Aufgaben

Ein Koala schläft %%\frac{5}6%% des Tages.

Wie viele Stunden schläft das Tier täglich?

Der Koala schläft 20 Stunden.

LÖSUNGSWEG:

1 Tag entspricht 24 Stunden.

Der Koala schläft

Dies entspricht

mathematisch ausgedrückt

auf einen Bruchstrich

kürzen

%%\frac{5}6%% von 1 Tag

%%=\frac{5}6%% von 24 Stunden

%%=\frac{5}6\cdot24%%

%%=\frac{5\cdot24}6%%

%%=\frac{5\cdot4}1%%

%%=20%%

Ein Siebenschläfer schläft %%\frac{3}4%% des Tages

Wie viele Stunden schläft es täglich?

Der Siebenschläfer schläft 18 Stunden

LÖSUNGSWEG:

1 Tag entspricht 24 Stunden

Der Siebenschläfer schläft

dies entspricht:

mathematisch ausgedrückt:

auf einem Bruchstrich:

kürzen:

%%\frac{3}4%% von 1 Tag

%%\frac{3}4%% von 24 Stunden

%%=\frac{3}4\cdot24%%

%%=\frac{3\cdot24}4%%

%%=\frac{3\cdot6}1%%

%%=18%%

%%\frac14%% Kanarienvogel frisst 125 Körner in %%\frac{32}3%% Tagen. Wie viele Körner fressen 4 Kanarienvögel in 16 Tagen?

Berechne wieviel Körner ein Kanarienvogel in %%\frac{32}{3}%% Tagen frisst.

 

%%\frac{1}{4}%% Kanarienvögel fressen 125 Körner, also frisst 1 Kanarienvogel 125 %%\cdot%% 4 = 500 Körner in %%\frac{32}{3}%% Tagen.

Berechnen nun wieviel Körner 4 Kanarienvögel %%\frac{32}{3}%% Tagen fressen.

500 %%\cdot%% 4 = 2000

Berechne nun wieviel 4 Kanarienvögel in %%\frac{32}{3}%%, indem %%\frac{32}{3}%% so erweitert wird, dass 16 herauskommt.

%%\frac{32}{3} \cdot x= 16%%
%%32 \cdot x= 48%%
%%x= \frac{48}{32} = \frac{6}{4}=\frac32%%

| %%\cdot%% 3
| : 32

Nun multipliziere die 2000 Körner, die 4 Vögel an %%\frac{32}{3}%% Tagen fressen mit %%\frac{6}{4}%%. So erhältst du wieviele Körner 4 Vögel an 16 Tagen fressen.

4 Vögel fressen also 3000 Körner in 16 Tagen.

Ein Weinfass enthält %%43\frac12%% Liter Wein. Davon werden 6 Flaschen zu je 0,75 Liter und 9 Flaschen zu je 0,7 Liter abgefüllt.

Wie viel Liter verbleiben noch im Fass?

geg.:

Insgesamt: %%43\frac12%% Liter

6 Flaschen mit 0,75 Liter

9 Flaschen mit 0,7 Liter

Jeweils die Flaschen mit dem Inhalt multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

%%6\cdot0,75\mathrm l+9\cdot0,7\mathrm l=%%

%%0,75=\frac34%% ; %%0,7=\frac7{10}%%

%%=6\cdot\frac34\mathrm l+9\cdot\frac7{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{6\cdot3}4\mathrm l+\frac{7\cdot9}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{18}4\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Kürzen mit 2.

%%=\frac92\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

Addieren. Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%=\frac{45}{10}\mathrm l+\frac{63}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{108}{10}\mathrm l%%

Das Ergebnis vom Gesamtinhalt des Fasses subtrahieren.

%%43\frac12\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

In unechte Brüche umwandeln.

%%\frac{87}{2}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. %%\rightarrow\;10%%

%%\frac{435}{10}\mathrm l-\frac{108}{10}\mathrm l=%%

%%=\frac{327}{10}\mathrm l%%

In gemischten Bruch umwandeln.

%%=32\frac{7}{10}\mathrm l%%

In Dezimalbruch umwandeln.

%%=32,7 \; \mathrm l%%

Du möchtest zu deiner Geburtstagsfeier etwas ganz besonderes machen und hast dir überlegt Cocktails zu mixen. Dazu benötigst du 3 Liter Maracuja-Saft, und %%\frac{5}{20}%% Johannisbeersaft. Den Maracuja-Saft gibt es allerdings nur in 0,75-Liter Flaschen und den Johannisbeersaft gibt es ausschließlich in 0,5-Liter Flaschen zu kaufen. Außerdem benötigst du zum Aufgießen noch %%3\frac{5}{20}%% Tonic Water, welches es in 1 Liter Flaschen zu besorgen gibt.

Wie viele Flaschen brauchst du jeweils von einer Sorte?

Um die Anzahl der Flaschen zu erhalten muss die benötigte Menge durch die Menge des Flascheninhalts dividiert werden. Damit du besser rechnen kannst, musst du gemischte Brüche in einen ganzen Bruch umwandeln. Außerdem kannst du Dezimalzahlen in Brüche umformen.

Umformung eines gemischten Bruchs

%%3\frac5{20}%%

Verwandle zunächst die ganze Zahl ebenfalls in einen Bruch mit dem selben Nenner, den der Bruch hat.

%%3\cdot20=60%%

=> %%3=\frac{60}{20}%%

Addiere Dein Ergebnis zu dem Bruch.

$$\frac{60+5}{20} = \frac{65}{20}= \frac{13}{4}$$

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

%%0,75%% = %%\frac{75}{100}%% = %%\frac{3}{4}%%

%%0,5%% = %%\frac{1}{2}%%

Zähle die Nachkommastellen und kürze wo weit es geht.

Berechnung der Menge der Flaschen mithilfe der Divison

Maracuja-Saft: %%\frac{3}{1} : \frac{3}{4}%% = %%4%%

Johannisbeersaft: %%\frac{5}{20} : \frac{1}{2}%% = %%0,5%%

Tonic Water: %%\frac{13}{4} : 1%% = %%3\frac{1}{4}%%

Dividiere nun deine benötigte Menge Flüssigkeit durch die Füllmenge.

Vergiss nicht die Zahlen aufzurunden, damit du die richtige Anzahl an Flaschen kaufst!

Karin und Uwe lesen in der Zeitung: ”Die Zuschauerzahlen für das jährlich stattfindende Open-Air-Festival in Kreischhausen
schwanken in letzter Zeit stark: Während es im Jahre 2007 ein Drittel weniger Zuschauer als im Jahre 2006 gab, kamen im Jahre 2008 ein Drittel mehr Zuschauer als 2007. “Uwe meint:” Also sind es 2008 wieder genauso viele Teilnehmer wie 2006.“ Karin entgegnet: ”Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, aber wenn beispielsweise im Jahr 2006 . . .“

 

Setze den Gedanken von Karin fort. Begründe damit, dass Uwes Aussage nicht zutrifft.

Angenommen, es kamen im Jahre 2006 9000 Zuschauer.
2007:  %%\frac13%% von 9000 = 3000      9000 - 3000 = 6000 Zuschauer.
2008: %%\frac13%% von 6000 = 2000      6000 + 2000 = 8000 Zuschauer.
Also kamen 2008 1000 Zuschauer weniger als 2006. Der Grund liegt darin, dass der dritte Teil im Jahre 2006 von mehr Zuschauern errechnet wurde als 2007.

Familie Müller benötigt am Tag %%1\frac34%% Liter Milch.

a. Wie hoch ist der Jahresverbrauch?

b. Wie hoch sind die Jahreskosten, wenn 1 Liter Milch -,79 € kostet?

Teilaufgabe a)

%%1\frac34%% Liter Milch pro Tag. Das Jahr hat 365 Tage.

%%\;\rightarrow%% %%1\frac34\mathrm l\cdot365=%%

Umschreiben in einen unechten Bruch. %%1\frac34=\frac74%%

%%=\frac74\mathrm l\cdot365=%%

%%=638,75\mathrm l%%

Teilaufgabe b)

1l Milch kostet %%0,79\frac€{\mathrm l}%%.

Benötigt werden 638,75l Milch.

%%\;\rightarrow%% %%0,79\frac€{\mathrm l}\cdot638,75\mathrm l=%%

%%=504,6125€=%%

Da bei Geldangaben nur 2 Stellen hinter dem Komma berücksichtigt werden (die Cent-Angabe), kann auch hier auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet werden.

%%=504,61€%%

Die drei Söhne des verstorbenen Scheichs Minussi erben eine Kamelherde, die aus 17 Tieren besteht. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn Ali soll die Hälfte der Tiere, Abdulla ein Drittel und Arif ein Neuntel der Kamelherde bekommen. Kein Kamel darf geschlachtet werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Nachbarn vor, der als weiser Mann bekannt ist. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst Kamele. Davon leihe ich euch eines. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Kamele bekommt jeder der Söhne? Was f¨allt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?

Die ursprüngliche Teilung ist nicht möglich, da 17 nicht durch 2, 3 und 9 teilbar ist. Mit Hilfe des Nachbarn haben sie dann

 

%%17+1=18%% Kamele. Nun können sie die Kamele aufteilen, da 18 durch 2,3 und 9 teilbar ist.

 

Aufteilung:

Ali

%%18\cdot\frac12=9%%

Abdulla

%%18\cdot\frac13=6%%

Arif

%%18\cdot\frac19=2%%

 

Die Summe der Anteile der Söhne ergibt 17. Das geliehene Kamel kann wieder zurückgegeben werden. Das Testament war fehlerhaft verfasst: Die Summe der Anteile ergibt kein Ganzes, sondern nur %%\frac{17}{18}%% .

Bei einer Tombola wurden  %%\frac23%% der Lose an Kinder und  %%\frac14%% der Lose an Erwachsene verkauft. Es blieben 100 Lose übrig.
Wie viele Lose wurden verkauft?

Gesucht: Anzahl der verkauften Lose

Wir würden die Anzahl der verkauften Lose kennen, wenn wir die Gesamtzahl der Lose kennen würden (da 100 Lose nicht verkauft wurden).

%%x\equiv%% Gesamtanzahl der Lose

Die Angabe gibt Bruchteile von der Gesamtzahl der Lose an. Deshalb wählt man dies als Variable und nicht die Anzahl der verkauften Lose.

Gegeben:

  • Anteil der verkauften Lose an Kinder: %%\frac23\cdot x%%

  • Anteil der verkauften Lose an Erwachsene: %%\frac14\cdot x%%

  • Nicht verkaufte Lose: 100

%%x=\frac23\cdot x+\frac14\cdot x+100%%

Gesamtzahl der Lose. Nach %%x%% auflösen.

%%x-\frac23\cdot x-\frac14\cdot x=100%%

%%x\cdot(1-\frac23-\frac14)=100%%

Klammer auf gemeinsamen Hauptnenner bringen.

%%x\cdot(\frac{12}{12}-\frac8{12}-\frac3{12})%%=100

Klammer ausrechnen

%%x\cdot(\frac1{12})=100%%

Nach %%x%% auflösen.

%%x=12\cdot100%%

%%x=1200%%

1200 Lose gab es insgesamt.

%%1200-100=%%

100 Lose wurden nicht verkauft.

%%1100%%

1100 Lose wurden verkauft.

Ein Elefant fraß in der ersten Woche %%\frac13%% seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er %%\frac14%% vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?

Skizze

Futtervorrat nach einer Woche: 4931_QTYXye0Gmp.png

Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar. %%\frac13%% davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen

Futtervorrat nach der zweiten Woche:

4935_8xHJTurZrf.png

Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also %%\frac13%%). Das dritte x ist entspricht %%\frac14%% vom Rest.

Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.

Also waren anfangs 600 kg vorhanden.

Kristina wird 13 Jahre alt und hat zu ihrem Geburtstag 13 Freundinnen eingeladen. Zusammen mit ihrer Mutter bereitet sie das Fest vor. Zum Mittagessen soll es Würstchen mit Kartoffelsalat geben, am Nachmittag Erdbeershakes. Den Kartoffelsalat bereiten Kristina und ihre Mutter nach folgendem Rezept zu:

  1. Berechne die Zutaten, die für 14 Personen erforderlich sind.

  2. Zum Schälen der Kartoffeln brauchen Kristina und ihre Mutter zusammen 18 Minuten. Am Abend sagt Kristina zu ihrem Bruder: „Man kann sich ausrechnen, dass wir nur 12 Minuten gebraucht hätten, wenn du uns geholfen hättest.“ Wie hat Kristina wohl gerechnet?Was meinst du dazu?

  3. Für die Erdbeershakes benötigt Kristina 3,5 l Milch, die sie direkt beim Bauern holt. Für 1,5 l Milch hat sie bisher immer 1,20 € bezahlt. Wie viel kosten 3,5 l Milch?

Teilaufgabe a)

gegeben: Anzahl der Personnen, Anzahl der benötigten Zutaten für 4 Personen

gesucht: Anzahl der Zutaten für 14 Personen

Anzahl der Personen durch 4 teilen .

%%14:4=3,5%%

Die Lösung mit jeder Zutat multiplizieren .

%%1\mathrm{kg}%%  Kartoffeln %%\cdot3,5%% = %%3,5\mathrm{kg}%% Kartoffeln

 

%%\frac14l%% Brühe %%\cdot3,5=%% %%\frac78l%% Brühe

 

%%1%% Esslöffel Salz %%\cdot3,5=%% %%3,5%% Esslöffel Salz

 

%%4%% Esslöffel Essig %%\cdot3,5=%% %%14%% Esslöffel Essig

 

%%100g%% Mayonnaise %%\cdot3,5=%% %%350g%% Mayonnaise

 

Kartoffelsalat mit Mayonnaise (14 Personen)

 

%%3,5\mathrm{kg}%% Kartoffeln

%%\frac78l%% Brühe

%%3,5%% Esslöffel Salz

%%14%% Esslöffel Essig

%%350g%% Mayonnaise

Pfeffer

 

Teilaufgabe b)

gegeben:

3,5kg Kartoffeln, 18min, 2 Personnen

$$3,5\mathrm{kg}:2=1,75\mathrm{kg}$$

Mithilfe des Dreisatz ausrechnen, wieviel Gramm Kartoffeln in einer Minute geschält werden.

$$X=1\min$$ $$1,75\mathrm{kg}=18\min$$

Von kg auf g rechnen.

$$1,75\mathrm{kg}=1750g$$

$$\left(1750g\cdot1\min\right):18\min=97g$$

$$3\cdot97g\cdot12=3492g\approx3,5\mathrm{kg}$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie rechnete die Menge der Kartoffeln aus, die jeder in einer Minute schälen konnte und berechnete dann die Anzahl der Personnen mal die komplette Menge mal die Menge der geschälten Kartoffeln in der Minute

Teilaufgabe c)

gegeben: 1,5l Milch für 1,20€

gesucht: Preis für 3,5l Milch

Dreisatz anwenden.

$$X=3,5l$$ $$1,20€=1,5l$$

$$\left(3,5l\cdot1,20€\right):1,5l=2,80€$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Für 3,5l muss sie 2,80€ bezahlen.

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