Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Die Seite $b$ hat eine Länge von circa $\mathrm{1,34}\text{cm}$.

Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Das Dreieck $△AKF$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.

Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,

• welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $△AKF$ ist, und

• welche Seite die Ankathete zu $\alpha$,

• und welche die Gegenkathete zu $\alpha$ ist.

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.

$\to$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.

Lösung der Aufgabe

$\Rightarrow$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von ${\mathrm{7,4}}^{\circ }$ auf die Straße.

$\Rightarrow$ Die Höhe der Tanne beträgt $12m$.

Antwort: Der Fluss ist $\mathrm{62,5}m$ breit

Berechne $\beta$, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left({180}^{\circ }\right)$ abziehst.

Geg: Hypothenuse $=100m$, $\alpha ={50}^{\circ }$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.

$\sin \left({50}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{h}{100\text{m}}}|\cdot 100\text{m}$

Nach $h$ umformen.

$h=\sin \left({50}^{\circ }\right)\cdot 100{\text{m}}^{}$

Multipilikation.

$h=\mathrm{76,6}m$

$\Rightarrow$ Der Flieger ist $\mathrm{76,6}m$ über dem Wasser.

geg: Hypothenuse $=100\text{m}$, Gegenkathete $=20m$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Mit Hilfe des Sinus $\alpha$ berechnen.

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{20\text{m}}{100\text{m}}}$

Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.

$\alpha ={\mathrm{11,5}}^{\circ }$

$\Rightarrow$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Mit Hilfe des Sinus $x$ berechnen.

$\Rightarrow$ Die Länge der Sehne beträgt $\mathrm{13,4}cm$.

$\Rightarrow$ Die Dammhöhe beträgt 6 m.

Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von $A$ zur oberen Ecke hat eine Länge von ${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{2}}=2\text{cm}.$

Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt $C$. Die Länge $d$ dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $\begin{array}{rcl}\sqrt{a^2+a^2}& =& d\\ \sqrt{(4\text{cm}{)}^2+(4\text{cm}{)}^2}& =& d\\ \sqrt{32{\text{cm}}^2}& =& d\\ d& =& \sqrt{32}\text{cm}\approx \mathrm{5,66}\text{cm}\end{array}$

Nun kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen:

Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke $\overline{AB}$.

Wenn du nun im Dreieck $△ABC$ die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke $[AB]$ die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (${\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}}\text{cm}=\sqrt{2}\text{cm}$) von ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ und die Länge der Hypothenuse ($6\text{cm}$). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: $\begin{array}{rcl}\sin ({\displaystyle \frac{\alpha }{2}})& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}}}\\ & & \\ {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}& =& {\sin }^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\ & & \\ \alpha & =& 2\cdot {\sin }^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})& \approx & \mathrm{27,27}°\end{array}$

Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:

Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.

Strategie

Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:

Für die Berechnung der Strecke $x$ brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke $\overline{AD}$, da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch $\overline{BE}$ bestimmen.

$\overline{BE}$ kannst du berechnen, indem du die Strecke $\overline{AB}$ von der langen Seite $\overline{AE}$ abziehst. $\overline{AE}$ kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ADE$ berechnen. Für die Berechnung von $\overline{AB}$ kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ACD$ verwenden, da du weißt, dass $\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.

Lösung

Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke $x$ zu kommen:

Berechnung von $\overline{DC}$

Verwende den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ACD$ mit dem dir bekannten Winkel $\measuredangle \mathrm{CAD}$ für die Berechnung von $\overline{DC}$:

$$\tan (\measuredangle \mathrm{CAD})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}}$$

Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{DC}$ um, indem du mit $\overline{AD}$ multiplizierst.

$$\overline{DC}={\displaystyle \overline{AD}\cdot \tan (\measuredangle \mathrm{CAD})}$$

Setze die Werte $\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm{m}$ und $\measuredangle \mathrm{CAD}={50}^{\circ }$ ein.

$$\overline{DC}=\overline{AB}={\displaystyle 7\cdot \tan ({50}^{\circ })\approx \mathrm{8,34}}$$

Berechnung von $\overline{AE}$

Verwende den Tangens im Dreieck $\mathrm{\Delta }ADE$ für die Berechnung von $\overline{AE}$, da du $\measuredangle \mathrm{ADE}={55}^{\circ }$ und $\overline{AD}=7$ kennst.

$$\tan (\measuredangle \mathrm{ADE})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}}$$

Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{AE}$ um, indem du beide Seiten der Gleichung mit $\overline{AD}$ multiplizierst

$$\overline{AE}={\displaystyle \overline{AD}\cdot \tan (\measuredangle \mathrm{ADE})}$$

Setze die Werte ein.

$$\overline{AE}={\displaystyle 7m\cdot \tan {55}^{\circ }}$$

$\overline{AE}=7m\cdot \mathrm{1,4281}$

$\overline{AE}\approx \mathrm{10,00}m$

Nun kannst du $\overline{BE}$ berechnen:

$\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AD}=\mathrm{10,00}-\mathrm{8,34}=\mathrm{1,66}m$

Berechnung von $x$

Jetzt kannst du die Länge von $x$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist $x$ die Hypotenuse.

$$x^2={\displaystyle {\overline{BE}}^2+{\overline{BC}}^2}$$

Stelle nach $x$ um, indem du die Wurzel ziehst.

$$x={\displaystyle \sqrt{{\overline{BE}}^2+{\overline{BC}}^2}}$$

Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du $\overline{BC}=\overline{AD}$ verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.

$$x={\displaystyle \sqrt{{\mathrm{1,66}}^2+7^2}\approx \mathrm{7,19}m}$$

Die Strecke $x$ ist $\mathrm{7,19}m$ lang.

Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.

Berechne den Winkel $\alpha$

Du kennst die Seite $a=7cm$ und die Seite $\overline{SB}=\frac{\overline{DB}}{2}=5cm$; $\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{\overline{SB}}{a}};\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{5cm}{7cm}};\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,7143}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{91,18}}^{\circ }$

Berechne den Winkel $\gamma$

Du kennst die Seite $b=c=6cm$ und die Seite $\overline{SB}={\displaystyle \frac{\overline{DB}}{2}}=5cm$ $\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}={\displaystyle \frac{\overline{SB}}{b}};\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}={\displaystyle \frac{5cm}{6cm}};sin{\displaystyle \frac{\gamma }{2}}=\mathrm{0,8333}\Rightarrow \gamma ={\mathrm{112,88}}^{\circ }$