26Gegenseitige Lage von Ebenen und Ebenen

Wenn man 2 Ebenen im Raum betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten wie diese zueinander liegen können:

1. Die Ebenen sind identisch.

2. Die Ebenen sind (echt) parallel.

3. Die Ebenen schneiden sich (Schnittgerade).

Vorgehensweise

Um die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, ist es empfehlenswert, dass eine Ebene $E$ als Parametergleichung und die andere Ebene $F$ als Koordinatengleichung vorliegt.

Gegeben sind eine Ebene $E$ in Parameterform $E:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u+s \cdot \vec v$ und eine Ebene $F$ in Koordinatenform

$F:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0$ mit $\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$.

1. Entscheidung über die gegenseitige Lage von $E$ und $F$

Man betrachtet die Skalarprodukte zwischen dem Normalenvektor $\vec n$ der Ebene $F$ und den beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Ebene $E$. Man prüft, ob $\vec n\circ \vec u = 0$ und $\vec n\circ \vec v = 0$ ist. Sind beide Skalarprodukte gleich null, dann kann anhand der folgenden Graphik entschieden werden, wie die Ebenen zueinander liegen.

2. Schnittpunktsberechnung (für den Fall $\vec{n}\circ\vec{u}\ne0$ )

Schritt 1: Die Ebenengleichung $E$ wird in die Koordinatenform der Ebene $F$ eingesetzt:

Der allgemeine Ebenenvektor von $E$ hat die Koordinaten:

$x_1=A_1+r\cdot u_1+s\cdot v_1$; $x_2=A_2+r\cdot u_2+s\cdot v_2$ und $x_3=A_3+r\cdot u_3+s\cdot v_3$

Durch Einsetzen dieser Terme in die Koordinatengleichung der Ebene

$F:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0$ erhält man eine Gleichung für die Ebenenparameter $r$ und s.

$n_1(A_1+r\cdot u_1+s\cdot v_1)+n_2(A_2+r\cdot u_2+s\cdot v_2)+n_3(A_3+r\cdot u_3+s\cdot v_3)=n_0$

Schritt 2: Auflösung der Gleichung nach einem der beiden Parameter

Beispiel 1: Man erhält eine Gleichung, die von einem der Parameter abhängt, also z.B. $r=2+s$.

Die gefundene Gleichung wird in die Ebenengleichung $E$ eingesetzt und entsprechende Vektoren werden zusammengefasst $\;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \vec A+(2+s)\cdot \vec u +s\cdot \vec v=\left(\vec A+2\cdot \vec u\right) +s\cdot (\vec u +\vec v)$

Beispiel 2: Man erhält eine Lösung für einen der beiden Parameter, also z.B. $r=3$.

Die gefundene Lösung $r=3$ wird in die Ebenengleichung $E$ eingesetzt und entsprechende Vektoren werden zusammengefasst $\;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \left(\vec A+3\cdot \vec u\right) +s\cdot \vec v$.

Beispiel 3: Man erhält eine Lösung für den anderen Parameter, also z.B. $s=0$.

Die gefundene Lösung $s=0$ wird in die Ebenengleichung $E$ eingesetzt

$\;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u +0\cdot \vec v=\vec A+r\cdot \vec u$.

Die Ebene $E$ und die Ebene $F$ schneiden sich in der Geraden g.

Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder der drei Lagemöglichkeiten ein Beispiel zum Ausklappen.

Wenn die Ebenen nicht als Parameterform und Koordinatenform vorliegen, muss eventuell eine der Ebenen umgewandelt werden. (Die Vorgehensweise hierfür findet man auf den vorherigen Kursseiten.)

Weitere Aufgaben zu diesem Thema.