4Betrag und Normierung

Betrag (Länge) von Vektoren

Der Betrag eines Vektors v\vec{v} ist anschaulich nichts anderes als seine Länge. Diese lässt sich wie folgt berechnen:

v=(xyz)=x2+y2+z2|\vec{v}| = \left|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Normierung von Vektoren

Ein Vektor v\vec{v} heißt normiert, wenn sein Betrag (also seine Länge) v=1|\vec{v}| = 1 ist. Der normierte Vektor wird auch als Einheitsvektor bezeichnet. Um einen Vektor zu normieren, müssen wir ihn durch seinen eigenen Betrag teilen:

v0=vv\displaystyle\vec{v_0} = \frac{ \vec{v} }{ |\vec{v}| }

Ausnahme: Der Nullvektor lässt sich nicht normieren, da er die Länge 0 hat.

Beispiel

Berechne zunächst die Länge des Vektors (34)\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} und bilde anschließend den entsprechenden Einheitsvektor.

Länge

(34)=32+42=5\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2+4^2}=5

Der Vektor (34)\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} hat die Länge 5.

Normierung

(34)(34)=(34)5=(34)15=(3545)\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\right|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\cdot\frac15=\begin{pmatrix} \frac35 \\ \frac45\end{pmatrix}

Der Einheitsvektor zum Vektor (34)\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} ist (3545)\begin{pmatrix} \frac35 \\ \frac45\end{pmatrix}.


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