x^4-x^3-x^2\color{red}{)}}\\ \hphantom{(-x^4+1}x^3+x^2+1\\ \hphantom{-(x^4+}\color{red}{-(}\underline{x^3+x^2+x}\color{red}{)}\\ \hphantom{-(x^4+1)=-x}-x+1\;\;\;\;\color{red}{Rest}\end{array}%%

ausführliche Polynomdivision mit den fehlenden Gliedern im Dividenden

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(-x^4+\color{red}{0}\cdot x^3+\color{red}{0}\cdot x^2+\color{red}{0}\cdot x+1):(x^2+x+1)=\displaystyle{-x^2+x+\frac{1-x}{x^2+x+1}}\\ \color{red}{-(}\underline{-x^4-\color{red}{1}\cdot x^3-\color{red}{1}\cdot x^2}\color{red}{)}\\ \hphantom{-((x^3(} \color{red}{+1}\cdot x^3\color{red}{+1} \cdot x^2+\color{red}{0} \cdot x\\ \hphantom{{-}-((}\color{red}{-(}\underline{\;\;\;\;\,x^3+\;\;\;\;\,x^2+\;\;\;\,x\color{red}{)}}\\ \hphantom{-(x^3-(+x^3+x^3+x^3+\,} -x+1\end{array}%%

Dem Quotienten %%(-x^4+1):(x^2+x+1)%% entspricht die gebrochenrationale Funktion $$f(x)=\frac{-x^4+1}{x^2+x+1}$$.

Die Polynomdivision hat %%f(x)%% in die Summe aus dem Polynom 2. Grades %%a(x)=-x^2+x%% und die echt gebrochenrationale Funktion r(x) mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 2 zerlegt.

%%\displaystyle f(x) =\underbrace{-x^2+x}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}}+\underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}%%

Bringe %%a(x)%% auf die linke Seite der Gleichung.

%%f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{1-x}{x^2+x+1}%%

Für jede echtgebrochenrationale Funktion %%r(x)%% gilt:

%%\lim_{x \rightarrow \pm \infty}r(x)=0%%

%%\displaystyle f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}%%

Damit unterscheiden sich %%f(x)%% und %%a(x)%% für x gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die nach unten geöffnete Parabel %%a(x)%% ergibt die asymptotische Kurve von %%f(x)%% für x gegen plus/minus Unendlich.

Grapgh Funktion Parabel

Vergleiche die Schritte der gewöhnlichen schriftlichen Division am Beispiel %%2998:14%% mit der Polynomdivision!

Zahlenangaben wie 2998 und 14 sind Schreibweisen für Zahlen im Dezimalsystem, einem sogenannten Stellenwertsystem mit der Basis 10.

%%\begin{array} {rrcl} \text{Es gilt:} &2998 &= &2\cdot10^3+9\cdot10^2+9\cdot10+8\\ \text{und} &14 &= &1\cdot10+4\end{array}%%

Ersetzt man die Basis 10 durch eine Variable %%x%%, so entspricht die Division der beiden natürlichen Zahlen 2998 und 14 unmittelbar einer Polynomdivision:

$$2998:14=(2x^3+9x^2+9x+8):(x+4)$$

Durchführung der Zahlendivision:

%%\begin {array} {l} \phantom{-}2998:14 = 214 + \frac{2}{14}\\ \color{red}{-}\underline{28}\\ \phantom{-2}19\\ \phantom{}\color{red}{-}\underline{14}\\ \phantom{-28}58\\ \phantom{2}\color{red}{-}\underline{56}\\ \phantom{-289}2 \;\;\;\color{red}{\text{Rest}}\end{array}%%

Durchführung der Polynomdivision:

%%\begin{array} {l} \phantom{-} (2x^3+9x^2+9x+8):(x+4) = 2x^2 +x + 5 -\displaystyle\frac{12}{x+4}\\ \;\color{red}{-}(\underline{2x^3+8x^2})\\ \phantom{-2(2x^3+}\;x^2+9x\\ \phantom{-2(x^3} \color{red}{-}(\underline{x^2+4x})\\ \phantom{-(2x^3+9x^2+2} 5x+8\\ \phantom{-(2x^3+9x^2}\; \color{red}{-}(\underline{5x+20})\\ \phantom{-2x^3+9x^2+9x+8} -12 \;\;\;\;\color{red}{\text{Rest}} \end{array}%%

Du hast schon früh erfahren, dass die Division zweier natürlicher Zahlen oft "nicht aufgeht". Dies bedeutet dann, dass das Ergebnis der Division ein gemischter Bruch ist.

Hier: %%2998:14\;=\;214\;+\;\frac17=214\frac17%%.

Bei der Polynomdivision bedeutet das "Nichtaufgehen" der Division, dass das Ergebnis eine Summe oder Differenz aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion ist.

Hier: %%2x^2+x+5%% und %%\displaystyle-\frac{12}{x+4}%%.

Lass dich nicht verwirren:

Setze in das Ergebnis der Polynomdivision %%x=10%% ein, so ergibt sich natürlich auch %%214\frac17%% als Zahlenergebnis.

Tintenkleckse

Was verbirgt sich dahinter?

Setze a für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division: $$\text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\text{Divisor} = \text{Dividend}$$

%%\begin{align}(x+2)\cdot(x^2-1) &= x^3+a-x-2 \\ x^3-x+2x^2-2&=x^3+a-x-2\\ a&=2x^2 \end{align}%%

Löse die Gleichung nach %%a%% auf.

Der Tintenklecks verdeckt den Term %%2x^2%%.

Setze %%a%% für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division:

$$\text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\text{Divisor} = \text{Dividend}$$

%%\begin{align}(x^2+1)\cdot(a+1) &= -2x^3+x^2-2x+1\\ ax^2+x^2+a+1 &= -2x^3+x^2-2x+1\\ a(x^2+1) &=-2x^3-2x\\ a(x^2+1) &=-2x(x^2+1)\\ a &=-2x\end{align}%%

Löse die Gleichung nach a auf.

Der Tintenklecks verdeckt den Term %%-2x%%.

Alternative Lösung über die Polynomdivision

%%(-2x^3+x^2-2x+1):(a+1)=x^2+1%%

Starte die Polynomdivision

Schon der erste Schriit des Verfahrens der Polynomdivision ergibt einen Wert für %%a%%:

%%\begin{align} -2x^3:a &= x^2\;\;\;\;\;\;\;|\cdot a \\ -2x^3 &=a\cdot x^2\;\;\;|:x^2\\ \Rightarrow a &=-2x \end{align}%%

Es ist allerdings noch nachzurechnen, dass die Polynomdivision mit diesem Wert für %%a%% auch wirklich aufgeht.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} (-2x^3+x^2-2x+1):(\color{red}{-2x}+1)=x^2+1\\ \color{red}{-} (\underline{-2x^3+x^2})\\ \hphantom{-(2x^3+x+1}-2x+1\\ \hphantom{-2x^3+x^2}\;\,\color{red}{-}\underline{(-2x+1)}\\ \hphantom{(-2x^3+x^2-2x+1+}\color{red}{0} \end{array}%%

Die Polynomdivision geht also mit %%a=-2x%% tatsächlich auf. Der Tintenklecks ist entzaubert!

Setze %%a%% für den gesuchten Klecks ein und starte mit der Multiplikationsprobe der Division.

$$\text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\;\text{Divisor}=\text{Dividend}$$

%%\begin{align} (x-2)\cdot(x^2-x+a)&=x^3-3x^2+4 \\ x^3-x^2+ax-2x^2+2x-2a &= x^3-3x^2+4\\ x^3-3x^2+2x+a(x-2) &=x^3-3x^2+4\\ a(x-2) &=4-2x\\ a(x-2) &=-2(x-2)\;\;\;\;\;\;|:(x-2)\\ a&=-2 \end{align}%%

Löse die Gleichung nach %%a%% auf.

Der Tintenklecks verdeckt die Zahl %%-2%%.

Alternative Lösung über die Polynomdivision

$$\begin{array} {l} \hphantom{\-} (x^3-3x^2\;\;\;\;\;\;+4)\cdot(x^2-x+a)=x-2\\ \color{red}{-}\underline{(x^3-\;x^2+ax)}\\ \hphantom{-x^3} -2x^2-ax+4\\ \hphantom{-}\color{red}{-}\underline{(-2x^2+2x-2a)}\\ \hphantom{-x\; } -(\underbrace{a+2}_{\color{red}{\displaystyle 0\text{!}}})x +(\underbrace{4+2a}_{\color{red}{\displaystyle0\text{!}}}) \end{array}$$

Die Polynomdivision geht genau für %%a=-2%% auf.

Polynomdivisionen mit Parametern

Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

Hinweis

Die Dividendenpolynome der Aufgaben enthalten jeweils einen Paramter %%a%% bzw. %%e%%. Dies macht den algebraischen Ablauf der Polynomdivisionen etwas anspruchsvoller, ist aber für den gewohnten Ablauf der Divisionsarbeit kein Hindernis.

%%(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a):(x+2)%%

[Polynomdivision]()

Das Polynom des Dividenden ist vom Grade 3 und nach fallenden Potenzen geordnet und somit für das Divisionsverfahren geeignet. Die Koeffizienten beim quadratischen und beim linearen Glied sind in Klammern stehende Differenzen mit einem Parameter a.

%%\begin{array} {l} \phantom{-} (x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a):(x+2)=x^2+(1-a)x-a \\ \color {red}{-}(\underline{x^3+\;\;\;\;\;\;\;2x^2}) \\ \phantom {-(x^3+}\;(1-a)x^2+(2-3a)x \\ \phantom{(x+}\color {red} {-}(\underline{(1-a)x^2+(2-2a)x})\\ \phantom {-(x^3+(3-a)x^2+(2} \;\;-ax-2a\\ \phantom {-(x^3+(3-)\;x^2+(2}\color {red}{-}(\underline{-ax-\;2a})\\ \phantom {-(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x)x-}\color{red}0\\ \end{array}%%

Da die Division des Polynom 3.Grades durch %%(x+2)%% aufgegangen ist, hat es %%x_1=-2%% als 1. Nullstelle.

Die eventuellen Nullstellen des Ergebnispolynoms %%x^2+(1-a)x-a%% sind dann seine weiteren Nullstellen.

%%x^2+(1-a)x-a=0%%

Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

%%x_{2/3}=\displaystyle \frac{-(1-a)\pm\sqrt{(1-a)^2-4\cdot1\cdot(-a)}}{1\cdot2}%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle \frac{(-1+a)\pm\sqrt{1-2a+a^2+4a}}2%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{(-1+a)\pm\sqrt{1+2a+a^2}}2%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{(-1+a)\pm\sqrt{(1+a)^2}}2%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{(-1+a)\pm(1+a)}2%%

 

%%x_2=a \wedge x_3=-1%%

Alle Nullstellen des Polynoms 3. Grades sind: -1, 2, a

Für das gegebene Polynom 3. Grades %%x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a%% ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung:

%%(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a)=(x-a)(x+2)(x+1)%%

%%(-x^3+x^2+\mathrm{ex}^2-\mathrm{ex}+2x-2e):(x-2)%%

Vorbereitung der Polynomdivision

Bevor man mit einer Polynomdivision beginnt, muss man

  • sicherstellen, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor die Polynome nach fallenden Exponenten geordnet sind und

  • sollte man Glieder mit gleichem Exponenten zusammenfassen.

Dies erreicht man durch eventuelles Umstellen von Gliedern und durch Ausklammern.

Beide Polynome sind hier bereits nach fallenden Potenzen geordnet. Sowohl das Polynom 3. Grades des Dividenden, als auch das Polynom 1. Grades des Divisors. Die quadratischen und die linearen Glieder des Dividendenpolynoms sind aber noch nicht zusammengefasst.

%%-x^3+\color{red}{\underbrace{x^2+ex^2}_{\displaystyle(1+e)x^2}}-\color{red}{\underbrace{ex+2x}_{\displaystyle(e-2)x}} -2e%%

Fasse im Dividenden die quadratischen und die linearen Glieder durch Ausklammern zusammen.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} (-x^3+(1+e)x^2-(e-2)x-2e):(x-2)=-x^2+(e-1)x+e\\ \color{red}{-}\underline{(-x^3\;\;\;\;\;\;\,\,+2x^2})\\ \hphantom{(-x^3+(1}\color{red}{(e-1)}x^2-(e-2)x\\ \hphantom{-(-x^3}\color{red}{-}\underline{[(e-1)x^2-2(e-1)x}]\\ \hphantom{-(x^3+(1+e)x^2-(e-2)x-}\color{red}{e}x-2e\\ \hphantom{-(x^3+(1+e)x^2-(e-2}\color{red}{-}(\underline{ex-2e})\\ \hphantom{-(x^3+(1+e)x^2-(e-2)x-2e}0 \end{array}%%

alternative Polynomdivision (ohne Zusammenfassen im Dividendenpolynom)

%% \begin{array}[l] \;\;\;(-x^3+x^2+ex^2-ex+2x-2e):(x-2)=-x^2+(-x+ex)+e\\ \underline{-(-x^3+2x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2+ex^2-ex+2x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{(-x^2+ex^2-2ex+2x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ex-2e\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(ex-2e)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array} %%

%%-x^2+(e-1)x+e=0%%

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel

%%x_{2;3}=\displaystyle\frac{-(e-1)\pm\sqrt{(e-1)^2-4\cdot(-1)\cdot e}}{-2}%%

Das Minus in Nenner und Zähler kürzt sich weg.

%%x_{2;3}=\displaystyle\frac{(e-1)\pm\sqrt{e^2-2e+1+4e}}2%%

Unter der Wurzel zusammenfassen

%%x_{2;3}=\displaystyle\frac{(e-1)\pm\sqrt{e^2+2e+1}}2%%

Auf die Diskriminante unter der Wurzel kann die erste Binomische Formel angewendet werden.

%%x_{2;3}=\displaystyle\frac{(e-1)\pm\sqrt{(e+1)^2}}2%%

Wurzelziehen

%%x_{2;3}=\displaystyle\frac{(e-1)\pm(e+1)}2%%

%%x_2=e \wedge x_3=-1%%

 

Für das gegebene Polynom 3. Grades %%-x^3+x^2+ex^2-ex+2x-2e%% ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung: %%(x+1)(x-2(x-e)%%.

Ausgefallene Polynomdivisionen

Berechne: $$(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)$$

Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

Die Koeffizienten der Polynome müssen nicht ganzzahlig sein. Es können auch Brüche oder gar irrationale Zahlen vorkommen. Das Verfahren der Polynomdivision wird dadurch nicht beeinflusst. Lediglich einzelne Rechenschritte gestalten sich teilweise unangenehmer.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} \displaystyle(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)={x^2+(\sqrt{3}+1)+\frac{\sqrt{3}+2}{ x^2+1}}\\ -(\underline{x^4\;\,\;\;-x^2})\\ \;\;\;(\sqrt{3}+1)x^2\;+1\\ -[\underline{(\sqrt{3}+1)x^2-(\sqrt{3}+1)]}\\ \hphantom{-(x^4+3+x^2+1}\sqrt{3}+2 \end{array}%%

Berechne:$$(2x^4+x^2-x-1):(x^2-1):(x^2+1)$$

So wie die Aufgabe gestellt ist, hat man zwei Polynomdivisionen nacheinander durchzuführen. Dies kann man vermeiden und kommt mit einer Polynomdivision aus, wenn man die folgende Rechenregel für Divisionen benutzt: $$a:b:c=a:(b\color{red}{\cdot}c)$$

Wende diese Regel auf die gestellte Aufgabe an.

%%\displaystyle {(2x^4+x^2-x-1):(x^2-1):(x^2+1)=(2x^4+x^2-x-1):\color{red}{[}\color{red}{\underbrace{(x^2-1)\color{red}{\cdot}(x^2+1)}_{x^4-1}\color{red}{]}}}%%

Führe die Polynomdivision durch.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-} (2x^4+x^2-x-1):\color{red}{(x^4-1)} =2+\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^4-1}\\ \color{red}{-}\underline{(2x^4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,-2})\\ \hphantom{-(2x^4+}\;\,x^2-x+1\;\;\;\color{red}{Rest} \end{array}%%

Überprüfe, ob du zum gleichen Endergebnis kommst, wenn du - wie in der Aufgabenstellung - beide Divisionen nacheinander durchführst.

Die erste Division:

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(2x^4+\;\;x^2-x-1):(x^2-1)=2x^2+3+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-1}\\ \color{red}{-}(\underline{2x^4-2x^2})\\ \hphantom{(2x^4+xy}3x^2-x-1\\ \hphantom{(2x^4x}\color{red}{-}(\underline{3x^2\;\;\;\;\;\;-3})\\ \hphantom{(2x^4+x^2)+}\;-x+2\;\;\;\;\;\color{red}{Rest} \end{array}%%

Die anschließende zweite und aufwändige Division:

%%\begin{array}{l l} \;\displaystyle\left(2x^2+3+\frac{-x+2}{x^2-1}\right):\left(x^2+1\right)&=2+\displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-1}\right)}{x^2+1}\\ \color{red}{-}(\underline{2x^2+2})\\ \hphantom{(2x^2+3}\;\color{red}{1+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2+1}\;\;Rest}\\ &=2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2-1-x+2}{x^2-1}}{x^2+1}\\ &=2+\displaystyle\frac{x^2-x+1}{(x^2-1)(x^2+1)}\\ &=2+\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x^4-1} \end{array}%%

Die "doppelte" Polynomdivision führt am Ende zum gleichen Ergebnis.

Die Zweckmäßigkeit des geschickten Verwendens der Rechenregel$$a:b:c=a:\left(b\color{red}{\cdot}c\right)$$

ist aber ersichtlich.

Berechne: $$(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)$$

%%(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)%%

Benutze die Rechenregel %%a:b:c=a:(b\color{red}{\cdot} c)%% um mit einer Polynomdivision auszukommen.

%%(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)\\ = (3x^3+3x^2-4x-4):\color{red}{[}\underbrace{(\sqrt{3}x-2)\color{red}{\cdot}(\sqrt{3}x+2)}_ {3x^2-4}\color{red}{]} %%

Verwende den Divisor %%3x^2-4%% für die Polynomdivision.

Führe die Polynomdivision durch.

%%\begin{array} {l} \hphantom{-}(3x^3+3x^2-4x-4):(3x^2-4)=x+1\\ \color{red}{-}(\underline{3x^3\;\;\;\;\;\;\,\;\;-4x})\\ \hphantom{-(3x^3+\;}3x^2\;\;\;\;\;\;\;-4\\ \hphantom{-(3x^3}\color{red}{-}(\underline{3x^2\;\;\;\;\;\;\,-4})\\ \hphantom{-3x^3+3x^2-4x-4} 0 \end{array}%%

Gegeben ist die Gleichung der Geraden   %%g:\;y=-x+3%%   

und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   %%f:\;y=0,5x^3-3x^2+4,5x%% .

Berechne die Schnittpunkte von %%G_f%% und %%G_g%% .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Schnittpunkte berechnen

%%g\left(x\right)=0,5x^3-3x^2+4,5x-3%%

%%f\left(x\right)=-x+3%%

Funktionen gleichsetzen.

%%0,5x^3-3x^2+4,5x-3=-x+3%%

%%\left|-3\right.%%

%%\left|+x\right.%%

%%0,5x^3-3x^2+5,5x-3=0%%

Eine Nullstelle muss erraten werden.

%%x_1=1%%

%%f\left(x\right)=-x+3%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f\left(1\right)=-1+3=2%%

%%S_1=\left(1\vert2\right)%%

Polynomdivision

%%0,5x^3-3x^2+5,5x-3=0%%

Funktion durch Polynomdivision vereinfachen.

%%\begin{array}{l}\;\;(0,5x^3-3x^2+5,5x-3):(x-1)=0,5x^2-2,5x+3\\\underline{-(0,5x-0,5x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2,5x^2+5,5x\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2,5x^2+2,5x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\Rightarrow%% Neue Funktion %%h\left(x\right)=0,5x^2-2,5x+3%%

Verbleibende Nullstellen berechnen

%%0,5x^2-2,5x+3=0%%

%%x_{2,3}=\frac{2,5\pm\sqrt{(-2,5)^2-4\cdot0,5\cdot3}}{(2\cdot0,5)}%%

Die Klammer unter dem Bruchstrich ausmultiplizieren.

%%=\frac{2,5\pm\sqrt{0,25}}1%%

%%=\frac{2,5\pm0,5}1%%

 

%%x_2=\frac{2,5+0,5}1=\frac31=3%%

 

%%x_3=\frac{2,5-0,5}1=\frac21=2%%

 

%%x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;%%

 

%%-x_1+3 = y_1%%

%%-1+3 = y_1%%

%%2 = y_1%%

%%-x_2+3 = y_2%%

%%-3+3 = y_2%%

%%0 = y_2%%

%%-x_3+3 = y_3%%

%%-2+3 = y_3%%

%%1 = y_3%%

Die x-Werte in eine der beiden Funktionen f(x) oder g(x) einsetzten.

Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei %%A(1\vert2)%% %%B(3\vert0)%% %%C(2\vert1)%%

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