7Exkurs: Ableitung der Wurzelfunktion über h-Methode

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ soll mithilfe der h-Methode abgeleitet werden. Ohne die Verwendung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen wirst du den Differenzenquotienten aufstellen und daraus den Differentialquotienten bilden, den du mit der h-Methode zur Ableitung umformst.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	↓	Setze für $f$ die Wurzelfunktion ein.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ .
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	↓	Multipliziere den Zähler aus, indem du die 3. binomische Formel anwendest.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	↓	Vereinfache die Quadrate im Zähler.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{h}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	↓	Kürze den Faktor $h$ .
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
	↓	Bestimme den Grenzwert.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$
	↓	Fasse die Wurzeln im Nenner zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Mit dieser Rechnung konntest du dich überzeugen, dass die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen auch bei Quadratwurzeln die gleiche Ableitung liefert.

Das bedeutet auch, dass Wurzelfunktionen einfacher abgeleitet werden können, wenn diese zunächst mit der Regel für allgemeine Brüche in Exponenten in eine Potenz umgeschrieben werden. Allgemein gilt:

Ableitung der Quadratwurzel

$\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Ableitung der n-ten Wurzel

$\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

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