Gegenseitige Lage von Geraden und Geraden

Gerade und Gerade

Wenn man zwei Geraden im Raum betrachtet, gibt es 4 Möglichkeiten, wie sie zueinander stehen können:

  1. Sie sind identisch (liegen "aufeinander")
  2. Sie sind parallel
  3. Sie schneiden sich
  4. Sie sind windschief (schneiden sich nicht)

Wenn sich die beiden Geraden schneiden, kann man zusätzlich noch prüfen ob sie orthogonal (rechtwinklig) zueinander sind.

Vorgehensweise

Wenn man prüfen möchte, wie zwei Geraden %%g%% und %%h%% zueinander stehen, geht man immer gleich vor:

Prüfe, ob die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind (parallel zueinander):

a) Ja:      Die Geraden sind entweder parallel oder identisch
b) Nein:    Die Geraden schneiden sich oder sind windschief

%%\rightarrow%% a) : Prüfe, ob der Aufpunkt von %%g%% auf %%h%% liegt (oder andersrum)

Ja:     Die Geraden sind identisch (g=h)
Nein:     Die Geraden sind parallel (g||h)

%%\rightarrow%% b) : Setze die rechten Seiten der Geradengleichungen %%g%% und %%h%% gleich und überprüfe, ob das so gegebene Lineare Gleichungssystem (LGS) eine Lösung hat

Ja:     Die Geraden schneiden sich (Berechnung des Schnittpunktes im Beispiel unten)
Nein:    Die Geraden sind windschief

Beispiele

Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder Möglichkeit jeweils ein Beispiel.

1. Identische Geraden

%%g: \vec{X}= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} %% und %%h: \vec{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} %%

Prüfe, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind:

%%\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \beta \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} %%

%%\rightarrow%% ist %%\beta = \frac{1}{3}%%, so stellt man fest, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind

%%\Rightarrow%% g und h sind entweder parallel oder identisch

Prüfe, ob der Aufpunkt von h auf g liegt (oder andersrum):

%%\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} %%

%%\rightarrow%% ist %%\beta = 1%%, so stellt man fest, dass der Aufpunkt von h auf g liegt.

%%\Rightarrow%% g und h sind identisch

2. Parallele Geraden

%%g: \vec{X} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} %% und %%h: \vec{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} %%

Prüfe, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind:

%%\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \beta \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} %%

%%\rightarrow%% ist %%\beta = \frac{1}{3}%%, so stellt man fest, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind.

%%\Rightarrow%% g und h sind entweder parallel oder identisch

Prüfe, ob der Aufpunkt von h auf g liegt (oder andersrum):

%%\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} %%

%%\rightarrow%% man findet kein passendes %%\beta%%, sodass die Gleichung erfüllt ist. Der Aufpunkt von h liegt also nicht auf g.

%%\Rightarrow%% g und h sind parallel

3. Geraden schneiden sich

%%g:\vec{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1,5 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} %% und %%h: \vec{X}= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4,5 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} %%

Prüfe, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind:

%%\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} %%

%%\rightarrow%% es gibt kein %%\beta%%, sodass die Gleichung erfüllt ist. Die Richtungsvektoren sind also linear unabhängig

%%\Rightarrow%% g und h schneiden sich oder sind windschief

Setze, um zu überprüfen, ob sich die Geraden schneiden oder windschief sind, die rechten Seiten von %%g%% und %%h%% gleich und überprüfe, ob das LGS eine Lösung hat:

%%\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1,5 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4,5 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} %%

Wir erhalten folgendes LGS:

I.: %%-1 + \alpha \cdot 1 = 0 + \beta \cdot 2%%

II.: %%1 + \alpha \cdot 2 = 3 + \beta \cdot 2%%

III.: %%1,5 + \alpha \cdot 3 = 4,5 + \beta \cdot (-1)%%

Durch Vereinfachen erhalten wir:

I.: %%\alpha = 2 \beta + 1%%

II.: %%2 \alpha = 2 \beta + 2%%

III.: %%3 \alpha = - \beta + 3%%

Setze I. in II. ein:

%%2 \cdot (2 \beta + 1) = 2 \beta + 2%%

Auflösen nach %%\beta%%:

%%\beta = 0%%

Setze %%\beta = 0%% in einer der Gleichungen ein, z. B. %%\beta = 0%% in I.:

%%\alpha = 2 \cdot 0 + 1%%

Auflösen nach %%\alpha%%:

%%\alpha = 1%%

Setze %%\alpha = 1%% und %%\beta = 0%% in alle Gleichungen ein und prüfe auf Korrektheit:

I.: %%1 \stackrel{?}{=} 2 \cdot 0 + 1%%

II.: %%2 \cdot 1 \stackrel{?}{=} 2 \cdot 0 + 2%%

III.: %%3 \cdot 1 \stackrel{?}{=} 0 + 3%%

%%\rightarrow%% jede Gleichung ist mit %%\alpha = 1%% und %%\beta = 0%% korrekt.

%%\Rightarrow%% g und h schneiden sich.

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Kowalsky 2017-01-17 14:36:46
Hallo, da es sich bei den Geraden um Punktmengen handelt, kann man demzufolge auch schreiben:
g geschnitten h. ( " geschnitten" mit dem entsprechenden Mengenzeichen )
Digamma 2017-01-18 20:00:18
Hallo Kowalsky,
worauf bezieht sich dein Beitrag?
Die Frage ist natürlich auch, ob die Schüler die mengentheoretischen Symbole kennen.
Kowalsky 2017-01-19 11:43:40
Hallo Digamma,
ich beziehe mich auf Deine Anmerkung: "Außerdem habe ich Bauchschmerzen, wenn du "g = h" schreibst" Hier wäre die von mir genannte Schreibweise mit der Schnittmenge sicherlich besser. In der Schulmathematik, speziell in der Stochastik tauchen viele Mengenschreibweisen auf; auch die Schnittmenge. In der Oberstufe sollten diese Kenntnisse vorliegen!
Gruß
Kowalsky
Digamma 2017-01-20 05:35:06
Hallo Kowalsky,
die Schreibweise "g = h" dient aber ja nicht dazu, auszudrücken, dass man die Schnittmenge berechnet, sondern auszudrücken, dass man die rechten Seiten der jeweiligen Geradenseiten gleichsetzt. Die Schreibweise %%g \cap h%% kann das nicht leisten.
Gruß, Digamma
Kowalsky 2017-01-23 14:20:11
Hallo Digamma, da bin ich anderer Meinung. Im Lehrbuch Hahn/Dzewas Lineare Algebra Analytische Geometrie (Westermann 1996) findet man z.B E1 geschnitten mit E2 ("geschnitten" mit dem Mengenzeichen geschrieben) - hier wird eine eventuelle Schnittgerade bestimmt. Weiter heißt es dann: "beim Gleichsetzen erhalten wir das folgende Gleichungssystem....." Die Schnittmenge (Schnittgerade ) wird also durch Gleichsetzen der rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen ermittelt. Analog gilt das auch für Geraden! Ebenso heißt es in diesem Buch: Gegeben sind die Gleichungen einer Geraden und einer Ebene. Bestimmen Sie g "geschnitten" E. (Hier wird ein eventueller Schnittpunkt durch Gleichsetzen der rechten Seiten bestimmt.) Allerdings findet man in den neueren Bücher die Schreibweise mit dem Mengenzeichen eher nicht mehr. Gruß Kowalsky
Digamma 2017-01-24 18:34:34
Hallo Kowalsky,
das trifft nicht den Punkt, um den es mir geht. Das Schnittmengenzeichen ist ein Signal für "Schnittmenge bestimmen". Aber nicht für die dafür angewendete Methode. Wenn ich z.B. den Schnitt einer Geraden mit einer Ebene in Koordinatenform bestimme, dann muss ich nicht gleichsetzen, sondern einsetzen. Wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen in Koordinatenform bestimmen möchte, dann muss ich weder einsetzen noch gleichsetzen, sondern das Gleichungssystem aus den zwei Koordinatengleichungen lösen.
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Digamma 2017-01-13 17:28:15
Schreibt ihr wirklich Geradengleichungen in der Form %%g = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}%%?
Das muss doch
%%g \colon \vec X =\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}%%
heißen.
Außerdem habe ich Bauchschmerzen, wenn du "g = h" schreibst, wenn du meinst, dass man die rechten Seiten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt. Ich würde immer zwischen der Geraden und ihrer Gleichung untescheiden.
Renate 2017-01-16 22:52:10
Hallo Digamma, hallo Stromi93,
ich habe jetzt erstmal die Geradengleichungen mit %%\vec{X}=....%% geschrieben, denn das mit "g=... " usw. war wohl wirklich ein (formaler) Fehler.

Etwas mehr zögere ich aber noch bei "g=h". Denn trotz der Problematik ist diese Schreibweise für den Schüler als Kurzschreibweise wahrscheinlich naheliegend und anschaulich. (Beim Gleichungssystem selbst würde ich g und h ganz weglassen, habe mich aber jetzt erstmal mit einem unverbindlichen "entspricht" beholfen. )

Soweit erstmal für's Erste - man kann ja noch weitere Veränderungen vornehmen ;).
Gruß
Renate
Nish 2017-01-26 12:06:36
@Renate, Diagamma, Stromi93, Kowalsky:
Wird diese Schreibweise von den Schülern bzw. v.a. von Lehrern so verwendet? Beim Gleichungssystem würde ich auch g und h ganz weglassen.
Ich habe auch eine neue Bearbeitung erstellt, wobei ich g=h rausnehme und gleich formuliere, was gemacht wird. Ich persönlich finde das so am Besten.
Was hält Ihr davon? Wenn wir am Ende doch zur alten Version zurück möchten oder eine andere Lösung möchten, können wir das natürlich ändern.

LG,
Nish
Digamma 2017-01-28 16:33:48
Hallo Nish,
ich finde deine Version gut. So würde ich das auch machen.
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Kowalsky 2017-01-12 09:51:25
Hallo Stromi93
Du hast Recht, gemeint war der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden.
Anmerkungen zu gegenseitige Lage von Gerade Gerade:
I. 3. Fall: Geraden schneiden sich. Es gibt kein Beta, d.h. die Richtungsvektoren sind NICHT parallel zueinander; damit sind sie NICHT linear abhängig somit lin. unabhängig (im Gegensatz zur Aussage im obigen Text).
II. Beim GLS III heißt es ß*-1 sollte mit Klammer geschrieben werden ß*(-1)
III. alpha =1 und ß =0 werden am Schluss in die Gleichungen des GLS eingesetzt. Hier sollten die beiden Werte besser in die beiden Geradengleichungen für g und h eingesetzt werden und somit der Schnittpunkt bestimmt werden.
In beiden Fällen muss sich der gleiche Wert berechnen lassen.
Das umgeformte GLS kann schon falsch sein!
Außerdem wird bei Schnittproblemen sehr oft nach dem Schnittpunkt gefragt und der fehlt hier.
Digamma 2017-01-13 17:23:01
Habe mal die ersten beiden Punkte berichtigt und noch ein paar Kommas eingefügt und Groß- und Kleinschreibung korrigiert.
Nish 2017-01-14 18:32:02
@Kowalsky: Vielen Dank für dein Feedback!
@Digamma: Vielen Dank für deine Bearbeitung! Ich hab's sie eben übernommen.
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Kowalsky 2016-11-05 11:38:23
Auch windschiefe Geraden können orthogonal zueinder sein (Lambacher Schweizer LK )
Renate 2016-11-12 16:56:37
Nun ja, natürlich können auch die Richtungsvektoren zweier windschiefer Geraden einen rechten Winkel miteinander einschließen, aber macht das so viel Sinn, das hier unter "Gegenseitige Lage von Geraden" mit zu betrachten?

Ich denke, wenn in der Schule nach der "gegenseitigen Lage" von zwei angegebenen Geraden gefragt wird, ist eher noch im Fall, dass die Geraden sich schneiden, der SCHNITTPUNKT gesucht, und (selten) vielleicht der Schnittwinkel (egal ob 90° oder nicht, und auch nur, wenn explizit verlangt).

Danke aber dennoch für deinen Kommentar, mir wäre es nämlich der Sprachgebrauch, Winkel zwischen windschiefen Geraden zu betrachten, eher ungebräuchlich erschienen. Vielleicht findet sich ja auf Serlo eine Stelle, wo man dies ergänzen könnte und sollte, wenn es in der Tat so ist?

Gruß
Renate

Digamma 2016-11-13 18:09:53
Wenn ich ergänzen darf: Sowohl die BW-Ausgabe von Lambacher Schweizer als auch die von Schroedel Elemente betrachten nur "Schnittwinkel", also insbesondere nur Winkel zwischen Geraden, die sich schneiden. Auch Orthogonalität wird nur zwischen einander schneidenden Geraden betrachtet.
Stromi93 2017-01-11 14:54:02
Die gängige Definition eines Winkels setzt einen gemeinsamen Anfangspunkt voraus. Womit es quasi keinen Winkel zwischen zwei Windschiefen Geraden gibt. Allerdings lässt sich der Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmen, was hier meiner Meinung nach gemeint ist.

"Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird." (https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel)
das sollte hier als Definition ausreichend sein.

Ich hoffe ich konnte damit Unklarheiten beseitigen

Liebe Grüße,
Stromi
Dieter2 2019-02-06 20:19:50
> Auch windschiefe Geraden können orthogonal zueinder sein (Lambacher Schweizer LK )

Hallo Kowalsky,

wo steht denn das im Lambacher Schweizer? Ich konnte es nicht auf Anhieb finden (ich habe: Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien - Qualifikationsphase/Leistungskurs - Nordrhein-Westfalen; ISBN: 978-3127354010).

Danke für eine kurze Antwort!

Gruß,
Dieter2
Kowalsky 2019-02-07 09:15:17
Hallo Dieter2, "alter" Lambacher Schweizer (1994) Grundkurs, ISBN3-12-739280-X
Klett Verlag Seite 96: ich zitiere: "Bemerkung: Auch windschiefe Geraden heißen orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind."
Gruß Kowalsky
Dieter2 2019-02-07 14:01:23
Vielen Dank für die schnelle Antwort, Kowalsky!
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