Betrag und Normierung

Betrag (Länge) von Vektoren

Der Betrag eines Vektors %%\vec{v}%% ist anschaulich nichts anderes als seine Länge. Diese lässt sich wie folgt berechnen:

%%|\vec{v}| = \left|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}%%

Normierung von Vektoren

Ein Vektor %%\vec{v}%% heißt normiert, wenn sein Betrag (also seine Länge) %%|\vec{v}| = 1%% ist. Der normierte Vektor wird auch als Einheitsvektor bezeichnet. Um einen Vektor zu normieren, müssen wir ihn durch seinen eigenen Betrag teilen:

%%\displaystyle\vec{v_0} = \frac{ \vec{v} }{ |\vec{v}| }%%

Ausnahme: Der Nullvektor lässt sich nicht normieren, da er die Länge 0 hat.

Beispiel

Berechne zunächst die Länge des Vektors %%\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}%% und bilde anschließend den entsprechenden Einheitsvektor.

Länge

%%\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2+4^2}=5%%

Der Vektor %%\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}%% hat die Länge 5.

Normierung

%%\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\cdot\frac15=\begin{pmatrix} \frac35 \\ \frac45\end{pmatrix}%%

Der Einheitsvektor zum Vektor %%\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}%% ist %%\begin{pmatrix} \frac35 \\ \frac45\end{pmatrix}%%.

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Zu course-page Betrag und Normierung: Nicht durch Null teilen
SebSoGa 2016-07-28 15:20:39
Man sollte auf dieser Seite noch erwähnen, dass man den Nullvektor nicht normieren kann
Stromi93 2016-11-09 15:11:20
Ich hab das mal hinzugefügt, ich bin mir generell aber nicht sicher ob der degenerierte Fall von schulischer Interesse ist. Das wird praktisch nie vorkommen.
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