Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

$\gamma = 90^\circ$

$a=12{,}7\,\mathrm{cm}$

$c= 24{,}9\,\mathrm{cm}$

$\alpha = 90^\circ$
$b= 420\,\mathrm m$
$a= 645\,\mathrm m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\sin\left(\beta\right)=\frac{420\,\mathrm m}{645\,\mathrm m}$
$\beta=40{,}6^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma=180^\circ-90^\circ-40{,}6^\circ=49{,}4^\circ$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
Beachte hier insbesondere, dass $c$ nicht die Hypotenuse des Dreiecks ist, sondern $a$ (siehe Bild oben), sodass die Form des Pythagoras zwar ähnlich bleibt, aber nun $a$ , $b$ und $c$ nicht die bekannten Rollen, also $a$ , $b$ die Kathethen und $c$ die Hypotenuse sind, einnehmen.
$(645\,\mathrm m)^2=(420\,\mathrm m)^2+c^2$
$c^2= (645\,\mathrm m)^2 - (420\,\mathrm m)^2$
$c^2=239\,625\,\mathrm m^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx490\,\mathrm m$
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$\beta=90^\circ$
$c=15{,}8\,\mathrm{cm}$
$a=30{,}7\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$b^2=\left(30{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+\left(15{,}8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=1192{,}13\,\mathrm{cm}^2 \;\;\;\;|\sqrt{}$
$b\approx34{,}5\,\mathrm{cm}$
$\alpha$ berechnen
$\tan\left(\alpha\right)=\frac{a}{c}$
$\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{30{,}7\,\mathrm{cm}}{15{,}8\,\mathrm{cm}}$
$\alpha\approx62{,}7^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma\approx 180^\circ-90^\circ-62{,}7^\circ$
$\gamma \approx 27{,}3^\circ$
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$\gamma=90^\circ$
$\alpha=35^\circ$
$c=12{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-35^\circ$
$\beta=55^\circ$
$a$ berechnen
$\sin\left(35^\circ\right)=\frac{a}{12{,}5\,\mathrm{cm}} \:\:\;\;\;\;|{}\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=\sin\left(35^\circ\right)\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=7{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$c^2=a^2+b^2$
$\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2 \:\:\;\;\;\;|{}-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2\approx104{,}4\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$b\approx10{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)
$\cos\left(\alpha\right)=\frac bc$
Nach $b$ umstellen.
$b = \cos\left( \alpha \right) \cdot c \approx 10{,}2\,\mathrm{cm}$
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$\alpha=90^\circ$
$\gamma=40{,}3^\circ$
$a=10{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-40{,}3^\circ$
$\beta=49{,}7^\circ$
$b$ berechnen
$\sin\left(49{,}7^\circ\right)=\frac{b}{10{,}5\,\mathrm{cm}}\:\:\;\;\;\; |{}\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b=\sin\left(49{,}7^\circ\right)\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b\approx8\,\mathrm{cm}$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$\left(10{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=c^2+\left(8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$c^2=46{,}25\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx6{,}8\,\mathrm{cm}$
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Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit $a=5\text{ cm}$ und $\alpha= 75°$ die Seitenlänge von $b$ . Runde auf zwei Nachkommastellen.

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a=b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm

c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm

ges: h, $\alpha,\;\beta,\;\gamma$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst $x$ berechnen.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{63{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 31{,}7cm$

$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendet.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(44{,}2cm\right)^2-\left(31{,}7cm\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{1953{,}64cm^2-1004{,}89cm^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{948{,}75cm^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle 30{,}8cm$

$\alpha$ mit Hilfe von Sinus berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{30{,}8cm}{44{,}2cm}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}2°\ =\ \beta$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $\alpha=\beta$

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}2°$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 91{,}6°$

$\Rightarrow$ $h=30{,}8cm;\alpha=\beta=44{,}2^\circ;\gamma=91{,}6^\circ$

Achtung: Das Dreieck $ABC$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90°$ groß ist.

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a=114,5m

$\alpha$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

Gegeben sind $a=b= 114{,}5\,m$ und $\alpha=\beta=32{,}3^\circ$

Gesucht sind $c$ , $h$ und $\gamma$

Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, kannst du $\gamma$ mit der Winkelsumme ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle DBC$ berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\sin\left(32{,}3°\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 61{,}2m$

Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .

$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.

$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendest.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-h^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(114{,}5m\right)^2-\left(61{,}2m\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{13110{,}25m^2-3745{,}44m^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9364{,}81m^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\cos\left(32{,}3^\circ\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

$c=2\cdot96{,}8m=193{,}6m$

Damit hast du die Lösung $h=61{,}2\,m; c=193{,}6\,m;\gamma=115{,}4^\circ$

Anmerkung

Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:

$\displaystyle \frac{c}{\sin (\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha)}$
	↓	Mit $\sin (\gamma)$ multiplizieren
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sin (\gamma)}{\sin (\alpha)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{114{,}5\cdot 0{,}53}{0{,}90}$
	$=$	$\displaystyle 193{,}6\,m$

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c=35,4cm

$\beta$ =43,9°

h=14,8cm

$\alpha=\beta=$ 28,3°

a=146,4m

h=58,4m

4
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1{,}55\text{ m}$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 \text{ m}$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.
Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Skizze zur Aufgabenstellung
Vorüberlegung und Lösungsplan
Das Dreieck $\triangle AKF$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $\triangle AKF$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $\alpha$ ,
und welche die Gegenkathete zu $\alpha$ ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
Hypotenuse: Seite [AK] mit $\overline{\mathrm{AK}}=?_{ }$
Ankathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FA] mit $\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}$
Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FK] mit $\overline {\mathrm{FK}}= 1{,}55\, \mathrm{m}$
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
$\sin \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos \alpha = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
$\rightarrow$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.
Lösung der Aufgabe
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}$
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
$\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}$
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
$\tan \alpha = \frac {1{,}55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0{,}129$
Um daraus den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$ an.
$\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7{,}4^\circ$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von $7{,}4^\circ$ auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen $20m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von $31^\circ$ auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von $43^\circ$ . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke $\overline{\mathrm{AB}}=80m$ abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird $\alpha=38^\circ$ gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite $b=113m$ hat den Winkel $\alpha=39^\circ$ . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel $\beta$ .

9
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot gezogen. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg: Hypothenuse $=100\;m$ , $\alpha =50^\circ$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.
$\sin\left(50^\circ\right)=\dfrac h{100\ \text{m}} \quad \quad \left|\cdot100\ \text{m}\right.$
Nach $h$ umformen.
$h=\sin\left(50^{\circ}\right)\cdot100\ \text{m}^{ }$
Multipilikation.
$h=76{,}6\;m$
$\Rightarrow\;\;$ Der Flieger ist $76{,}6\; m$ über dem Wasser.
10
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg: Hypothenuse $= 100\ \text{m}$ , Gegenkathete $=20m$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $\alpha$ berechnen.
$\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{20\ \text{m}}{100\ \text{m}}$
Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\alpha=11{,}5^\circ$
$\Rightarrow\;\;$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.

Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?

12
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel
1. zwischen einer Diagonalen und den Seiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $a=7\;\text{cm}$ ; $b= 18\;\text{cm}$
  ges: $\alpha,\;\beta,\;$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  Berechne $\alpha$ mit Hilfe des Tangens.
  $\tan\left(\alpha\right)=\frac ab$
  Setz die Werte ein und berechne $\alpha$ mit Hilfe des Taschenrechners.
  $\tan(\alpha) = \frac {7\text{cm}}{18\text{cm}}$
  $\alpha=21{,}3^\circ$
  Berechne $\beta$ . $\alpha$ und $\beta$ sind zusammen 90° also gilt für $\beta$ :
  $\beta=90^\circ-21{,}3^\circ=68{,}7^\circ$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\alpha$ beträgt 21,3°. $\beta$ beträgt 68,7°.
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2. zwischen beiden Diagonalen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $\alpha=21{,}3^\circ;\;\beta=68{,}7^\circ$
  ges: $\gamma,\;\delta$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  $\delta$ ist 2 $\alpha$ , weil $\delta$ $+$ $\gamma$ $=$ 180° und $\gamma$ $+2$ $\alpha$ $=$ 180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.
  $\Rightarrow$ $\delta$ + $\gamma$ $=$ $\gamma$ $+2$ $\alpha$
  $\Rightarrow$ $\delta$ $=$ $2$ $\alpha$
  $\delta=2\cdot21{,}3^\circ=42{,}6^\circ$
  $\gamma$ und $\delta$ bilden zusammen 180°.
  $\gamma=180^{\circ}-42{,}6^{\circ}=137{,}4^{\circ}$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\gamma$ beträgt $137{,}4°$ ; $\delta$ beträgt 42,6°.
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Im Kreis mit dem Radius $r=10~\text{cm}$ gehört zur Sehne $s$ der Mittelpunktswinkel $\alpha=84^\circ$

Wie lang ist die Sehne?

In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.

Berechne die Dammhöhe.

15
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von $4 \text{cm}$ . Die Punkte $A$ und $B$ von $\triangle\mathrm{ABC}$ sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel $\alpha$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von $A$ zur oberen Ecke hat eine Länge von $\dfrac{a}{2} = \dfrac{4\text{cm}}{2} = 2\text{cm}.$
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt $C$ . Die Länge $d$ dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \sqrt{a^2 + a^2} &=& d \\ \sqrt{(4\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2} &=& d \\ \sqrt{32\text{cm}^2} &=& d \\ d &=& \sqrt{32}\text{cm} \approx 5{,}66\text{cm} \end{array}$
Nun kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen:
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke $\overline{AB}$ .
Wenn du nun im Dreieck $\triangle ABC$ die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke $[AB]$ die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete ( $\dfrac{\sqrt{8}}{2}\text{cm} = \sqrt{2}\text{cm}$ ) von $\dfrac{\alpha}{2}$ und die Länge der Hypothenuse ( $6\text{cm}$ ). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \sin(\dfrac{\alpha}{2}) &=& \dfrac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}} \\\\ \dfrac{\alpha}{2} &=& \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\\\ \alpha &=& 2\cdot\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6}) &\approx& 27{,}27 ° \end{array}$
16
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Trapez mit den Längen:
$\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m,\;\measuredangle\mathrm{DAB}=\measuredangle\mathrm{DCB}=\measuredangle\mathrm{CDA}=90^\circ,\;\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ,\;\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ$
Berechne die rot markierte Strecke $x$
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:
Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.
Strategie
Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:
Für die Berechnung der Strecke $x$ brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke $\overline{AD}$ , da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch $\overline{BE}$ bestimmen.
$\overline{BE}$ kannst du berechnen, indem du die Strecke $\overline{AB}$ von der langen Seite $\overline{AE}$ abziehst. $\overline{AE}$ kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck $\Delta ADE$ berechnen. Für die Berechnung von $\overline{AB}$ kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck $\Delta ACD$ verwenden, da du weißt, dass $\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.
Lösung
Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke $x$ zu kommen:
Berechnung von $\overline{DC}$
Verwende den Tangens im Dreieck $\Delta ACD$ mit dem dir bekannten Winkel $\measuredangle\mathrm{CAD}$ für die Berechnung von $\overline{DC}$ :
$\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}$
Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{DC}$ um, indem du mit $\overline{AD}$ multiplizierst.
$\overline{DC}=\displaystyle\overline{AD}\cdot\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})$
Setze die Werte $\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m$ und $\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ$ ein.
$\overline{DC}=\overline{AB}=\displaystyle7\cdot\tan(50^\circ)\approx8{,}34$
Berechnung von $\overline{AE}$
Verwende den Tangens im Dreieck $\Delta ADE$ für die Berechnung von $\overline{AE}$ , da du $\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ$ und $\overline{AD}=7$ kennst.
$\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}$
Stelle nach der gesuchten Seite $\overline{AE}$ um, indem du beide Seiten der Gleichung mit $\overline{AD}$ multiplizierst
$\overline{AE}=\displaystyle{\overline{AD}}\cdot{\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})}$
Setze die Werte ein.
$\overline{AE}\ =\ \displaystyle{7m}\cdot{\tan{55^\circ}}$
$\overline{AE}\ =\ 7\ m\cdot1{,}4281$
$\overline{AE}\ \approx\ 10{,}00\ m$
Nun kannst du $\overline{BE}$ berechnen:
$\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AD}=10{,}00-8{,}34=1{,}66\,m$
Berechnung von $x$
Jetzt kannst du die Länge von $x$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist $x$ die Hypotenuse.
$x^2=\displaystyle\overline{BE}^2+\overline{BC}^2$
Stelle nach $x$ um, indem du die Wurzel ziehst.
$x=\displaystyle\sqrt{\overline{BE}^2+\overline{BC}^2}$
Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du $\overline{BC}=\overline{AD}$ verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.
$x=\displaystyle\sqrt{1{,}66^2+7^2}\approx7{,}19\,m$
Die Strecke $x$ ist $7{,}19 \, m$ lang.
Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.
17
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Drachenviereck $ABCD$ mit Symmetrieachse $AC$ und den Maßen: $\mathrm a=7\;\mathrm{cm}$ , $\mathrm c=6\;\mathrm{cm}$ , $\overline{\mathrm{DB}}=10\;\mathrm{cm}$
Berechne die Winkel $\alpha,\beta$ und $\gamma$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Berechne den Winkel $\large\alpha$
Du kennst die Seite $a=7\ cm$ und die Seite $\overline{SB}=\frac{\overline{DB}}{2}=5\ cm$ ; $\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{a};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{5\ cm}{7\ cm};\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}=0{,}7143\Rightarrow\ \alpha=91{,}18^{\circ}$
Berechne den Winkel $\large\gamma$
Du kennst die Seite $b=c=6\ cm$ und die Seite $\overline{SB}=\dfrac{\overline{DB}}{2}=5\ cm$ $\sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\overline{SB}}{b};\quad \sin\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{5\ cm}{6\ cm};\quad sin\dfrac{\gamma}{2}= 0{,}8333\Rightarrow\ \gamma= 112{,}88^\circ$
Berechne den Winkel $\beta$
Die Winkelsumme im Viereck beträgt $360^\circ$ , also gilt: $\\360^\circ= \alpha+2\cdot\beta+\gamma \Rightarrow\beta=\dfrac{360^\circ-\alpha-\gamma}{2}=\dfrac{360^\circ-91{,}18^\circ-112{,}88^\circ}{2}\\ \beta=77{,}97^\circ$
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Winkel gesucht
Skizze der Aufgabe
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Rechteck mit den Seitenlängen $\mathrm a=5{,}0\;\mathrm{cm}$ und $\mathrm b=7{,}0\; \mathrm{cm}$ .
Berechne den Winkel $\alpha$ in ganzen Grad.
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus
Skizze der Aufgabe
Lösung
Mache dir als Erstes eine Skizze.
Zeichne ein Rechteck und trage den Winkel $\alpha$ ein.
Hilfsdreieck
Wenn du nun eine Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zum Mittelpunkt der Seite $\left[BC\right]$ einzeichnest, dann wird durch diese Hilfslinie der gesuchte Winkel $\alpha$ in zwei gleich große Teile geteilt.
Um den Winkel $\dfrac{\alpha}{2}$ auszurechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Man kann $\dfrac{\alpha}{2}$ mit dem Sinus ausrechnen, oder
man kann $\dfrac{\alpha}{2}$ mit dem Tangens berechnen.
Mathematisch einfacher ist die Lösung mit dem Tangens.
Lösung mit Hilfe des Sinus
Zunächst rechnen wir die Strecke von $A$ nach $C$ aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{AC} &=& \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2}\\ \overline{AC} &=& \sqrt{(7\text{cm})^2 + (5\text{cm})^2} \\ \overline{AC} &=& \sqrt{74}\text{cm} \end{array}$
Um den Winkel $\alpha$ auszurechen, teilen wir die Strecke von $A$ nach $C$ und die Strecke von $A$ nach $B$ jeweils durch $2.$ Somit können wir den Sinus anwenden um $\dfrac{\alpha}{2}$ auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit $2$ und erhalten den gesuchten Winkel $\alpha$ .
$\dfrac{\overline{BC}}{2}=\dfrac{5\text\ {cm}}{2}=2{,}5\text\ {cm}$
$\dfrac{\overline{AC}}{2}=\dfrac{\sqrt{74}}{2}\text{cm}$
$\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\dfrac{\overline{BC}}{2}}{\dfrac{\overline{AC}}{2}}=\dfrac{2{,}5}{\dfrac{\sqrt{74}}{2}}$
$\alpha = 2\cdot \sin^{-1}\dfrac{2{,}5}{\left(\dfrac{\sqrt{74}}{2}\right)} \approx 71°$
19
Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h=8\,\mathrm{cm}$ und den Winkeln $\mathrm\alpha=65^\circ$ und $\beta=80^\circ$ .
Berechne die Seitenlängen $a$ und $b$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=\tan\left(\alpha\right)\cdot h\\a=\tan\left(65^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\a=17{,}16\,\mathrm{cm}\\\\a+b=\tan\left(\beta\right)\cdot h\\a+b=\tan\left(80^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\a+b=45{,}37\,\mathrm{cm}\end{array}$
Damit ist $b=45{,}37\text{\ cm }-17{,}16\text{\ cm\ }=28{,}21\ \text{cm}$ .
20
Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen $25°-38°$ , für Nebentreppen $38°-45°$ betragen.
Die Geschosshöhe beträgt $25\ m$ .
1. Wie lang wird die Treppenwange für $25°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =25^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(25^{\circ}\right)}\approx54\ m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25m}{\sin\left(25^{\circ}\right)}\approx59\ m$
  $\Rightarrow\;\;$ Die Ausladung beträgt $54\ m$ , die Wange $59\ m$ .
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2. Wie lang wird die Treppenwange für $38°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =38^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(38^{\circ}\right)}\approx32\ m$
  $w$ mithilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25\ m}{\sin\left(38^{\circ}\right)}\approx41\ m$
  $\Rightarrow\;\;$ Die Ausladung beträgt $32m$ , die Wange $41\ m$ .
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3. Wie lang wird die Treppenwange für $45°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =45^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(45^{\circ}\right)}=25\ m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25\ m}{\sin\left(45^{\circ}\right)}\approx35\ m$
  ⇒ Die Ausladung beträgt $25\ m$ , die Wange $35\ m$ .
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$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{b}$	$\displaystyle \cdot b\ :\tan\left(\alpha\right)$
	↓	Löse nach b auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{\tan\left(\alpha\right)}$
	↓	Setze $a=5\,\text{cm}$ und $\alpha=75°$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)}$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 1{,}34\;\text{cm}$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{17{,}7cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}6cm$

$\displaystyle \sin\left(43°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{k}$	$\displaystyle \cdot k$
$\displaystyle \sin\left(43°\right)\cdot k$	$=$	$\displaystyle 8\ \text{m}\$	$\displaystyle \ :\sin\left(43°\right)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{\sin\left(43°\right)}$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 11{,}7\text{m}\$

$\displaystyle \tan\left(38^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle a:80\,m$	$\displaystyle {\cdot80\,m}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 62{,}5\,m$

$\displaystyle \cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{c}$	$\displaystyle \cdot c\$
	↓	Bring c auf die andere Seite
$\displaystyle c\cdot\cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle 113m$	$\displaystyle :\ \cos\left(39°\right)$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{\cos(39°)}$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 145m$

Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

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Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

1. Skizze zeichnen

2. Berechnen

Sinus, Cosinus und Tangens

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Skizze

Strategie

Lösung

Berechnung von $\overline{DC}$

Berechnung von $\overline{AE}$

Berechnung von $x$

Winkel gesucht

Lösung

Lösung mit Hilfe des Sinus

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$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}$	$\displaystyle \sin^{-1}()$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}\right)$
	$=$	$\displaystyle 30{,}7^\circ$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot43{,}9°$
	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{35{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm\cdot\tan\left(43{,}9°\right)$
	↓	Multplzieren.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}0cm$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot28{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\tan\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 27{,}5cm$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2\cdot27{,}5cm$
	$=$	$\displaystyle 55cm$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 31{,}2cm$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 23{,}5°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot23{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 133°$

$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{h}{20m}$	$\displaystyle {\cdot20m}$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)\cdot20m$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 12m$

$\displaystyle \beta+\ 90°\ +\ 39°$	$=$	$\displaystyle 180°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 180°-90°-39°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 51°$

$\displaystyle \sin\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{145m}$	$\displaystyle \cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sin\left(39°\right)\cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 91m$

$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\frac{3{,}2}{4{,}5}$
	↓	$\alpha$ mithilfe des Arkustangens $tan^{-1}$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{3{,}2}{4{,}5}\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 35{,}4^\circ$

$\displaystyle \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{r}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $x$ berechnen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6{,}7cm$
	↓	Da $x$ die Hälfte der Sehne $s$ ist, $x$ verdoppeln.
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 2\cdot6{,}7cm$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 13{,}4cm$

$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach h umformen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 6\,\mathrm{m}$

Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

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Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

1. Skizze zeichnen

2. Berechnen

Sinus, Cosinus und Tangens

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Skizze

Strategie

Lösung

Berechnung von DC‾\overline{DC}DC

Berechnung von AE‾\overline{AE}AE

Berechnung von xxx

Winkel gesucht

Lösung

Lösung mit Hilfe des Sinus

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Berechnung von $\overline{DC}$

Berechnung von $\overline{AE}$

Berechnung von $x$