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26Gegenseitige Lage von Ebenen und Ebenen

Wenn man 2 Ebenen im Raum betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten wie diese zueinander liegen können:

1. Die Ebenen sind identisch.

2. Die Ebenen sind (echt) parallel.

3. Die Ebenen schneiden sich (Schnittgerade).

Vorgehensweise

Um die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, ist es empfehlenswert, dass eine Ebene EE als Parametergleichung und die andere Ebene FF als Koordinatengleichung vorliegt.

Gegeben sind eine Ebene EE in Parameterform E:  X=A+ru+svE:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u+s \cdot \vec v und eine Ebene FF in Koordinatenform

F:n1x1+n2x2+n3x3=n0F:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0 mit n=(n1n2n3)\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}.

1. Entscheidung über die gegenseitige Lage von EE und FF

Man betrachtet die Skalarprodukte zwischen dem Normalenvektor n\vec n der Ebene FF und den beiden Richtungsvektoren u\vec{u} und v\vec{v} der Ebene EE. Man prüft, ob nu=0\vec n\circ \vec u = 0 und nv=0\vec n\circ \vec v = 0 ist. Sind beide Skalarprodukte gleich null, dann kann anhand der folgenden Graphik entschieden werden, wie die Ebenen zueinander liegen.

Lagebeziehung zweier Ebenen

2. Schnittpunktsberechnung (für den Fall nu0\vec{n}\circ\vec{u}\ne0 )

Schritt 1: Die Ebenengleichung EE wird in die Koordinatenform der Ebene FF eingesetzt:

Der allgemeine Ebenenvektor von EE hat die Koordinaten:
x1=A1+ru1+sv1x_1=A_1+r\cdot u_1+s\cdot v_1; x2=A2+ru2+sv2 x_2=A_2+r\cdot u_2+s\cdot v_2 und x3=A3+ru3+sv3x_3=A_3+r\cdot u_3+s\cdot v_3
Durch Einsetzen dieser Terme in die Koordinatengleichung der Ebene
F:n1x1+n2x2+n3x3=n0F:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0 erhält man eine Gleichung für die Ebenenparameter rr und s.
n1(A1+ru1+sv1)+n2(A2+ru2+sv2)+n3(A3+ru3+sv3)=n0n_1(A_1+r\cdot u_1+s\cdot v_1)+n_2(A_2+r\cdot u_2+s\cdot v_2)+n_3(A_3+r\cdot u_3+s\cdot v_3)=n_0

Schritt 2: Auflösung der Gleichung nach einem der beiden Parameter

Beispiel 1: Man erhält eine Gleichung, die von einem der Parameter abhängt, also z.B. r=2+sr=2+s.

Die gefundene Gleichung wird in die Ebenengleichung EE eingesetzt und entsprechende Vektoren werden zusammengefasst       g:  X=A+(2+s)u+sv=(A+2u)+s(u+v)\;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \vec A+(2+s)\cdot \vec u +s\cdot \vec v=\left(\vec A+2\cdot \vec u\right) +s\cdot (\vec u +\vec v)

Beispiel 2: Man erhält eine Lösung für einen der beiden Parameter, also z.B. r=3r=3 .

Die gefundene Lösung r=3r=3 wird in die Ebenengleichung EE eingesetzt und entsprechende Vektoren werden zusammengefasst       g:  X=(A+3u)+sv \;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \left(\vec A+3\cdot \vec u\right) +s\cdot \vec v.

Beispiel 3: Man erhält eine Lösung für den anderen Parameter, also z.B. s=0s=0 .

Die gefundene Lösung s=0s=0 wird in die Ebenengleichung EE eingesetzt
      g:  X=A+ru+0v=A+ru \;\;\Rightarrow \;g:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u +0\cdot \vec v=\vec A+r\cdot \vec u .
Die Ebene EE und die Ebene FF schneiden sich in der Geraden g.

Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder der drei Lagemöglichkeiten ein Beispiel zum Ausklappen.

Wenn die Ebenen nicht als Parameterform und Koordinatenform vorliegen, muss eventuell eine der Ebenen umgewandelt werden. (Die Vorgehensweise hierfür findet man auf den vorherigen Kursseiten.)

Weitere Aufgaben zu diesem Thema.


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