Aufgaben

Ein Koala schläft %%\frac{5}6%% des Tages.

Wie viele Stunden schläft das Tier täglich?

Der Koala schläft 20 Stunden.

LÖSUNGSWEG:

1 Tag entspricht 24 Stunden.

Der Koala schläft

Dies entspricht

mathematisch ausgedrückt

auf einen Bruchstrich

kürzen

%%\frac{5}6%% von 1 Tag

%%=\frac{5}6%% von 24 Stunden

%%=\frac{5}6\cdot24%%

%%=\frac{5\cdot24}6%%

%%=\frac{5\cdot4}1%%

%%=20%%

Ein Siebenschläfer schläft 34\frac{3}4 des Tages. Wie viele Stunden schläft es täglich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplizieren von Bruch mit Zahl

Der Siebenschläfer schläft 18 Stunden
LÖSUNGSWEG:
1 Tag entspricht 24 Stunden
Der Siebenschläfer schläft
dies entspricht:
mathematisch ausgedrückt:
auf einem Bruchstrich:
kürzen:
34\frac{3}4 von 1 Tag
34\frac{3}4 von 24 Stunden
=3424=\frac{3}4\cdot24
=3244=\frac{3\cdot24}4
=361=\frac{3\cdot6}1
=18=18
14\frac14 Kanarienvogel frisst 125 Körner in 323\frac{32}3 Tagen. Wie viele Körner fressen 4 Kanarienvögel in 16 Tagen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchrechnen

Berechne wieviel Körner ein Kanarienvogel in 323\frac{32}{3} Tagen frisst.
14\frac{1}{4} Kanarienvögel fressen 125 Körner, also frisst 1 Kanarienvogel 125 \cdot 4 = 500 Körner in 323\frac{32}{3} Tagen.
Berechnen nun wieviel Körner 4 Kanarienvögel 323\frac{32}{3} Tagen fressen.
500 \cdot 4 = 2000
Berechne nun wieviel 4 Kanarienvögel in 323\frac{32}{3}, indem 323\frac{32}{3} so erweitert wird, dass 16 herauskommt.
323x=16\frac{32}{3} \cdot x= 16
Multipliziere mit 3.
32x=4832 \cdot x= 48
Dividiere durch 32.
x=4832=64=32x= \frac{48}{32} = \frac{6}{4}=\frac32
Nun multipliziere die 2000 Körner, die 4 Vögel an 323\frac{32}{3} Tagen fressen mit 64\frac{6}{4}. So erhältst du wieviele Körner 4 Vögel an 16 Tagen fressen.
4 Vögel fressen also 3000 Körner in 16 Tagen.

Ein Weinfass enthält %%43\frac12%% Liter Wein. Davon werden 6 Flaschen zu je 0,75 Liter und 9 Flaschen zu je 0,7 Liter abgefüllt.

Wie viel Liter verbleiben noch im Fass?

geg.:

Insgesamt: %%43\frac12%% Liter

6 Flaschen mit 0,75 Liter

9 Flaschen mit 0,7 Liter

Jeweils die Flaschen mit dem Inhalt multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

%%6\cdot0,75\mathrm l+9\cdot0,7\mathrm l=%%

%%0,75=\frac34%% ; %%0,7=\frac7{10}%%

%%=6\cdot\frac34\mathrm l+9\cdot\frac7{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{6\cdot3}4\mathrm l+\frac{7\cdot9}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{18}4\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac92\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Addieren. Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%=\frac{45}{10}\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{108}{10}\mathrm l%%

Das Ergebnis vom Gesamtinhalt des Fasses subtrahieren.

%%43\frac12\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

In unechte Brüche umwandeln.

%%\frac{87}{2}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%\frac{435}{10}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{327}{10}\mathrm l%%

In gemischten Bruch umwandeln.

%%=32\frac{7}{10}\mathrm l%%

In Dezimalbruch umwandeln.

%%=32,7 \; \mathrm l%%

Du möchtest zu deiner Geburtstagsfeier etwas ganz besonderes machen und hast dir überlegt Cocktails zu mixen. Dazu benötigst du 3 Liter Maracuja-Saft, und 520\frac{5}{20} Johannisbeersaft. Den Maracuja-Saft gibt es allerdings nur in 0,75-Liter Flaschen und den Johannisbeersaft gibt es ausschließlich in 0,5-Liter Flaschen zu kaufen. Außerdem benötigst du zum Aufgießen noch 35203\frac{5}{20} Tonic Water, welches es in 1 Liter Flaschen zu besorgen gibt.
Wie viele Flaschen brauchst du jeweils von einer Sorte?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Um die Anzahl der Flaschen zu erhalten muss die benötigte Menge durch die Menge des Flascheninhalts dividiert werden. Damit du besser rechnen kannst, musst du gemischte Brüche in einen ganzen Bruch umwandeln. Außerdem kannst du Dezimalzahlen in Brüche umformen.

Umformung eines gemischten Bruchs

35203\frac5{20}
Verwandle zunächst die ganze Zahl ebenfalls in einen Bruch mit dem selben Nenner, den der Bruch hat.
320=603\cdot20=60
=> 3=60203=\frac{60}{20}
Addiere Dein Ergebnis zu dem Bruch.
60+520=6520=134\displaystyle \frac{60+5}{20} = \frac{65}{20}= \frac{13}{4}

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

0,750,75 = 75100\frac{75}{100} = 34\frac{3}{4}
0,50,5 = 12\frac{1}{2}
Zähle die Nachkommastellen und kürze wo weit es geht.

Berechnung der Menge der Flaschen mithilfe der Divison

Maracuja-Saft: 31:34\frac{3}{1} : \frac{3}{4} = 44
Johannisbeersaft: 520:12\frac{5}{20} : \frac{1}{2} = 0,50,5
Tonic Water: 134:1\frac{13}{4} : 1 = 3143\frac{1}{4}
Dividiere nun deine benötigte Menge Flüssigkeit durch die Füllmenge.
Vergiss nicht die Zahlen aufzurunden, damit du die richtige Anzahl an Flaschen kaufst!
Karin und Uwe lesen in der Zeitung: ”Die Zuschauerzahlen für das jährlich stattfindende Open-Air-Festival in Kreischhausen schwanken in letzter Zeit stark: Während es im Jahre 2007 ein Drittel weniger Zuschauer als im Jahre 2006 gab, kamen im Jahre 2008 ein Drittel mehr Zuschauer als 2007. “Uwe meint:” Also sind es 2008 wieder genauso viele Teilnehmer wie 2006.“ Karin entgegnet: ”Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, aber wenn beispielsweise im Jahr 2006 . . .“
 
Setze den Gedanken von Karin fort. Begründe damit, dass Uwes Aussage nicht zutrifft.

Familie Müller benötigt am Tag %%1\frac34%% Liter Milch.

a. Wie hoch ist der Jahresverbrauch?

b. Wie hoch sind die Jahreskosten, wenn 1 Liter Milch -,79 € kostet?

Teilaufgabe a)

%%1\frac34%% Liter Milch pro Tag. Das Jahr hat 365 Tage.

%%\;\rightarrow%% %%1\frac34\mathrm l\cdot365=%%

Umschreiben in einen unechten Bruch. %%1\frac34=\frac74%%

%%=\frac74\mathrm l\cdot365=%%

%%=638,75\mathrm l%%

Teilaufgabe b)

1l Milch kostet %%0,79\frac€{\mathrm l}%%.

Benötigt werden 638,75l Milch.

%%\;\rightarrow%% %%0,79\frac€{\mathrm l}\cdot638,75\mathrm l=%%

%%=504,6125€=%%

Da bei Geldangaben nur 2 Stellen hinter dem Komma berücksichtigt werden (die Cent-Angabe), kann auch hier auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet werden.

%%=504,61€%%

Die drei Söhne des verstorbenes Piratenkäptn's erben seine 17 Golddukaten. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn soll die Hälfte der Dukaten, mein zweitgeborener ein Drittel und mein jüngster ein Neuntel der Dukaten bekommen. Kein Dukate darf geteilt werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Steuermann vor, der als weiser Mann gilt. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst eine Dukate. Davon leihe ich euch eine. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Dukaten bekommt jeder der Söhne? Was fällt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Die ursprüngliche Teilung ist nicht möglich, da 17 nicht durch 2, 3 und 9 teilbar ist. Mit Hilfe des Steuermanns haben sie dann
 
17+1=1817+1=18 Dukaten. Nun können sie die Dukaten aufteilen, da 18 durch 2,3 und 9 teilbar ist.
Aufteilung:
Ali
1812=918\cdot\frac12=9
Abdulla
1813=618\cdot\frac13=6
Arif
1819=218\cdot\frac19=2
Die Summe der Anteile der Söhne ergibt 17. Das geliehene Dukaten kann wieder zurückgegeben werden. Das Testament war fehlerhaft verfasst: Die Summe der Anteile ergibt kein Ganzes, sondern nur 1718\frac{17}{18} .

Bei einer Tombola wurden  %%\frac23%% der Lose an Kinder und  %%\frac14%% der Lose an Erwachsene verkauft. Es blieben 100 Lose übrig.
Wie viele Lose wurden verkauft?

Gesucht: Anzahl der verkauften Lose

Wir würden die Anzahl der verkauften Lose kennen, wenn wir die Gesamtzahl der Lose kennen würden (da 100 Lose nicht verkauft wurden).

%%x\equiv%% Gesamtanzahl der Lose

Die Angabe gibt Bruchteile von der Gesamtzahl der Lose an. Deshalb wählt man dies als Variable und nicht die Anzahl der verkauften Lose.

Gegeben:

  • Anteil der verkauften Lose an Kinder: %%\frac23\cdot x%%

  • Anteil der verkauften Lose an Erwachsene: %%\frac14\cdot x%%

  • Nicht verkaufte Lose: 100

%%x=\frac23\cdot x+\frac14\cdot x+100%%

Gesamtzahl der Lose. Nach %%x%% auflösen.

%%x-\frac23\cdot x-\frac14\cdot x=100%%

%%x\cdot(1-\frac23-\frac14)=100%%

Klammer auf gemeinsamen Hauptnenner bringen.

%%x\cdot(\frac{12}{12}-\frac8{12}-\frac3{12})%%=100

Klammer ausrechnen

%%x\cdot(\frac1{12})=100%%

Nach %%x%% auflösen.

%%x=12\cdot100%%

%%x=1200%%

1200 Lose gab es insgesamt.

%%1200-100=%%

100 Lose wurden nicht verkauft.

%%1100%%

1100 Lose wurden verkauft.

Ein Elefant fraß in der ersten Woche 13\frac13 seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er 14\frac14 vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?

Skizze


Futtervorrat nach einer Woche:
4931_QTYXye0Gmp.png
Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar.13\frac13 davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen
Futtervorrat nach der zweiten Woche:

4935_8xHJTurZrf.png
Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also 13\frac13). Das dritte x ist entspricht 14\frac14 vom Rest.
Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.
Also waren anfangs 600 kg vorhanden.

Kristina wird 13 Jahre alt und hat zu ihrem Geburtstag 13 Freundinnen eingeladen. Zusammen mit ihrer Mutter bereitet sie das Fest vor. Zum Mittagessen soll es Würstchen mit Kartoffelsalat geben, am Nachmittag Erdbeershakes. Den Kartoffelsalat bereiten Kristina und ihre Mutter nach folgendem Rezept zu:

  1. Berechne die Zutaten, die für 14 Personen erforderlich sind.

  2. Zum Schälen der Kartoffeln brauchen Kristina und ihre Mutter zusammen 18 Minuten. Am Abend sagt Kristina zu ihrem Bruder: „Man kann sich ausrechnen, dass wir nur 12 Minuten gebraucht hätten, wenn du uns geholfen hättest.“ Wie hat Kristina wohl gerechnet?Was meinst du dazu?

  3. Für die Erdbeershakes benötigt Kristina 3,5 l Milch, die sie direkt beim Bauern holt. Für 1,5 l Milch hat sie bisher immer 1,20 € bezahlt. Wie viel kosten 3,5 l Milch?

Teilaufgabe a)

gegeben: Anzahl der Personnen, Anzahl der benötigten Zutaten für 4 Personen

gesucht: Anzahl der Zutaten für 14 Personen

Anzahl der Personen durch 4 teilen .

%%14:4=3,5%%

Die Lösung mit jeder Zutat multiplizieren .

%%1\mathrm{kg}%%  Kartoffeln %%\cdot3,5%% = %%3,5\mathrm{kg}%% Kartoffeln

 

%%\frac14l%% Brühe %%\cdot3,5=%% %%\frac78l%% Brühe

 

%%1%% Esslöffel Salz %%\cdot3,5=%% %%3,5%% Esslöffel Salz

 

%%4%% Esslöffel Essig %%\cdot3,5=%% %%14%% Esslöffel Essig

 

%%100g%% Mayonnaise %%\cdot3,5=%% %%350g%% Mayonnaise

 

Kartoffelsalat mit Mayonnaise (14 Personen)

 

%%3,5\mathrm{kg}%% Kartoffeln

%%\frac78l%% Brühe

%%3,5%% Esslöffel Salz

%%14%% Esslöffel Essig

%%350g%% Mayonnaise

Pfeffer

 

Teilaufgabe b)

gegeben:

3,5kg Kartoffeln, 18min, 2 Personnen

$$3,5\mathrm{kg}:2=1,75\mathrm{kg}$$

Mithilfe des Dreisatz ausrechnen, wieviel Gramm Kartoffeln in einer Minute geschält werden.

$$X=1\min$$ $$1,75\mathrm{kg}=18\min$$

Von kg auf g rechnen.

$$1,75\mathrm{kg}=1750g$$

$$\left(1750g\cdot1\min\right):18\min=97g$$

$$3\cdot97g\cdot12=3492g\approx3,5\mathrm{kg}$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie rechnete die Menge der Kartoffeln aus, die jeder in einer Minute schälen konnte und berechnete dann die Anzahl der Personnen mal die komplette Menge mal die Menge der geschälten Kartoffeln in der Minute

Teilaufgabe c)

gegeben: 1,5l Milch für 1,20€

gesucht: Preis für 3,5l Milch

Dreisatz anwenden.

$$X=3,5l$$ $$1,20€=1,5l$$

$$\left(3,5l\cdot1,20€\right):1,5l=2,80€$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Für 3,5l muss sie 2,80€ bezahlen.

Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Diese Fahne ist aus einem Tuch gefertigt worden, das 5,40m lang und 3,00m breit ist.

 

  1. Zeichne die Figur für %%b=8\,cm,\;a=5\,cm\;\mathrm{und}\;x=1\,cm%%.

  2. Berechne den Flächeninhalt eines der weißen Rechtecke im Inneren, wenn das Kreuz  %%\frac29%% der Gesamtfläche einnimmt und die vier weißen Rechtecke kongruent sind.

Teilaufgabe 1

-- Skizze nach Anweisung ins Heft zeichnen.

Teilaufgabe 2

-- Der Flächeninhalt der Fahne beträgt %%3\,m\cdot5,40\,m=16,20\,m^2%%.

Nach Aufgabenstellung nimmt das Kreuz %%\frac29%% des gesamten Flächeninhalts ein. Die vier Rechtecke nehmen als Komplement zusammen %%1-\frac29=\frac79%% der Fahnenfläche ein.

%%\frac79\;\mathrm{von}\;16,20m^2=12,60m^2%%.

Die Rechtecke sind kongruent, also insbesondere gleich groß. Somit besitzt ein Rechteck im Inneren eine Fläche von %%3,15m^2%%.

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