Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

1
Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Beispiel an:
$S(1{,}2;3)$ oder $S(1{,}2|3)$ .
1. $f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
  $f(x)=(x-4)^2$
  Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): $f(x)=a(x-d)^2+e$ .
  Lies die Parameter $a,d,e$ vom gegebenen Graphen ab.
  $a=1$ , $d=4$ und $e=0$
  Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als $(d|e)$ .
  $S=(d|e) = (4|0)$ .
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2. $f\left(x\right)=\left(3+x+2\right)^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
  $f(x)=(3+x+2)^2$
  Vereinfache die Funktionsvorschrift.
  $f(x)=(3+x+2)^2\\\hphantom{f(x)}=(x+5)^2$
  Die Funktion ist in Scheitelpunktform: $f(x)=a(x−d)^2+e$ . Lies den Scheitelpunkt ab.
  $\Rightarrow S=(-5|0)$
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3. $f\left(x\right)=x^2+2x+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
  Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:
  $f(x)=x^2+2x+1$
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $f(x)=x^2+2x+1\\\hphantom{f(x)}=\left(x+1\right)^2$
  Die Funktion hat nun die Scheitelform.
  Lies den Scheitelpunkt ab.
  $\Rightarrow S=( -1 | 0 )$
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Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f(x)=\left(x-2\right)^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=(x−2)^2+1$
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Formel der Scheitelform.
$a=1$ , $d=2$ und $e=1$
Der Scheitelpunkt ergibt sich als $S(d|e)$ .
$\Rightarrow S(2|1)$
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$f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht. Vertausche deshalb zuerst die Summanden
$f(x)=−12+(x+8)^2\\\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12$
Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Scheitelform ab.
$a=1$ , $d=-8$ und $e=-12$ .
Den Scheitelpunkt erhältst du als $S(d|e)$
$\Rightarrow S(-8|-12)$
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$f(x)= x^2-4x+4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform
In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.
1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform
$f(x)=x^2-4x+4$
Wende die 2. binomische Formel an.
$f(x)=x^2-4x+4\\\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2$
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.
$\Rightarrow S(2|0)$
2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form
$f(x)=x^2-4x+4$
Bestimme $a$ , $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=1, b=-4, c=4$
Nun kannst du diese in die Formel $S\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
einsetzen.
$S\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S(2|0)$
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$f(x)= x^2+2x-3$

$f(x)=\left(3-x\right)^2$

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
Gegeben ist $f(x)=3(x−2)^2−4$
Die Funktion $f(x)$ liegt bereits in Scheitelform vor. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ der Scheitelform ab.
$a=3$ , $d=2$ und $e=-4$
Dann ist $S(d|e)$ der Scheitelpunkt von $f$ .
$\Rightarrow S(2|-4)$
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$f\left(x\right)=2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$\displaystyle f\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle 2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$
$=$ $\displaystyle 2\left(x+1{,}5\right)^2+2$
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S(-1{,}5\mid2)$
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$f\left(x\right)=2x^2-4{,}8x+0{,}88$

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)$

4
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+4x-5$ anhand deren Nullstellen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
$f(x)=x^2+4x-5$
Berechne die Nullstellen von $f$ , z.B. mit der PQ-Formel:
$x=-2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)}$
$\hphantom{x}= -2 \pm \sqrt{9}$
$\hphantom{x}= -2 \pm 3 \in \{-5, 1\}$
Da $f$ ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind $-5$ und $1$ genau die Nullstellen von $f$ .
$f(x)=0 \Leftrightarrow$
$x^2+4x-5 = 0 \Leftrightarrow$
$x \in \{-5{,}1\}$
Der $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.
Also ist $x_s= \dfrac{-5 + 1}{2} = \dfrac{-4}{2}=-2$ .
Bestimme nun den $y$ -Wert des Scheitels, indem du den $x$ -Wert $x_{s}$ in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt:
Der Scheitelpunkt von $f$ ist also $S=(-2|-9)$ .
5
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-2x^2+6x-2{,}5$ anhand ihrer Nullstellen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
$f(x)=−2x^2+6x−2{,}5$
Berechne die Nullstellen von $f$ , z.B. mit der Mitternachtsformel:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} x_{1/2} &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot (-2)\cdot(-2{,}5)}}{2\cdot (-2)}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{16}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm 4}{-4}\\ \implies x_1 &=& \dfrac{1}{2}\qquad,\qquad x_2 = \dfrac{5}{2} \end{array}$
Da $f$ ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Nullstellen von $f$ sind also $0{,}5$ und $2{,}5$ .
Der $x$ -Wert des Scheitels $x_s$ liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen.Die Zahl $1{,}5$ liegt zwischen $0{,}5$ und $2{,}5$ .
Also ist $x_s= \dfrac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = \dfrac23 = 1{,}5$ .
Bestimme nun den $y$ -Wert des Scheitels, indem du den $x$ -Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
$f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1{,}5)^2+6 \cdot 1{,}5-2{,}5=2$
Der Scheitelpunkt von $f$ ist demnach $S=(1{,}5|2)$ .
6
Gib die Koordinaten des Scheitels folgender Funktionen an.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
1. $g_1:\;x\mapsto x^2-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
  $g_{1}(x)=x^2−2$
  Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.
  $\Rightarrow S=(0\mid-2)$
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2. $g_2\colon x\mapsto x^2+1{,}2-0{,}4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
  $g_{2}(x)=x^2+1{,}2−0{,}4$
  Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.
  $g_2(x)=x^2+1{,}2−0{,}4\\\hphantom{g_2(x)}= x^2+0{,}8$
  $\Rightarrow S=(0\mid0{,}8)$
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Bestimme den Scheitelpunkt:

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f(x)=x^2-3x-\frac34$ (mit quadratischer Ergänzung)

$f(x)=-\frac14x^2+6x-11$

$f(x)=\frac12x^2+4x-24$ (mit Hilfe der Nullstellen)

$f\left(x\right)=-2x^2+8x+10$

$f\left(x\right)=3x^2-4x+18$

$f\left(x\right)=-5x^2-x-2$

$f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10$

$f(x)=\frac12x^2+3x-4$

$f(x)=\frac23x^2+8x$

$f(x)=\frac56x^2+x-1$

$f(x)=-0{,}5x^2+20x-30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ .
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :
$f(x)=−0{,}5x^2+20x−30=0$
Wende die Mitternachtsformel an.
$x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=+20-\sqrt{340}$
$x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=20 +\sqrt{340}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:
$x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20$
Setzt man den $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$ -Wert:
$f(x_{s})=f(20)=−0{,}5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170$
$\Rightarrow S(20 | 170)$
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$f(x)=-\frac34x^2+x$

$f(x)=10x^2+100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=10\cdot x^2+100$
An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.
$\Rightarrow S(0|100)$
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Gib die Scheitelform der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel $f$ an.

9
Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll $60\,\mathrm m$ betragen.
Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.
$f(x)=-\ 0{,}02\cdot x^2+1{,}2\cdot x$
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung
Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt $S$ der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten $(-0{,}02)$ erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.
1. Lösungsmethode
Scheitelpunkt herausfinden
Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.
Die Scheitelpunktsform lautet: $f(x)=a(x−d)^2+e$ .
Du kannst zunächst $-0{,}02$ ausklammern. Dies ist dein $a$ .
Du kannst nun den Wert für $d$ bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.
Multipliziere $(x-d)^2$ in der Scheitelpunktsform aus.
Du erhältst:
Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.
Quadratische Ergänzung:
$x^2 − 60x$ ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also $x^2-2dx$ . Demnach ist $d = \frac{60}{2} = 30$ .
Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:
Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du $30^2$ auch wieder abziehen.
Der vollständige Term lautet:
Setze den Term in den Funktionsterm ein:
Multipliziere die Klammer aus.
Lösung
Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
Die $y$ -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.
Also gilt: $h = 18\,\mathrm m$ .
2. Lösungmethode
Ausnutzen der Achsensymmetrie
Der Brückenbogen $f(x)$ ist an einer Senkrechte $t$ durch den Scheitelpunkt $S(x\mid y)$ achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.
Dafür musst du zuerst die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die $y$ -Koordiante ausrechnen.
Finde die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts.
Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der $60\,\mathrm m$ langen Brücke. Also rechnest du:
$\Rightarrow$ $S(30\mid y)$
Setze 30 für $x$ in der Funktion $f(x)$ ein.
Löse die Funktion nach $y$ auf.
Nun kannst du $y$ in $S$ einsetzen.
Lösung
Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $S$ ist die maximale Höhe des Brückenbogens.
Das heißt:
Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2x-3$
	↓	Ergänze die Funktion quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1-1-3$
	↓	Benutze die 1. binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(3-x\right)^2$
	↓	Klammere (-1) aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2$
	↓	Quadriere die einzelnen Faktoren.
	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^2-4{,}8x+0{,}88$
	↓	Klammere $2$ vor den $x$ -Termen aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2{,}4x\right)+0{,}88$
	↓	Ergänze quadratisch mit $1{,}2^2$ .
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2-1{,}2^2\right)+0{,}88$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2{,}88+0{,}88$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x-1{,}2\right)^2-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+3\right)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle x^2+x-6$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-6$
	↓	Verwende die 1. binomische Formel
	$=$	$\displaystyle \left(x+0{,}5\right)^2-6{,}25$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+3\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle x^2+x-6$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\left(x+1{,}5\right)^2+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-3x-\frac{3}{4}$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2-2\cdot1{,}5x+1{,}5^2-1{,}5^2-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-2{,}25-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-3$
	↓	Lies den Scheitel ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^2+6x-11$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-24x\right)-11$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2\cdot2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x-12\right)^2+25$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+4x-24$
	↓	Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0{,}5\cdot24}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : $\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}$
	↓	Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
	$=$	$\displaystyle -4\pm8$
$\displaystyle f\left(-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24$
	$=$	$\displaystyle -32$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -2x^2+8x+10$
	↓	Klammere die $-2$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x\right)+10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $4$ .
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle -2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+8+10$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+18$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^2-4x+18$
	↓	Klammere $3$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)+18$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{\mathbf4}{\mathbf3}$ .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)+18$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 3\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\right]+18$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{3}+18$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{50}3$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -5x^2-x-2$
	↓	Klammere $-5$ aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x^2+\frac{1}{5}x\right)-2$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac15$ .
	$=$	$\displaystyle \left(-5\right)\cdot\left(x^2+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -5\left(\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Multpliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2+\frac{5}{100}-2$
	↓	Berechne die rechte Summe.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\frac{39}{20}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+0{,}1x^2-10$
	↓	Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2+2x-10$
	↓	Klammere $0{,}1$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x\right)-10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x+10^2-10^2\right)-10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(\left(x+10\right)^2-100\right)-10$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10$
	↓	Bringe den Term auf die Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-20$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+3x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: $x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Setzt man diesen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den $y$ -Wert des Scheitelpunktes:
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{17}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3-\sqrt{17}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x^2+8x$
	↓	Klammere $\frac23$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x+6^2-6^2\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(\left(x+6\right)^2-36\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x+6\right)^2-24$
	↓	$f$ ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}x^2+x-1$
	↓	Klammere $\frac56$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\left(x^2+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(x^2+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(\left(x+\frac{3}{5}\right)^2-\frac{9}{25}-\frac{30}{25}\right)$
	↓	Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{5}{6}\cdot\frac{39}{25}$
	↓	Zusammenrechnen und kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{13}{10}$
	↓	Nun hast du $f$ in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Null setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x(\frac{-3}{4}x+1)$
	↓	Eine Nullstelle ist also $x=0$ . Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du $\frac{-3}{4}x+1=0$ weiter nach $x$ auflöst:
$\displaystyle \frac{-3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot\frac{-4}{3}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$
	↓	Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

$\displaystyle f\left(3\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Setze die Abbildungsvorschrift von $f$ ein.
$\displaystyle a(3-1)^2+1$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle a\cdot2^2+1$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 4a$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

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1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

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1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

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1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

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1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

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1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Lösung

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Lösung