Aufgaben zum Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
- 1
Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Wende das Potenzgesetz an. Hier ist .
↓ Fasse den Exponent zusammen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Wende zunächst die Potenzgesetze auf an.
↓ Wende nun das Potenzgesetz auf an.
↓ Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Wende das Potenzgesetz auf an.
↓ Schreibe .
↓ Wende das Potenzgesetz auf an.
↓ Wende das Potenzgesetz an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Wende das Potenzgesetz an.
↓ Fasse den Exponenten zusammen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Wende das Potenzgesetz auf an.
↓ Fasse den Exponenten von zusammen.
↓ Schreibe .
↓ Verwende die Potenzregel .
↓ Fasse die Basis zusammen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Verwende das Potenzgesetz auf die Basis an.
↓ Verwende das Potenzgesetz auf die Basis an.
↓ Verwende das Potenzgesetz .
↓ Fasse die Basis zusammen.
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- 2
Fasse so weit wie möglich zusammen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
1. Darstellung
↓ Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
2. Darstellung
↓ Potenzgesetze anwenden
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
↓ Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
↓ Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
↓ Verrechne im Exponenten
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
↓ Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ 9 als schreiben
↓ Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
↓ Vereinfache die Exponenten
↓ Ausrechnen
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ entspricht
↓ Wende die Potenzrechengesetze an.
Alternativer Lösungsweg
↓ Negative Potenzen werden als Bruch mit im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
↓ Multiplizieren
↓ Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann ausgeklammert werden.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende zuerst das Potenzgesetz an. Das Minus im Exponent in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
↓ Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
↓ Kürzen mit
↓ Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
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- 3
Vereinfach die folgenden Terme.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
↓ ↓ Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
↓ Berechne die Differenz der Potenz.
↓ Potenziere und addiere.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Potenzgesetze anwenden.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ In Bruchform umwandeln
↓ Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Potenzgesetze anwenden
↓ Hauptnenner () bilden.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Potenzgesetz anwenden
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
↓ Schreibweise als Bruch
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- 4
Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz, bei gleichen Basen, immer anwenden
↓ ↓ Die Basen sind zwar unterschiedlich, aber da die Potenzen gleich sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.
- 5
Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Schreibe 90 als Potenz mit 3 als Basis.
↓ Wende die Potenzgesetze an.
↓ Klammere aus.
↓ Schreibe 9 in eine 3er Potenz um
↓ Wende die Potenzgesetze an.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
↓ in umwandeln damit kürzen möglich ist.
↓ Kürze die Potenzen.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Klammer aus.
↓ Dividiere und wende die Potenzgesetze an.
↓ Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung
↓ Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
↓ Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
↓ Fasse zusammen.
↓ Kürze.
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Annahme: ,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Da größer als ist, kannst du mit dem Kehrwert multiplizieren. Für den Wert von
gilt dann
↓ Potenzen ausmultiplizieren.
↓ Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.
↓ Faktorenzerlegung von
↓ Klammern auflösen.
↓ Weiter vereinfachen.
↓ Nenner zusammenfassen.
↓ Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.
↓ Negative Exponenten in einen Bruch umwandeln.
Weil eine gerade Zahl ist, ist , und daher kann man das Ergebnis auch als oder als schreiben.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze anwenden.
↓ Potenzgesetze im Zähler anwenden.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Klammer nach Potenzgesetzen auflösen.
↓ Division in Bruchschreibweise darstellen.
↓ Wandle den Doppelbruch um.
↓ Zu einem Bruch zusammenfassen.
↓ Exponenten zusammenfassen.
↓ Kürze mithilfe der Regeln für Potenzgesetze.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Den zweiten Bruch mit erweiteren.
↓ mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.
↓ Den dritten Bruch mit erweiteren.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetz anwenden.
↓ Klammer auflösen.
↓ Potenzgesetz anweden.
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für
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Den Bruch in der runden Klammer mit 2 erweitern.
↓ Potenzgesetz anwenden.
↓ ↓ Potenzgesetz anwenden.
↓ Runde Klammer: Hauptnenner bilden.
↓ Potenzgesetz anwenden.
↓ ↓ Im Nenner (-1) ausklammern.
↓ mit kürzen.
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Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze anwenden.
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- 6
Schreibe als Dezimalzahl.
- 7
Gesucht sind Potenzen mit negativen oder positiven Exponenten. Kreuze jeweils alle richtigen Antworten an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Es gibt zwei Lösungen:
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- 8
Atome sind überall
Ein Heliumatom besitzt einen Durchmesser von etwa Meter, ein Wasserstoffatom wiegt etwa Kilogramm.
Die Masse des Jupiters beträgt etwa kg , wovon etwa kg Wasserstoff sind.
Welche Vorstellung kann man sich von der Größe der Atome und ihrer Masse machen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Ein Wasserstoffatom hat ungefähr den Durchmesser von .
Die Zehnerpotenz kann man auch als Bruch schreiben. Das sieht dann so aus:
also sind sechs einhundert Milliardstel Meter.
Stell dir vor, du würdest einen Millimeter auf dem Lineal nochmal in Millionen Teile teilen. Davon nimmt man Teile. Dann ist man bei der Größe eines Atoms.
Jetzt steht im Nenner des Bruchs eine mit Nullen. Diese Zahl nennt man auch Quadrilliarde. Ein Atom wiegt also ungefähr ein quadrilliardstel Kilogramm. Stell dir vor du nimmst einen gestrichenen Teelöffel mit Backpulver.
Dieser wiegt etwa g, also wiegt ein halber Teelöffel etwa g. Dieses kleine Häufchen Backpulver teilst du in eine Billionen Häufchen. Aber damit nicht getan. Eines dieser Häufchen teilst du nochmals in eine Billionen kleinere Häufchen. Die Masse eines dieser zwei Mal geteilten entspricht in etwa der Masse eines Wasserstoffatoms. Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl!
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Berechne die Anzahl der Wasserstoffatome, die der Jupiter enthält.
Verwende für die Lösung folgende Schreibweise: Basis^Exponent
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters beträgt und die Masse eines Wasserstoffatoms: .
Teilt man nun die Masse des Wasserstoffanteils im Jupiter durch die Masse eines Wasserstoffatoms, so erhält man die Anzahl an Atomen.
Aus diesem Bruch kann man die Einheit kg und die direkt kürzen, da sie als Produkt im Zähler und im Nenner stehen.
Wende nun das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis an
Der Jupiter enthält also die unglaublich hohe Anzahl von Wasserstoffatomen!
Diese Zahl nennt man übrigens Nonillion.
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- 9
Berechne jeweils:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Ein häufiger Fehler ist es, zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Ein häufiger Fehler ist es, zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert. Achte darauf, das Minuszeichen mit in der Lösung anzugeben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Schreibe die Potenz aus. Achte darauf, die Vorzeichen richtig zusammenzufassen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz gilt hierbei.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz gilt hierbei.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die gesuchte Lösung ist .
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Die Potenz bedeutet .
- 10
Umgang mit Potenzen
Klicke die richtige Lösung an!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ Für negative Exponenten gilt:
↓ Löse den Doppelbruch auf.
↓ Umrechnen in Dezimalzahlen.
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Gib die Basis des Terms an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Der Exponent ist . Die Basis ist demnach .
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Was stimmt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
↓ Für negative Exponenten gilt:
↓ Berechne das Quadrat.
↓ Beseitige den Doppelbruch.
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- 11
Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
Das Ergebnis ist also positiv.
- 12
Berechne den Wert folgender Terme.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die Lösung ist .
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Die Potenz ist ausgeschrieben .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die Lösung ist .
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Die Potenz ist ausgeschrieben .
Einen Bruch kannst du mithilfe "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel schreibt man als "1/3".
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die Lösung ist .
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Die Potenz ist ausgeschrieben .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die Lösung ist .
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Die Potenz ist ausgeschrieben .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Die Lösung ist . Bei geradem Exponent wäre die Lösung positiv.
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Die Potenz ist ausgeschrieben .
- 13
Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das passiert, wenn der Nenner kleiner als 1 ist, wie in diesem Fall
Berechne zunächst den Wert der Basis:
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
- 14
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Der Betrag der neuen Basis ist kleiner als 1. Diese Zahl wird mit sich selbst multipliziert, wodurch sie immer kleiner wird und damit auch kleiner als 1 bleibt.
Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.
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