Aufgaben zur Kurvendiskussion
Ganzrationale Funktionen
Funktionenscharen
Anwendungsaufgaben: Optimierungsprobleme
- 1
Führe für jede Funktion jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durch und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.
Folgende Aspekte werden in einer Kurvendiskussion untersucht:
Definitionsbereich
Nullstellen
Symmetrieverhalten
Extrem- und Wendepunkte
Grenzwerte
Monotonie
f(x)=x3−x2−x+1
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit x enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion Df=R.
f(x)=x3−x2−x+1
Um die Nullstellen von f(x) zu bestimmten, wird f(x)=0 gesetzt.
x3−x2−x+1=0
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
f(1)=13−12−1+1=0
⇒NS1(1∣0)
Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.
Polynomdivision
(x3−x2−x+1)÷(x−1)=x2−1−(x3−x2))−x+1−(−x+1)0
Setze die erhaltene Funktion gleich 0.
x2−1=0
x2=1
Ziehe die Wurzel aus x2 und 1.
x2=1
⇒x2=1
⇒x3=−1
Symmetrieverhalten
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis x sind sowohl gerade als auch ungerade.
⇒ Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Prüfen ob f(x)=f(−x)
Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft
x3−x2−x+1=(−x)3−(−x)2−(−x)+1
x3−x2−x+1=−x3−x2+x+1
Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da f(x)=f(−x) .
Prüfen ob f(−x)=−f(x)
Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
(−x)3−(−x)2−(−x)+1=−(x3−x2−x+1)
−x3−x2+x+1=−x3+x2+x−1
Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da f(−x)=−f(x) .
Ableitungen
Erste Ableitung
f(x)=x3−x2−x+1
f′(x)=3x2−2x−1
Zweite Ableitung
Die erste Ableitung von f(x) ist Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.
f′′(x)=6x−2
Dritte Ableitung
f′′′(x)=6
Extrema bestimmen
f′(x)=0
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
3x2−2x−1=0
Da f′(x) ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden.
x1,2=2⋅3−(−2)±(−2)2−4⋅3⋅(−1)
x1,2=62±4−(−12)
x1,2=62±4+12=62±16
x1,2=62±4
x1=62+4=66=1
Der erste x -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion f(x) eingesetzt 0 ergibt.
x2=62−4=6−2=−31
Der zweite x -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion f(x) eingesetzt 0 ergibt.
1. Extremum
f(x)=x3−x2−x+1
x-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
f(1)=13−12−1+1=1−1−1+1=0
f(1)=0
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
f′′(x)=6x−2
f′′(1)=6⋅1−2=4
Da f′′(2)>0 hat f(x) an der Stelle (1∣0) einen Tiefpunkt .
⇒TP(1∣0)
2. Extremum
f(x)=x3−x2−x+1
x -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
f(−31)=(−31)3−(−31)2−(−31)+1
f(−31)=−271−9⋅31⋅3+3⋅91⋅9+1⋅271⋅27
f(−31)=−271−273+279+2727
f(−31)=2732
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
f′′(x)=6x−2
f′′(−31)=6⋅(−31)−2=−4
Da f′′(−31)<0 hat f(x) an der Stelle (−31∣2732) einen Hochpunkt .
⇒HP(−31∣2732)
Wendepunkte bestimmen
f′′(x)=6x−2
Wegen f′′′(x)=6=0 ist die Bedingung immer erfüllt.
f′′(x)=0
6x−2=0
6x=2
⇒ x=62=31
Wendepunkt x=31
f(x)=x3−x2−x+1
Gefundenes x aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in f(x) einsetzen.
f(31)=(31)3−(31)2−31+1
f(31)=271−91−31+1
Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.
f(31)=271−273−279+2727
f(31)=2716
⇒WP(31∣2716)
Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei (31∣2716)
Grenzwertbetrachtung
Df=R
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen ±∞ betrachtet werden.
Bei Polynomen wird der Grenzwert bei ±∞ durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt:
x→∞limx3=∞
und
x→−∞limx3=−∞
Daher ist x→∞limf(x)=∞ und x→−∞limf(x)=−∞.
Graph
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=2x4−4x2+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Definitionsbereich bestimmen
Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion Df=R.
Nullstellenbestimmung
Setze f(x) gleich 0, um die Nullstellen von Gf zu bestimmen.
f(x) = 0 2x4−4x2+1 = 0 Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle. Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen. Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
x2=u⇒f(u)=2u2−4u+1
Setze nun f(u)=0:
2u2−4u+1=0
Zur Lösung dieser Gleichung verwendest du die Mitternachtsformel.
Lies die Werte für a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
a=2, b=−4 und c=1
u1,2 = 2a−b±b2−4ac ↓ Setze a=2, b=−4 und c=1 ein.
= 2⋅2−(−4)±(−4)2−4⋅2⋅1 = 44±16−8 = 44±8 Du hast die beiden Lösungen
u1=44+8=1+48=1+0,5
und u2=44−8=1−48=1−0,5 erhalten.
Resubstitution:
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Setze also x2=u⇒ x2=1+0,5 bzw. x2=1−0,5 und löse nach x auf.
x2 = 1+0,5 x1,2 = ±1+0,5 ≈ ±1,31 x2 = 1−0,5 x3,4 = ±1−0,5 ≈ ±0,54 Der Graph der Funktion f hat also insgesamt vier Nullstellen:
N1(1,31∣0),N2(−1,31∣0),N3(0,54∣0),N4(−0,54∣0)
Ableitungen
Setze die erste Ableitung der Funktion gleich 0, um die Extrema von Gf zu bestimmen.
f′(x) = 0 8x3−8x = 0 ↓ x ausklammern
x⋅(8x2−8) = 0 Du hast die Gleichung x⋅(8x2−8)=0 erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst.
x1=0 oder 8x2−8=0
8x2−8 = 0 +8 8x2 = 8 :8 x2 = 1 Die Gleichung x2=1 hat die beiden Lösungen x2=1 und x3=−1
1. Extremum
Zur Bestimmung des y-Werts des Extremums muss der erste der gefundenen x-Werte x1=0 in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
f(x) = 2x4−4x2+1 ↓ Setze x1=0 ein.
f(0) = 2⋅04−4⋅02+1 = 1 Um herauszufinden, ob der gefundene x-Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird x1=0 in die zweite Ableitung eingesetzt.
f′′(x) = 24x2−8 ↓ Setze x1=0 ein.
f′′(0) = 24⋅02−8 = −8 Da f′′(0)<0 ist, befindet sich an der Stelle x=0 ein Hochpunkt.
⇒HP(0∣1)
2. Extremum
Zur Bestimmung des y-Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen x-Werte x2=1 in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
f(1) = 2⋅14−4⋅12+1 = −1 Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird x2=1 in die zweite Ableitung eingesetzt.
f′′(x) = 24x2−8 ↓ Setze x2=1 ein.
f′′(1) = 24⋅12−8 = 16 Da f′′(1)>0 ist, befindet sich an der Stelle x=1 ein Tiefpunkt.
⇒TP(1∣−1)
3. Extremum
Zur Bestimmung des y-Werts des Extremums muss der dritte der gefundenen x-Werte x3=−1 in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
f(−1) = 2⋅(−1)4−4⋅(−1)2+1 = −1 Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird x3=−1 in die zweite Ableitung eingesetzt.
f′′(x) = 24x2−8 ↓ Setze x3=−1 ein.
f′′(−1) = 24⋅(−1)2−8 = 16 Da f′′(−1)>0 ist, befindet sich an der Stelle x=−1 ein Tiefpunkt.
⇒TP(−1∣−1)
Wendepunkte
Bestimme die x-Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:
f′′(x)=24x2−8
Bestimme jetzt die Lösungen von f′′(x)=0:
24x2−8 = 0 :24 x2−31 = 0 +31 x2 = 31 Du hast die Gleichung x2=31 erhalten. Sie hat die beiden Lösungen x1,2=±31.
Es gibt also die Kandidaten für die Wendepunkte x1=−31 und x2=31. Wenn an diesen Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, ist die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt.
Berechne die dritte Ableitung und setze die möglichen Wendestellen ein:
f′′′(x)=48x
f′′′(±31) = ±348=0 Damit ist die Bedingung erfüllt.
Um die y-Koordinaten zu berechnen, werden die x-Werte in die Funktion f eingesetzt:
f(−31)=2⋅(−31)4−4⋅(−31)2+1=92−34+1=−91
f(31)=2⋅(31)4−4⋅(31)2+1=92−34+1=−91
Damit hast du die Wendepunkte berechnet:
WP1(−31∣−91)bzw.WP1(−31∣−91)
WP2(31∣−91)bzw.WP2(31∣−91)
Grenzwertbetrachtung
Df=R
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für x→±∞ betrachtet werden.
gegen +∞:
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
x→∞lim2x4→∞−4x2+1=∞
gegen −∞:
x→−∞lim2x4→∞−4x2+1=∞
Symmetrie
Durch Betrachtung des Funktionsterms
Die Exponenten zur Basis x sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.
Durch Berechnung mit dem Kriterium f(−x)=f(x)
f(x) = 2x4−4x2+1 f(−x) = 2⋅(−x)4−4⋅(−x)2+1 = 2⋅x4−4⋅x2+1 f(x) = f(−x) Da f(x) gleich f(−x) ist, ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hinweis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind in der Abbildung in aufsteigender Reihenfolge angegeben (im Gegensatz zur obigen Berechnung).
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x3−2x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen mit x enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion Df=R.
Nullstellenbestimmung
Um die Nullstellen von f(x) zu bestimmten, wird f(x)=0 gesetzt.
x3−2x2=0
Klammere x2 aus und betrachte die Faktoren einzeln.
x2(x−2)=0
⇒NS1(0∣0),NS2(2∣0)
Ableitungen
f(x)=x3−2x2
Erste Ableitung
f′(x)=3x2−4x
Zweite Ableitung
f′′(x)=6x−4
Extrema
x-Koordinaten bestimmen
f′(x)=0
3x2−4x=0
x ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.
x(3x−4)=0
⇔x=0 oder 3x−4=0
⇒x1=0,x2=34
y-Koordinaten bestimmen
Setze die gefundenen x -Werte in f ein, um die y -Koordinaten der Extrema zu erhalten.
f(x1)=f(0)=0
da 0 eine Nullstelle ist.
f(x2)=f(34)=(34)3−2⋅(34)2=−2732
Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt
f′′(x)=6x−4
Setze die gefundenen x -Werte in f′′ ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
f′′(x1)=f′′(0)=−4
f′′<0⇒HP(0∣0)
f′′(x4)=f′′(34)=6⋅34−4=4
f′′>0⇒TP(34−2732)
Wendepunkt
f′′(x)=6x−4
Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.
x-Koordinate des Wendepunkts
f′′(x)=0
6x−4=0
⇒xW=64=32
y-Koordinate des Wendepunkts
f(x)=x3−2x2
Das gefundene xW wird in die Funktion f eingesetzt, um die y -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.
f(32)=(32)3−2⋅(32)2=−2716
WP(32−2716)
Grenzwertbetrachtung
Df=R. Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Grenzwertverhalten für x→±∞ untersucht werden.
x→∞limf(x)=x→∞limx3→∞−2⋅x2→∞=∞
limx→−∞f(x)=limx→−∞x3︷→−∞−2⋅x2︷→+∞=−∞
Symmetrie
f(x)=x3−2⋅x2
Die Exponenten zur Basis x sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.
Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:
f(x)=x3−2x2
f(−x)=−x3−2⋅x2
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x4−23x2+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von f(x) in ganz R.
Nullstellenbestimmung
f(x)=21x4−23x2+2
Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grades zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet. Das funktioniert in diesem speziellen Fall, da der Funktionsterm biquadratisch ist, wie im Beispiel des Artikels Substitution.
z=x2
f(x)=21z2−23z+2
Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.
z1/2=2⋅2123±49−4⋅21⋅2=123±49−416=123±−47
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Die Funktion f(x) hat keine Nullstellen.
Ableitungen
f(x)=21x4−23x2+2
Erste Ableitung
f′(x)=2x3−3x
Zweite Ableitung
f′′(x)=6x2−3
Extrema bestimmen
f′(x)=0
Die erste Ableitung wird gleich 0 gesetzt.
2x3−3x=0
In dieser Gleichung kann x ausgeklammert werden. x(2x2−3)=0. Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt die erste Nullstelle.
x1=0
2x2−3=0 liefert zwei weitere Lösungen:
x2,3=±1,5
x2=1,5≈1,22
x3=−1,5≈−1,22
1. Extremum (x=0)
f(x)=21x4−23x2+2
f(0)=2
f′′(0)=6⋅02−3=−3
Da f′′(0) kleiner 0, befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt.
HP=(0∣2)
2. Extremum (x=1,5)
f(x)=21x4−23x2+2
f(1,5)=87
f′′(1,5)=21⋅1,54−23⋅1,52−3
Da f′′(0) größer 0, befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
TP=(1,5∣0,875)
3. Extremum (x=−1,5)
f(x)=21x4−23x2+2
f(−1,5)=87
f′′(−1,5)=21⋅(−1,54)−23⋅(−1,52)−3
Da f′′(0) größer 0, befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
TP=(−1,5∣0,875)
Wendepunkt
Die Wendepunkte werden berechnet, indem die zweite Ableitung null gesetzt wird.
f′′(x)=6x2−3
f′′(x)=0
6x2−3=0
⇒x2=63=21
xW1=21≈0,71
xW2=−21≈0,71
y-Koordinaten bestimmen
f(xW1)=f(21)
f(21)=21⋅214−23⋅212+2=1,375=811=183
f(xW2)=f(−21)
f(−21)=21⋅(−214)−23⋅(−212)+2=1,375=811=183
Ergebnis
WP1=(21∣811)
WP2=(−21∣811)
Grenzwertbetrachtung
Df=R. Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Grenzwertverhalten der Funktion für x→±∞ betrachtet werden.
gegen +∞
limx→∞21x4︷→∞−23⋅x2︷→∞+2=∞
gegen −∞
limx→−∞21x4︷→∞−23⋅x2︷→∞+2=∞
Symmetrie
Da alle Exponenten zur Basis x gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:
f(x)=f(−x)
Durch Ersetzen von x im rechten Funktionsterm mit −x wird überprüft, ob die Funktion eine y-Achsensymmetrie aufweist.
21x4−23x2+2=?21(−x)4−23(−x)2+2
21x4−23x2+2=21x4−23x2+2
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von
f(x)=121⋅(3x4+4x3−12x2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion f benötigst du die Ableitungen von f.
Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.
Erste Ableitung
f(x)=121(3x4+4x3−12x2)
Leite f mithilfe der Ableitungsregeln a.
f′(x)=121(12x3+12x2−24x)
f′(x)=x3+x2−2x
Zweite Ableitung
f′(x)=x3+x2−2x
Nutze die erste Ableitung von f(x) als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von f zu bestimmen.
f′′(x)=3x2+2x−2
Extrema bestimmmen
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also f′(x) gleich 0.
0 = x3+x2−2x ↓ x ausklammern.
0 = x⋅(x2+x−2x) ↓ Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da x als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.
⇒x1=0
Löse nun die Gleichung x2+x−2x=0.
x2+x−2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3 = 2⋅1−1±12−4⋅1⋅(−2) ↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
x2,3 = 2−1±9 ↓ Wurzel ziehen.
x2,3 = 2−1±3 x2