7Lineare (Un)abhängigkeit (2/2)

Drei Vektoren

Drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

$\mathrm{(I)}\;\;k_1\cdot\vec{a}+k_2\cdot\vec{b}+k_3\cdot\vec{c}=\vec{0}$

Dabei ist (mindestens) einer der Koeffizienten $k_i$ von $0$ verschieden.

Ist dagegen die Gleichung $\mathrm{(I)}$ nur erfüllbar, wenn alle $k_i$ den Wert 0 annehmen, dann sind die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear unabhängig.

Bildliche Veranschaulichung:

Beispiel 1

Sind die drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

$\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Ansatz: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

$k_1\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+k_2\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+k_3\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Damit erhält man drei Gleichungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&k_1 & + & k_2 & +&k_3&=&0&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &-2k_1 &+&2k_2& +&0&=&0&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&3k_1&-& k_2&+&k_3&=&0&\end{array}$

Aus $\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;\;k_1=k_2$, eingesetzt in $\mathrm{(I)}\;\text{und}\; \mathrm{(III)}$ erhält man die Gleichungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I')}:\;\;\;&k_1 & + & k_1 & +&k_3&=&0&\Rightarrow\;&2k_1 & +&k_3&=&0&\\\mathrm{(III')}:\;\;\;\;\;&3k_1&-& k_1&+&k_3&=&0&\Rightarrow\;&2k_1 & +&k_3&=&0&\end{array}$

Rechnet man nun $\mathrm{(I')}-\mathrm{(III')}\;\Rightarrow \;\;0=0$

Das ist eine wahre Aussage und bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Die drei Vektoren sind damit linear abhängig.

Möchte man eine Lösung des Gleichungssystems angeben, so kann z.B. $k_3=2$ gesetzt werden. Aus $\mathrm{(I')}$ folgt dann $k_1=-1$ und aus $\mathrm{(I)}$ folgt $k_2 =-1$.

Beispiel 2

Sind die drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

$\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$

Ansatz: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn man eine Linearkombination mit ihnen bilden kann, sodass der Nullvektor entsteht:

$k_1\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+k_2\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+k_3\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Damit erhält man ein Gleichungssytem, das man z.B. mit den Additionsverfahren lösen kann:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&0 & + & -k_2 & +&2k_3&=&0&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &k_1 &+&k_2& +&k_3&=&0&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&3k_1&+& k_2&+&k_3&=&0&\end{array}$

Man rechnet z.B. $(-3)\cdot \mathrm{(II)}+\mathrm{(III)}\Rightarrow \mathrm{(I')}$ und $(-2)\cdot \mathrm{(I)}\Rightarrow\mathrm{(II')}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I')}:\;\;\;&0 & - &2 k_2 & -&2k_3&=&0&\\\mathrm{(II')}:\;\;\;\;\;&0&+&2 k_2&-&4k_3&=&0&\end{array}$

$\overline{\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0k_2\;\;\;-\;\;\;6k_3\;\;\;=\;\;0\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow k_3=0$

$k_3=0$ eingesetzt in $\mathrm{(I)} \Rightarrow k_2=0$

$k_3=0$ und $k_2=0$ eingesetzt in $\mathrm{(II)} \Rightarrow k_1=0$

Damit sind alle $k_i=0$ , d.h. das Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung.

Die drei Vektoren sind linear unabhängig.