Aufgaben zum Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:

$3^{2} \cdot 3^{1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$3^{2} \cdot 3^{1}$ $=$
↓
Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ an. Hier ist $x = 2, y = 1, a = 3$ .
$=$ $3^{2 + 1}$
↓
Fasse den Exponent zusammen.
$=$ $3^{3}$
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$4^{2} \cdot 4^{9} \cdot 4^{- 12}$

$4^{8} \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{5} \cdot 5^{9}$

${(7^{7})}^{7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
${(7^{7})}^{7}$ $=$
↓
Wende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ an.
$=$ $7^{7 \cdot 7}$
↓
Fasse den Exponenten zusammen.
$=$ $7^{49}$
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$\frac{9^{2}}{9^{- 3}} : 3^{5}$

$\frac{\frac{26^{2}}{26^{8}}}{\frac{13^{- 3}}{13^{3}}}$

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$a^{3} : a^{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
1. Darstellung
$\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}$ $=$
↓
Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
$=$ $\frac{1}{a \cdot a \cdot a}$
$=$ $\frac{1}{a^{3}} = a^{- 3}$
2. Darstellung
$a^{3} : a^{6}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden
$=$ $a^{3 - 6}$
$=$ $a^{- 3}$
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$2 x^{- 2} \cdot 3 x^{3}$

$10^{- 12} : 10^{- 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
$10^{- 12} : 10^{- 3}$ $=$
↓
Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
$=$ $10^{- 12 - (- 3)}$
↓
Fasse den Exponenten zusammen.
$=$ $10^{- 9}$
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$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$ $=$
↓
9 als $3^{2}$ schreiben
$=$ $6 : 2^{3} - 3^{2} \cdot 3^{- 2}$
↓
Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
$=$ $6 : 8 - 3^{2 + (- 2)}$
↓
Vereinfache die Exponenten
$=$ $6 : 8 - 3^{0}$
↓
Ausrechnen
$=$ $0,75 - 1$
$=$ $- 0,25$
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$x^{- n} \cdot x$

$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann $0,5 x^{2}$ ausgeklammert werden.
$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$ $=$
↓
$0,5 x^{2}$ ausklammern.
$=$ $0,5 x^{2} (1 + 3 x)$
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${(\frac{x^{3} y^{- 4}}{y^{- 5} y^{2}})}^{- 2}$

${(2 x^{3})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(2 x^{3})}^{2}$ $=$
↓
Potenzgesetz : ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
$=$ $2^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$
$=$ $4 \cdot x^{6}$
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Vereinfach die folgenden Terme.

$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden.
$=$ $x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
$=$ $x^{2}$
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$10^{- 1} + 10^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$10^{- 1} + 10^{- 2}$ $=$
↓
In Bruchform umwandeln
$=$ $\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
↓
Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
$=$ $\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
$=$ $\frac{11}{100}$
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$x^{- 1} + x^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} + x^{- 2}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden
$=$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
↓
Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
$=$ $\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
$=$ $\frac{1 + x}{x^{2}}$
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$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$ $=$
↓
Potenzgesetz anwenden
$=$ $x^{- 2} - x^{2 - 4}$
$=$ $x^{- 2} - x^{- 2}$
$=$ $0$
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$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$ $=$
↓
Schreibweise als Bruch
$=$ $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
$=$ $\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
↓
Kürzen
$=$ $2 + \frac{2}{x}$
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Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze

a^{4} \cdot d^{- 2} \cdot c^{9} \cdot a^{2} \cdot b^{6} \cdot d^{- 9} \cdot c^{5}

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.

$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$ $=$ $(z^{2 k - 5 - 3}) : z^{k}$
$=$ $z^{2 k - 8} : z^{k}$
$=$ $z^{2 k - 8 - k}$
$=$ $z^{k - 8}$
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$90 \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$

${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$ für $x \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$ $=$ ${(\frac{x}{4})}^{3 \cdot 5} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ ${(\frac{x}{4})}^{15} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{2^{6}}{x^{6}})$
↓
$2^{6}$ in $4^{3}$ umwandeln damit kürzen möglich ist.
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{4^{3}}{x^{6}})$
↓
Kürze die Potenzen.
$=$ $\frac{x^{9}}{4^{12}}$
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$\frac{{(3 a - 1)}^{2 k - 1}}{{(1 - 3 a)}^{2 k + 1}}$ für $a \neq \frac{1}{3}$

${(\frac{6 a^{2} b^{- 2}}{c^{n + 1} d^{2 n}})}^{3} : {[\frac{2 {(cd)}^{n}}{{ab}^{- 1}} \cdot \frac{c^{n} d^{2 n}}{3 {ab}^{- 2}}]}^{- 2}$ für $a, b, c, d \neq 0$

\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} : \frac{x^{2 a}}{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}

Annahme: $x, y, z > 0$ , $b \in ℤ$

${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$ für $a, b, c \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze anwenden.
${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$ $=$ $\frac{2^{- 3} a^{3} b^{- 6}}{3^{- 3} a^{- 3} c^{6}}$
$=$ $\frac{a^{3} 3^{3} a^{3}}{2^{3} c^{6} b^{6}}$
$=$ $\frac{a^{3} \cdot 27 a^{3}}{8 c^{6} b^{6}}$
↓
Potenzgesetze im Zähler anwenden.
$=$ $\frac{27 a^{6}}{8 b^{6} c^{6}}$
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${(\frac{u}{v})}^{n} \cdot {(\frac{v}{u})}^{3 n + 4} : {(\frac{- v}{u})}^{2 n + 1}$ für $u, v \neq 0$

$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{m}} + \frac{2 - x}{x^{m - 2}}$ für $x \neq 0$

${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1} : {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{4 p}$ für $z \in̸ {- 5; 3}$

${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t}{2} - 1)}^{- 1}]}^{- 2}$ für $t \in̸ {- 2; 0; 2}$

Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.

$\frac{4 a^{- 1} z^{2}}{{(x^{2} y)}^{3}} : \frac{{(2 a)}^{- 3}}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}$

6
Schreibe als Dezimalzahl.
1. $3 \cdot 10^{7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $3 \cdot 10^{7} = 3 \cdot 10 000 000 = 30 000 000$
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2. $6,4 \cdot 10^{- 4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $6,4 \cdot 10^{- 4} = 6,4 \cdot 0,0001 = 0,00064$
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3. $1,6 \cdot 10^{- 6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $1,6 \cdot 10^{- 6} = 1,6 \cdot 0,000001 = 0,0000016$
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4. $7,4 \cdot 10^{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $7,4 \cdot 10^{9} = 7,4 \cdot 1 000 000 000 = 7 400 000 000$
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7
Gesucht sind Potenzen mit negativen oder positiven Exponenten. Kreuze jeweils alle richtigen Antworten an.
1. $35 000 000 000$
  $35 \cdot 10^{10}$
  $3,5 \cdot 10^{- 8}$
  $3,5 \cdot 10^{10}$
  $3,5 \cdot 10^{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $35 000 000 000 = 35 \cdot 1 000 000 000 = 35 \cdot 10^{9} = 3,5 \cdot 10^{10}$
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2. $470 000 000$
  $47 \cdot 10^{6}$
  $47 \cdot 10^{7}$
  $47 \cdot 10^{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $470 000 000 = 47 \cdot 10 000 000 = 47 \cdot 10^{7}$
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3. $0,0000001$
  $10^{- 6}$
  $10^{- 7}$
  $10^{7}$
  $10^{6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $0,0000001 = 10^{- 7}$
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4. $0,0000054$
  $5,4 \cdot 10^{- 5}$
  $5,4 \cdot 10^{- 6}$
  $5,4 \cdot 10^{- 7}$
  $54 \cdot 10^{- 7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Es gibt zwei Lösungen:
  $0,0000054 = 5,4 \cdot 10^{- 6} = 54 \cdot 10^{- 7}$
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8
Atome sind überall
Ein Heliumatom besitzt einen Durchmesser von etwa $6 \cdot 10^{- 11}$ Meter, ein Wasserstoffatom wiegt etwa $1,7 \cdot 10^{- 27}$ Kilogramm.
Die Masse des Jupiters beträgt etwa $1,899 \cdot 10^{27}$ kg , wovon etwa $1,7 \cdot 10^{27}$ kg Wasserstoff sind.
1. Welche Vorstellung kann man sich von der Größe der Atome und ihrer Masse machen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Ein Wasserstoffatom hat ungefähr den Durchmesser von $6 \cdot 10^{- 11} m$ .
  Die Zehnerpotenz kann man auch als Bruch schreiben. Das sieht dann so aus:
  $10^{- 11} = \frac{1}{100 000 000 000}$ also sind $6 \cdot 10^{- 11} m$ sechs einhundert Milliardstel Meter.
  Stell dir vor, du würdest einen Millimeter auf dem Lineal nochmal in $100$ Millionen Teile teilen. Davon nimmt man $6$ Teile. Dann ist man bei der Größe eines Atoms.
  Die Masse des Atoms beträgt $1,7 \cdot 10^{- 27} k g$ .
  Jetzt steht im Nenner des Bruchs eine $1$ mit $27$ Nullen. Diese Zahl nennt man auch Quadrilliarde. Ein Atom wiegt also ungefähr ein quadrilliardstel Kilogramm. Stell dir vor du nimmst einen gestrichenen Teelöffel mit Backpulver.
  Dieser wiegt etwa $3$ g, also wiegt ein halber Teelöffel etwa $1,5$ g. Dieses kleine Häufchen Backpulver teilst du in eine Billionen Häufchen. Aber damit nicht getan. Eines dieser Häufchen teilst du nochmals in eine Billionen kleinere Häufchen. Die Masse eines dieser zwei Mal geteilten entspricht in etwa der Masse eines Wasserstoffatoms. Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl!
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2. Berechne die Anzahl der Wasserstoffatome, die der Jupiter enthält.
  Verwende für die Lösung folgende Schreibweise: Basis^Exponent
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters beträgt $m_{J} = 1,7 \cdot 10^{27} k g$ und die Masse eines Wasserstoffatoms: $m_{H} = 1,7 \cdot 10^{- 27} k g$ .
  Teilt man nun die Masse des Wasserstoffanteils im Jupiter durch die Masse eines Wasserstoffatoms, so erhält man die Anzahl an Atomen.
  $\frac{m_{J}}{m_{H}} = \frac{1,7 \cdot 10^{27} k g}{1,7 \cdot 10^{- 27} k g}$
  Aus diesem Bruch kann man die Einheit kg und die $1,7$ direkt kürzen, da sie als Produkt im Zähler und im Nenner stehen.
  $\frac{m_{J}}{m_{H}} = \frac{1,7 \cdot 10^{27} k g}{1,7 \cdot 10^{- 27} k g} = \frac{10^{27}}{10^{- 27}}$
  Wende nun das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis an
  $\frac{m_{J}}{m_{H}} = \frac{1,7 \cdot 10^{27} k g}{1,7 \cdot 10^{- 27} k g} = \frac{10^{27}}{10^{- 27}} = 10^{27 - (- 27)} = 10^{54}$
  Der Jupiter enthält also die unglaublich hohe Anzahl von $10^{54}$ Wasserstoffatomen!
  Diese Zahl nennt man übrigens Nonillion.
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  Teile die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters durch die Masse eines Atoms um auf die Anzahl der Atome zu kommen.
9
Berechne jeweils:
1. $5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{3}$
  $= 5 \cdot 5 \cdot 5$
  $= 125$
  Die gesuchte Lösung ist $125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert.
2. $- 5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{3}$
  $= - (5 \cdot 5 \cdot 5)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert. Achte darauf, das Minuszeichen mit in der Lösung anzugeben.
3. ${(- 5)}^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 5)}^{3}$
  $= (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Schreibe die Potenz aus. Achte darauf, die Vorzeichen richtig zusammenzufassen.
4. $5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{- 3}$
  $= {(\frac{1}{5})}^{3}$
  $= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
  $= \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{125}$ .
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5. $- 5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{- 3}$
  $= - {(\frac{1}{5})}^{3}$
  $= - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
  $= - \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.
6. ${(- 5)}^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 5)}^{- 3}$
  $= {(- \frac{1}{5})}^{3}$
  $= (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5})$
  $= - \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.
7. ${(\frac{1}{2})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(\frac{1}{2})}^{2}$
  $= \frac{1^{2}}{2^{2}}$
  $= \frac{1}{4}$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{4}$ .
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  Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{2}$ bedeutet $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .
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Umgang mit Potenzen
1. Klicke die richtige Lösung an!
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1} = 0,6$
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1} = - \frac{5}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$
  ↓
  Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{(\frac{5}{3})}$
  ↓
  Löse den Doppelbruch auf.
  $=$ $\frac{3}{5}$
  ↓
  Umrechnen in Dezimalzahlen.
  $=$ $0,6$
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2. Gib die Basis des Terms ${(x + 2)}^{4}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(x + 2)^{4}$
  Der Exponent ist $4$ . Die Basis ist demnach $(x + 2)$ .
  $x + 2$
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3. Was stimmt?
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = 9$
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = \frac{1}{9}$
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = - \frac{1}{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2}$ $=$
  ↓
  Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
  $=$ $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$
  ↓
  Berechne das Quadrat.
  $=$ $\frac{1}{\frac{1}{9}}$
  ↓
  Beseitige den Doppelbruch.
  $=$ $9$
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Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
${(- 18)}^{37} \cdot 2^{17} \cdot {(- 100)}^{18} \cdot {(- 3)}^{5}$
Das Ergebnis ist positiv.
Das Ergebnis ist negativ.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
$\underline{\underset{⏟}{(- 18)^{37}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{2^{17}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 100)^{18}}} \cdot \underline{\underset{⏟}{(- 3)^{5}}} = +$
Das Ergebnis ist also positiv.
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Berechne den Wert folgender Terme.
1. $2^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $2^{3}$ $=$ $2 \cdot 2 \cdot 2$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $2 \cdot 2 \cdot 2$ $=$ $8$
  Die Lösung ist $8$ .
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  Die Potenz $2^{3}$ ist ausgeschrieben $2 \cdot 2 \cdot 2$ .
2. $(- 2)^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 2)}^{4}$ $=$ $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ $=$ $16$
  Die Lösung ist $16$ .
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  Die Potenz $(- 2)^{4}$ ist ausgeschrieben $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ .
3. ${(\frac{1}{2})}^{4}$
  Einen Bruch kannst du mithilfe "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel schreibt man $\frac{1}{3}$ als "1/3".
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(\frac{1}{2})}^{4}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{16}$
  Die Lösung ist $\frac{1}{16}$ .
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  Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{4}$ ist ausgeschrieben $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .
4. $1^{1001}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $1^{1001}$ $=$ $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $1$ .
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  Die Potenz $1^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{1 \cdot . . . \cdot 1}}$ .
5. $(- 1)^{1001}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 1)}^{1001}$ $=$ $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$ $=$ $- 1$
  Die Lösung ist $(- 1)$ . Bei geradem Exponent wäre die Lösung positiv.
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  Die Potenz $(- 1)^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{(- 1) \cdot . . . \cdot (- 1)}}$ .
13
Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.
${(2 - 1,5)}^{(- 2)}$
Der Betrag des Terms ist kleiner als 1.
Der Betrag des Terms ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
${0,5}^{- 2} = \frac{1}{{0,5}^{2}}$
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
$\frac{1}{{0,5}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das passiert, wenn der Nenner kleiner als 1 ist, wie in diesem Fall $\frac{1}{4} < 1.$
Berechne zunächst den Wert der Basis: $2 - 1,5 = 0,5$
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
14
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
${(\frac{3}{2})}^{- 3}$
Der Term ist kleiner als 1.
Der Term ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} < 1$
Der Betrag der neuen Basis $\frac{2}{3}$ ist kleiner als 1. Diese Zahl wird mit sich selbst multipliziert, wodurch sie immer kleiner wird und damit auch kleiner als 1 bleibt.
Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3}$
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
$(\frac{1}{\frac{3}{2}}) = {\frac{2}{3}}^{}$
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$A$	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} : \frac{x^{2 a}}{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}$
	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {(- z)}^{4 (3 b + 3)}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- z)}^{3 (2 b - 1)}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y)}^{6 b + 15} \cdot {(- z)}^{12 b + 12}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- z)}^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	↓	Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot y^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12} \cdot z^{12 b + 12}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	↓	Faktorenzerlegung von ${(yz)}^{6 b + 10}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot y^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12} \cdot z^{12 b + 12}} \cdot \frac{y^{6 b + 10} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5 - 2 a}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{6 b + 10 - (6 b + 15)} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3 - (12 b + 12)}$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5 - 2 a}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{6 b + 10 - 6 b - 15} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3 - 12 b - 12}$
	$=$	$\frac{x^{5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{- 5} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{- 6 b - 15}$
	↓	Weiter vereinfachen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{6 b + 10 - 6 b - 15} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}}$
	↓	Nenner zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15 + 12 b + 12}}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{18 b + 27}}$
	↓	Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3 - (18 b + 27)}}{1}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}}{1}$
	$=$	$x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}$
	↓	Negative Exponenten in einen Bruch umwandeln.
	$=$	$\frac{x^{5}}{y^{5} \cdot z^{5}} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}$

$3^{2} \cdot 3^{1}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ an. Hier ist $x = 2, y = 1, a = 3$ .
	$=$	$3^{2 + 1}$
	↓	Fasse den Exponent zusammen.
	$=$	$3^{3}$

$4^{2} \cdot 4^{9} \cdot 4^{- 12}$	$=$
	↓	Wende zunächst die Potenzgesetze auf $4^{2} \cdot 4^{9}$ an.
	$=$	$4^{2 + 9} \cdot 4^{- 12}$
	$=$	$4^{11} \cdot 4^{- 12}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz auf $4^{11} \cdot 4^{- 12}$ an.
	$=$	$4^{- 1}$
	↓	Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet $a^{- 1} = \frac{1}{a} .$
	$=$	$\frac{1}{4}$

$4^{8} \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{5} \cdot 5^{9}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ auf $2^{- 3} \cdot 2^{5}$ an.
	$=$	$4^{8} \cdot 2^{2} \cdot 5^{9}$
	↓	Schreibe $2^{2} = 2 \cdot 2 = 4 = 4^{1}$ .
	$=$	$4^{8} \cdot 4^{1} \cdot 5^{9}$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ auf $4^{8} \cdot 4^{1}$ an.
	$=$	$4^{9} \cdot 5^{9}$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot b^{x} = (a \cdot b)^{x}$ an.
	$=$	$20^{9}$

${(7^{7})}^{7}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ an.
	$=$	$7^{7 \cdot 7}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$7^{49}$

$\frac{9^{2}}{9^{- 3}} : 3^{5}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ auf $\frac{9^{2}}{9^{- 3}}$ an.
	$=$	$9^{2 - (- 3)} : 3^{5}$
	↓	Fasse den Exponenten von $9$ zusammen.
	$=$	$9^{5} : 3^{5}$
	↓	Schreibe $a : b = \frac{a}{b}$ .
	$=$	$\frac{9^{5}}{3^{5}}$
	↓	Verwende die Potenzregel $\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ .
	$=$	${(\frac{9}{3})}^{5}$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$3^{5}$

$\frac{\frac{26^{2}}{26^{8}}}{\frac{13^{- 3}}{13^{3}}}$	$=$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ auf die Basis $26$ an.
	$=$	$\frac{26^{- 6}}{\frac{13^{- 3}}{13^{3}}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ auf die Basis $13$ an.
	$=$	$\frac{26^{- 6}}{13^{- 6}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ .
	$=$	${(\frac{26}{13})}^{- 6}$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$2^{- 6}$

$\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}$	$=$
	↓	Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
	$=$	$\frac{1}{a \cdot a \cdot a}$
	$=$	$\frac{1}{a^{3}} = a^{- 3}$

$a^{3} : a^{6}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$a^{3 - 6}$
	$=$	$a^{- 3}$

$2 x^{- 2} \cdot 3 x^{3}$	$=$
	↓	Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
	$=$	$2 \cdot 3 \cdot x^{- 2} \cdot x^{3}$
	↓	Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
	$=$	$2 \cdot 3 \cdot x^{- 2 + 3}$
	↓	Verrechne im Exponenten
	$=$	$6 x$

$10^{- 12} : 10^{- 3}$	$=$
	↓	Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
	$=$	$10^{- 12 - (- 3)}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$10^{- 9}$

$10^{- 1} + 10^{- 2}$	$=$
	↓	In Bruchform umwandeln
	$=$	$\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
	↓	Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
	$=$	$\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
	$=$	$\frac{11}{100}$

$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$	$=$	$(z^{2 k - 5 - 3}) : z^{k}$
	$=$	$z^{2 k - 8} : z^{k}$
	$=$	$z^{2 k - 8 - k}$
	$=$	$z^{k - 8}$

${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$	$=$	${(\frac{x}{4})}^{3 \cdot 5} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	${(\frac{x}{4})}^{15} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{2^{6}}{x^{6}})$
	↓	$2^{6}$ in $4^{3}$ umwandeln damit kürzen möglich ist.
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{4^{3}}{x^{6}})$
	↓	Kürze die Potenzen.
	$=$	$\frac{x^{9}}{4^{12}}$

${(\frac{6 a^{2} b^{- 2}}{c^{n + 1} d^{2 n}})}^{3} : {[\frac{2 {(cd)}^{n}}{{ab}^{- 1}} \cdot \frac{c^{n} d^{2 n}}{3 {ab}^{- 2}}]}^{- 2}$	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6} b^{- 6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n}}) : {(\frac{{ab}^{- 1} \cdot 3 {ab}^{- 2}}{2 {(cd)}^{n} \cdot c^{n} d^{2 n}})}^{2}$
	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n} \cdot b^{6}}) : (\frac{a^{2} b^{- 2} \cdot 3^{2} a^{2} b^{- 4}}{2^{2} {(cd)}^{2 n} \cdot c^{2 n} d^{4 n}})$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n} \cdot b^{6}}) \cdot (\frac{2^{2} {(cd)}^{2 n} \cdot c^{2 n} d^{4 n}}{a^{2} b^{- 2} \cdot 3^{2} a^{2} b^{- 4}})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{216 a^{6} 4 c^{4 n} d^{6 n}}{9 a^{4} c^{3 n + 3} d^{6 n}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{216 a^{2} 4 c^{n - 3}}{9}$
	$=$	$96 a^{2} c^{n - 3}$

$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$	$=$
	↓	9 als $3^{2}$ schreiben
	$=$	$6 : 2^{3} - 3^{2} \cdot 3^{- 2}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
	$=$	$6 : 8 - 3^{2 + (- 2)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten
	$=$	$6 : 8 - 3^{0}$
	↓	Ausrechnen
	$=$	$0,75 - 1$
	$=$	$- 0,25$

$x^{- n} \cdot x$	$=$
	↓	$x$ entspricht $x^{1}$
	$=$	$x^{- n} \cdot x^{1}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
	$=$	$x^{- n + 1}$

$x^{- n} \cdot x$	$=$
	↓	Negative Potenzen werden als Bruch mit $1$ im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
	$=$	$\frac{1}{x^{n}} \cdot x^{1}$
	↓	Multiplizieren
	$=$	$\frac{x^{1}}{x^{n}}$
	↓	Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
	$=$	$x^{1 - n}$

$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$	$=$
	↓	$0,5 x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$0,5 x^{2} (1 + 3 x)$

${(\frac{x^{3} y^{- 4}}{y^{- 5} y^{2}})}^{- 2}$	$=$	${(\frac{y^{- 5} y^{2}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
	$=$	${(\frac{y^{- 5 + 2}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	$=$	${(\frac{y^{- 3}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	↓	Kürzen mit $y^{- 3}$
	$=$	${(\frac{1}{x^{3} y^{- 1}})}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
	$=$	${(\frac{y}{x^{3}})}^{2}$
	$=$	$\frac{y^{2}}{x^{6}}$

${(2 x^{3})}^{2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz : ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
	$=$	$2^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$
	$=$	$4 \cdot x^{6}$

$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$	$=$
	↓	Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
	$=$	$10^{1 - 2} : 10^{4} + 10^{0}$
	↓	Berechne die Differenz der ersten Potenz.
	$=$	$10^{- 1} : 10^{4} + 1$
	↓	Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
	$=$	$10^{- 1 - 4} + 1$
	↓	Berechne die Differenz der Potenz.
	$=$	$10^{- 5} + 1$
	↓	Potenziere und addiere.
	$=$	$1,00001$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
	$=$	$x^{2}$

$x^{- 1} + x^{- 2}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
	$=$	$\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{1 + x}{x^{2}}$

$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$x^{- 2} - x^{2 - 4}$
	$=$	$x^{- 2} - x^{- 2}$
	$=$	$0$

Aufgaben zum Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

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1. Darstellung

2. Darstellung

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Potenzgesetze

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Potenzgesetze

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Alternativer Lösungsweg

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Atome sind überall

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$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$	$=$
	↓	Schreibweise als Bruch
	$=$	$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
	↓	Kürzen
	$=$	$2 + \frac{2}{x}$

$a^{4} \cdot d^{- 2} \cdot c^{9} \cdot a^{2} \cdot b^{6} \cdot d^{- 9} \cdot c^{5}$	$=$
	↓	Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz, bei gleichen Basen, immer anwenden
	$=$	$a^{4 + 2} \cdot b^{6} \cdot c^{9 + 5} \cdot d^{(- 2) + (- 9)}$
	↓	rBerechne durch Addition nun die jeweiligen Potenzen.
	$=$	$a^{6} \cdot b^{6} \cdot c^{14} \cdot d^{- 11}$
	↓	Die Basen sind zwar unterschiedlich, aber da die Potenzen gleich sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(a b)}^{6} \cdot c^{14} \cdot d^{- 11}$

$90 \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$	$=$	$10 \cdot 3^{2} \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$10 \cdot 3^{2 + n - 2} - 3^{n}$
	$=$	$10 \cdot 3^{n} - 3^{n}$
	↓	Klammere $3^{n}$ aus.
	$=$	$3^{n} \cdot (10 - 1)$
	$=$	$9 \cdot 3^{n}$
	↓	Schreibe 9 in eine 3er Potenz um
	$=$	$3^{2} \cdot 3^{n}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$3^{2 + n}$

$\frac{{(3 a - 1)}^{2 k - 1}}{{(1 - 3 a)}^{2 k + 1}}$	$=$	$\frac{{(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1}}{{(- 3 a + 1)}^{2 k + 1}}$
	↓	Dividiere und wende die Potenzgesetze an.
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1 - (2 k + 1)}$
	↓	Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1 - 2 k - 1}$
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{- 2}$
	↓	Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} \cdot \frac{1}{{(- 3 a + 1)}^{2}}$
	$=$	$\frac{{(- 1)}^{2 k - 1}}{{(- 3 a + 1)}^{2}}$
	$=$	$- \frac{1}{(- 3 a + 1)^{2}}$

${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$	$=$	$\frac{2^{- 3} a^{3} b^{- 6}}{3^{- 3} a^{- 3} c^{6}}$
	$=$	$\frac{a^{3} 3^{3} a^{3}}{2^{3} c^{6} b^{6}}$
	$=$	$\frac{a^{3} \cdot 27 a^{3}}{8 c^{6} b^{6}}$
	↓	Potenzgesetze im Zähler anwenden.
	$=$	$\frac{27 a^{6}}{8 b^{6} c^{6}}$

${(\frac{u}{v})}^{n} \cdot {(\frac{v}{u})}^{3 n + 4} : {(\frac{- v}{u})}^{2 n + 1}$	$=$	$\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}} : \frac{- v^{2 n + 1}}{u^{2 n + 1}}$
	↓	Division in Bruchschreibweise darstellen.
	$=$	$\frac{\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}}}{\frac{- v^{2 n + 1}}{u^{2 n + 1}}}$
	↓	Wandle den Doppelbruch um.
	$=$	$\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}} \cdot \frac{u^{2 n + 1}}{- v^{2 n + 1}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{n} \cdot v^{3 n + 4} \cdot u^{2 n + 1}}{v^{n} \cdot u^{3 n + 4} \cdot (- v^{2 n + 1})}$
	$=$	$\frac{u^{n + 2 n + 1} \cdot v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4} \cdot (- 1) \cdot v^{n + 2 n + 1}}$
	↓	Exponenten zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{3 n + 1} \cdot v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4} \cdot (- 1) \cdot v^{3 n + 1}}$
	↓	Kürze mithilfe der Regeln für Potenzgesetze.
	$=$	$u^{3 n + 1 - (3 n + 4)} \cdot (- 1) \cdot v^{3 n + 4 - (3 n + 1)}$
	$=$	$u^{- 3} \cdot (- 1) \cdot v^{3}$
	↓	$u^{- 3} = \frac{1}{u^{3}}$
	$=$	$\frac{(- 1) \cdot v^{3}}{u^{3}}$
	$=$	$\frac{- v^{3}}{u^{3}}$
	$=$	$- {(\frac{v}{u})}^{3}$

$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{m}} + \frac{2 - x}{x^{m - 2}}$	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 - x}{x^{m} \cdot x^{- 2}}$
	↓	$x^{- 2}$ mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.
	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 x^{2} - x^{3}}{x^{m}}$
	↓	Den dritten Bruch mit $x^{2}$ erweiteren.
	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 x^{4} - x^{5}}{x^{m + 2}}$
	$=$	$\frac{x^{5} + 1 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{4} - x^{5}}{x^{m + 2}}$
	$=$	$\frac{1 + 2 x^{2}}{x^{m + 2}}$

${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1} : {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{4 p}$	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1 - 4 p} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- (p + 1)}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- p - 1}$
	↓	Potenzgesetz anweden.
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p + (- p) - 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- 3 p}$
	$=$	${(\frac{z + 5}{z - 3})}^{3 p}$

${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t}{2} - 1)}^{- 1}]}^{- 2}$	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t - 2}{2})}^{- 1}]}^{- 2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - (\frac{2}{t - 2})]}^{- 2}$
	↓	Hauptnenner bilden. $\to t (t - 2)$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1 (t - 2)}{t (t - 2)} - \frac{t \cdot 2}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t - 2 - 2 t}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{- t - 2}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	↓	Runde Klammer: Hauptnenner bilden. $\to t$
	$=$	${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	$=$	${(\frac{2 + t}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot t (t - 2)}{t \cdot (- t - 2)})}^{2}$
	↓	$t$ kürzen.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot (t - 2)}{(- t - 2)})}^{2}$
	↓	Im Nenner (-1) ausklammern.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot (t - 2)}{- 1 (t + 2)})}^{2}$
	↓	mit $2 + t$ kürzen.
	$=$	${(\frac{t - 2}{- 1})}^{2}$
	$=$	$(- (t - 2))^{2}$
	$=$	${(t - 2)}^{2}$

$\frac{4 a^{- 1} z^{2}}{{(x^{2} y)}^{3}} : \frac{{(2 a)}^{- 3}}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}$	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} : \frac{\frac{1}{{(2 a)}^{3}}}{\frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{2}}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}}{\frac{1}{{(2 a)}^{3}}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{2}} \cdot \frac{{(2 a)}^{3}}{1}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\frac{\frac{4 z^{2}}{a}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{8 a^{3}}{x^{2} \cdot y^{4} \cdot z^{2}}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\frac{\frac{4 z^{2} \cdot 8 a^{3}}{a}}{x^{6 + 2} \cdot y^{3 + 4} \cdot z^{2}}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{4 \cdot 8 a^{2}}{x^{8} y^{7}}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\frac{32 a^{2}}{x^{8} y^{7}}$