4Betrag und Normierung

Betrag (Länge) von Vektoren

Der Betrag eines Vektors $\vec{v}$ ist anschaulich nichts anderes als seine Länge. Diese lässt sich wie folgt berechnen:

$|\vec{v}| = \left|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Normierung von Vektoren

Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn sein Betrag (also seine Länge) $|\vec{v}| = 1$ ist. Der normierte Vektor wird auch als Einheitsvektor bezeichnet. Um einen Vektor zu normieren, müssen wir ihn durch seinen eigenen Betrag teilen:

$\displaystyle\vec{v_0} = \frac{ \vec{v} }{ |\vec{v}| }$

Ausnahme: Der Nullvektor lässt sich nicht normieren, da er die Länge $0$ hat.

Beispiel

Berechne zunächst die Länge des Vektors $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ und bilde anschließend den entsprechenden Einheitsvektor.

Länge

$\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2+4^2}=5$

Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ hat die Länge 5.

Normierung

$\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\cdot\frac15=\begin{pmatrix} \frac35 \\[1ex] \frac45\end{pmatrix}$

Der Einheitsvektor zum Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix} \frac35 \\[1ex] \frac45\end{pmatrix}$.