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Praktische Umformungen für die Ableitung von Wurzelfunktionen

4Allgemeine Wurzel umformen

Wenn der gesamte Radikand eine Potenz ist, dann kann er anhand der Potenzgesetze für rationale Exponenten umgeformt werden, um die Wurzel aufzulösen.

xba\displaystyle \sqrt[a]{x^b}==(xb)1a\displaystyle (x^b)^{\frac{1}{a}}
↓

Forme die Exponenten anhand der Potenzgesetze um.

==xb⋅1a\displaystyle x^{b\cdot\frac{1}{a}}
↓

Vereinfache den Exponenten.

==xba\displaystyle x^{\frac{b}{a}}
Bild

Du erhältst als allgemeine Formel:

Beispiele:

x5+1=x52+1\sqrt{x^5} + 1 = x^{\frac{5}{2}}+1

(3x+2)47=(3x+2)47\sqrt[7]{(3x+2)^4} = (3x+2)^{\frac{4}{7}}

Summe, Differenz, Produkt und Quotient als Radikand

Wie du in den Beispielen siehst, wird stets der ganze Radikand zur Basis der Potenzfunktion.

Bei Summen und Differenzen wird der gesamte Radikand gemeinsam zur Basis: x−73≠x13−713\sqrt[3]{x-7}\neq x^{\frac 1 3}- 7^\frac 1 3

x−73=(x−7)13\sqrt[3]{x-7}=(x-7)^{\frac 1 3}

Bei Produkten und Quotienten darfst du die Bestandteile auch aufspalten und musst dann aber für jeden Faktor den Exponenten anpassen:

7x34=714⋅x34=(7x3)14≠(7x)34\sqrt[4]{7x^3}=7^{\frac 1 4} \cdot x^{\frac 3 4}= (7x^3)^\frac 1 4\neq (7x)^\frac 3 4


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