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Aufgaben zur Polynomdivision

  1. 1

    Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

    1. (x3+2x2x2):(x1)(x^3+2x^2-x-2):(x-1)

    2. (4x34x):(x+1)(4x^3-4x):(x+1)

    3. (23x3+2x283):(x+2)(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)

    4. (x48x29):(x3)(x^4-8x^2-9):(x-3)

  2. 2

    Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=x+3g:\;y=-x+3   

    und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x33x2+4,5xf:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x.

    Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

    Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

  3. 3

    Vergleiche die Schritte der gewöhnlichen schriftlichen Division am Beispiel 2998:142998:14 mit der Polynomdivision (2x3+9x2+9x+8):(x+4)(2x^3+9x^2+9x+8):(x+4).

  4. 4

    Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!

    1. (2x3+3x2+2x3):(2x+3)(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)

    2. (2x3+3x2+2x3):(x21)(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)

    3. (x4x321x2+x+20):(x2+5x+4)(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)

    4. (2x3+1x2+x4):(x4x2+2x3+1)(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)

    5. (3x2+1):(2x31)(3x^2+1):(2x^3-1)

    6. (x5x4+3x3):(x1)(x^5-x^4+3x-3):(x-1)

    7. (x3+1,5x20,5):(x0,5)(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)

    8. (x2+1):(x1)(x^2+1):(x-1)

    9. (4x5x4):(2x2x+1)(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)

    10. Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?

      Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:

      Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?

    11. (x3+3x24x12):(x2)(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)

    12. (4x+5x23+2x3):(2x+1)(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)

    13. (x4+4x3+2x3):(x+2)(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)

  5. 5

    Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

    1. f(x)=x3x24x+4f(x)=x^3-x^2-4x+4

    2. g(x)=x3+3x216x+12g(x)=x^3+3x^2-16x+12

    3. h(x)=3x4+12x333x290xh(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x

    4. i(x)=x37x6i(x)=x^3-7x-6

  6. 6

    Zeige, dass die Polynomdivisionen dieser Aufgabengruppe nicht aufgehen. Gib für jede der zu den Polynomdivisionen gehörenden gebrochenrationalen Funktion deren asymptotisches Verhalten im Unendlichen an.

    1. (2x2x2):(x1)(2x^2-x-2):(x-1)

    2. (x2x):(x+1)(x^2-x):(x+1)

    3. (x32x2+1):(2x2+4x)(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)

  7. 7
    Bild

    Tintenkleckse

    Was verbirgt sich dahinter?

    1. Bild
    2. Bild
    3. Bild
  8. 8

    Polynomdivisionen mit Parametern

    Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

    1. (x3+(3a)x2+(23a)x2a):(x+2)(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a):(x+2)

    2. (x3+x2+ex2ex+2x2e):(x2)(-x^3+x^2+\mathrm{ex}^2-\mathrm{ex}+2x-2e):(x-2)

  9. 9

    Ausgefallene Polynomdivisionen

    1. Berechne:

      (x4+3x2+1):(x21)(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)

      

    2. Berechne:

      (2x4+x2x1):(x21):(x2+1)(2x^4+x^2-x-1):(x^2-1):(x^2+1)

    3. Berechne:

      (3x3+3x24x4):(3x2):(3x+2)(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)


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