Aufgaben
Bilde die erste Ableitung folgender Funktionen.
Zu text-exercise-group 6747:
Nish 2020-05-28 21:35:54+0200
Bei Teilaufgabe a) ist rechts daneben noch ein f'(x) und bei den anderen Aufgaben nicht ;)
Ich habe es erstmal rausgenommen, da es nur bei der a) so gemacht wurde und ich finde es sieht auch nicht so schön aus.

@metzgeria: Kannst du nochmal hier schauen? (Vgl. Bearbeitungsverlauf) Macht das wirklich Sinn? Sollte es nicht lieber rechts sein?

LG,
Nish
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f(x)=2x+3f\left(x\right)=2x+3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten von Polynomfunktionen

f(x)=2x+3f\left(x\right)=2x+3
Bilde die erste Ableitung.
f(x)=2f'\left(x\right)=2
f(x)=x2+3f\left(x\right)=x^2+3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten von Polynomfunktionen

f(x)=x2+3f(x)=x^2+3
Bilde die erste Ableitung
f(x)=2xf'(x)=2x
f(x)=x416f\left(x\right)=x^4-16

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen

f(x)=x416f(x)=x^4-16
Bilde die erste Ableitung.
f(x)=4x3f'(x)=4x^3
f(x)=12x22x+6f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen

f(x)=12x22x+6f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x+6
Berechne die erste Ableitung.
%%\begin{array}{cll}f'(x)&=-\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot x-2\\&=-x-2\\&=-(x+2)\end{array}%%
f(x)=11f\left(x\right)=11
f(x)=x3+1f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten von Potenzfunktionen

f(x)=x3+1f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+1
Schreibe die Wurzel als Potenz.
f(x)=x13+1f\left(x\right)=x^\frac13+1
Bilde nun die erste Ableitung.
f(x)=13x23f'\left(x\right)=\frac13x^{-\frac23}
f(x)=sin(x2π)f\left(x\right)=\sin\left(\frac{x}{2\pi}\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=sin(x2π)f(x)=\sin\left(\frac x{2\mathrm\pi}\right)
Wende die Kettenregel an. Vergiss nicht die innere Funktion x2π\frac{x}{2\pi} nach zu differenzieren.
f(x)=12πcos(x2π)=cos(x2π)2πf'(x)=\frac1{2\mathrm\pi}\cdot\cos\left(\frac x{2\mathrm\pi}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{x}{2\pi}\right)}{2\pi}

Achtung Blender unterwegs!

Zwei PKWs B und C fahren einander nachts mit Fernlicht auf einer Landstraße entgegen, deren Verlauf durch die Funktion $$p:\;p(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac74$$ gegeben ist.

Von wo aus blenden die Scheinwerfer der Fahrzeuge einen Beobachter, der sich am Punkt A(-2|2) befindet?

Blender

Die Lösungsidee:
Ein Fahrzeug blendet den Beobachter, wenn seine Scheinwerfer "direkt" auf ihn gerichtet sind. Das ist der Fall, wenn es sich an einem Parabelpunkt (x0y0)(x_0\vert y_0) befindet, dessen Tangente durch den Punkt A(-2|2) verläuft.

Erstelle die Tangente t im Punkt (x0y0)(x_0\vert y_0) an p.
t:  y  =  (xx0)p(x0)+y0t:\;y\;=\;(x-x_0)\cdot p'(x_0)+y_0
Berechne p'(x).
p(x)=12x+12p'(x)=-\frac12x+\frac12
Setze p(x0)p'(x_0) in t ein.
t:  y  =  (xx0)(12x0+12)+y0t:\;y\;=\;(x-x_0)(-\frac12x_0+\frac12)+y_0
Setze den Funktionswert y0y_0 ein.
t:  y  =  (xx0)(12x0+12)+(14x02+12x0+74)t:\;y\;=\;(x-x_0)(-\frac12x_0+\frac12)+(-\frac14x_0^2+\frac12x_0+\frac74)
t:  y  =  12x0x+12x+12x0212x014x02+12x0+74t:\;y\;=\;-\frac12x_0x+\frac12x+\frac12x_0^2-\frac12x_0-\frac14x_0^2+\frac12x_0+\frac74
Fasse zusammen und unterscheide dabei die Variable x und den festen Wert
t:  y  =  (1212x0)x+(14x02+74)t:\;y\;=\;(\frac12-\frac12x_0)x+(\frac14x_0^2+\frac74)
Setze die Koordinaten (-2|2) von A ein, damit t durch A verläuft.
2=12(1x0)(2)+(14x02+74)2=\frac12(1-x_0)\cdot(-2)+(\frac14x_0^2+\frac74)
Bringe die quadratische Gleichung für x0x_0 in die übliche Normalform.
14x02+x054=0\frac14x_0^2+x_0-\frac54=0
Multipliziere auf beiden Seiten mit 4.
x02+4x05=0x_0^2+4x_0-5=0
Löse die Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.
x0=4±16+202\displaystyle x_0=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}2
x0=5  und  x0=1x_0'=-5\;und\;x_0^{''}=1
Setze beide Werte jeweils in ein.
p(5)=7\displaystyle p(-5)=-7
p(+1)=+2\displaystyle p(+1)=+2
Ergebnis: Der linke PKW blendet den Beobachter vom Punkt (-5|-7) aus, der rechte PKW vom Punkt (1|2) aus.
Bestätige das Rechenergebnis graphisch am folgenden Geogebra-Applet, indem du die Gleiterpunkt B und C verschiebst!
GeoGebra
In Wirklichkeit sendet ein Scheinwerfer keinen einzelnen Strahl aus, sondern einen Lichtkegel. Dies bedeutet, dass der Beobachter nicht nur von einer einzelnen Position des Fahrzeugs geblendet wird, sondern während einer zusammenhängenden Fahrstrecke. Die Dauer des Blendvorgangs ist dann von der Kurvenkrümmung der Straße und der Geschwindigkeit des Fahrzeugs abhängig. Dies kannst du experimentell gut am Applet nachvollziehen. Die Stärke der Blendung ist vom Abstand des Beobachters zum Fahrzeug abhängig.
Die beiden Fahrzeuge würden sich übrigens - falls sie nicht vorher abblenden - auf Grund der Straßenkrümmung erst "im letzten Augenblick" blenden.



Bilde die Ableitung folgender e-Funktionen.
f(x)=exf(x)=e^{-x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung der e-Funktion



f(x)=exf(x)=e^{-x}
Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=exf'(x)=-e^{-x}

f(x)=e2xf(x)=e^{2x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel



f(x)=e2xf(x)=e^{2x}
Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die 22 im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x}

f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel



f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}
Bilde die erste Ableitung. Die 2x2x vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten x².
f(x)=2xex2f'(x)=2\mathrm{xe}^{x^2}

f(x)=exf(x)=e^{\sqrt x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

f(x)=exf(x)=e^{\sqrt x}
Bilde die erste Ableitung. Die 121x \frac12\cdot\frac1{\sqrt x} vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten x\sqrt x.
f(x)=121xexf'(x)=\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}\cdot e^{\sqrt x}
Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:
f(x)=12xexf'(x)=\frac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}

f(x)=exf(x)=\sqrt{e^x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel





Schreibe die Wurzel als Potenz.
f(x)=ex=e12xf(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac12x}
Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die 1/21/2 im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=12e12x=12exf'\left(x\right)=\frac12\cdot e^{\frac12x}=\frac12\cdot\sqrt{e^x}

f(x)=esinx+cosxf(x)=e^{\sin x+\cos x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Überlege dir, was die äußere und innere Funktion ist. Leite die Funktion dann mit der Kettenregel ab.
Die äußere Funktion ist u(x)=ex u(x) =e^x.
Die innere Funktion ist v(x)=sinx+cosxv(x)=sinx+cosx.
Die Ableitung der inneren Funktion ist v´(x)=cosxsinxv´(x)= cosx-sinx .
Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.
f(x)=esinx+cosx(cosxsinx)f'(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot\left(\cos x-\sin x\right)

f(x)=e12x2f(x)=e^{-\frac12x^2}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=e12x2f(x)=e^{-\frac12x^2}
Bilde die erste Ableitung. Die x-x vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten 12x² \frac 1 2 \cdot x².
f(x)=212xe12x2=xe12x2f'(x)=-2\cdot\frac12\cdot x\cdot e^{-\frac12x^2}= -x \cdot e^{- \frac 1 2 \cdot x^2}= 



f(x)=1ex3f(x)=\frac1{\sqrt[3]{e^x}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=1ex3f(x)=\frac1{\sqrt[3]{e^x}}
Schreibe die Wurzel als Potenz.
f(x)=1e13xf(x) =\dfrac1{e^\frac 1 3 \cdot x}
Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.
f(x)=e13xf(x)=e^{-\frac 1 3 \cdot x}
Bilde die erste Ableitung. Die 13-\frac 1 3 vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten 13x \frac 1 3 x.
f(x)=13e13xf'\left(x\right)=-\frac1 3\cdot e^{-\frac 1 3 x}
Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.
=13ex3=-\dfrac1{3\cdot\sqrt[3]{e^x}}

f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Diese Aufgabe ist eine Kombination von Produkt und Kettenregel. Überlege dir, ob du zuerst Produkt oder Kettenregel anwenden musst.
f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}
Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=exv(x)=e^{-\sqrt x}. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren u(x) u(x) und v(x)v(x).
u(x)=2xu'(x)=2x
Zur Berechnung von v(x)v'(x) benötigst du die Kettenregel.
v(x)=12x12exv'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Wende nun die Produktregel an.
f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=2xex+x2(12x12ex)f'\left(x\right)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)= 2x\cdot e^{-\sqrt x}+x^2\cdot\left(-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}\right)
Löse die Klammer auf.
=2xex12x2x12ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^2\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil x2 x^2 mit x12 x^{- \frac 1 2}.
=2xex12x32ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt x}
Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. exe^{-\sqrt x} ausklammern.
=ex(2x12x32)= e^{-\sqrt x} \cdot ( 2x-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}})

Ableitung von ln-Funktionen Teil 1

Zu text-exercise-group 2373:
Nish 2019-04-24 17:08:04+0200
Feedback
Die Llösungen aller Teilaufgaben sollten mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden. Das wäre super! :)

LG,
Nish
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%%f(x)=\ln(-x)%%

Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\ln(x^2)%% für %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%%.

Ableitung

Um %%f(x)%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%.

%%u(x)=\ln(x)%% und %%v(x)=x^2%%.

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\ln(x^2)%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%.

Es gilt: %%u'(x)=\dfrac1x%% und %%v'(x)=2x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'(x^2)\cdot v'(x)=\dfrac1{x^2}\cdot2x=\dfrac2x%%.

Diese ist für alle %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%% definiert.

%%f(x)=\ln\sqrt x%%

%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)=\ln\left(x^\frac12\right)%%

%%=\frac{1}{2}\cdot\ln x%%

Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.

In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:

%%f'(x)= (\frac{1}{2}\cdot \ln x)'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}%%

Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:

%%f'(x)=\frac{1}{2x}%%

Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen

Ableitung mit der Produktregel

%%\begin{array}{cclccc} f'(x)&=& (\frac{1}{2}\cdot \ln x)'\\ &=&(\frac{1}{2})'\cdot \ln x &+& \frac{1}{2} \cdot (\ln x)'\\ &=& 0\cdot \ln x &+& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\\ &=& \frac{1}{2x} \end{array}%%

Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\sqrt{\ln x}%% für %%x>1%%.

Ableitung

Um %%f%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

%%f(x)=\sqrt{\ln x}=\left(\mathrm{\ln x}\right)^\frac12%%

Wurzel als Potenz schreiben.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u(x)=x^\frac12%%

%%v(x)=\ln(x)%%

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(\ln(x))=(\ln(x))^\frac12%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u'(x)=\dfrac12\cdot x^{\frac12-1}=\dfrac12\cdot x^{-\frac12}=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt x}%%

%%v'(x)=\dfrac1x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'\left(\ln(x)\right)\cdot v'(x)=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt {\ln(x)}}\cdot \dfrac1x%%.

Diese Ableitungsfunktion ist für alle %%x>1%% definiert. Für %%x=0%% ist %%\dfrac1x%% nicht definiert und für %%x<0%% ist %%\ln(x)%% nicht definiert.

%%f(x)=\ln(\sin x)%%

%%f(x)=\ln(\sin (x))%%

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

%%f'\left(x\right)=\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]'%%

Erst die äußere Ableitung (die äußere Funktion %%ln(x)%% ableiten) bilden und die innere Funktion einsetzen. Dann noch Nachdifferenzieren, also mal die innere Ableitung (innere Funktion %%sin(x)%% ableiten) nehmen.

%%=\frac{\left(\sin\left(x\right)\right)'}{\sin\left(x\right)}=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}%%

%%\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x)%% (Kotangens)

%%=\cot (x)%%

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

%%f(x)=\ln\left(\frac{1+ \mathrm e^{\mathrm x}}{1- \mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

Als erstes wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

Dann differenzierst du unter Verwendung der Quotientenregel nach.

%%f'(x)=\dfrac{1}{(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^\mathrm x})}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Den Doppelbruch zu Beginn löst du auf, indem du den Kehrbruch des Nenners bildest.

%%f'(x)=\frac{1-\mathrm e^{\mathrm x}}{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Nun kürzt du und machst Ausmultiplizieren im Zähler.

%%=\frac1{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x-\mathrm e^{2\mathrm x}+\mathrm e^\mathrm x+\mathrm e^{2\mathrm x}}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)}%%

Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.

%%=\frac{2\mathrm e^\mathrm x}{1-\mathrm e^{2\mathrm x}}%%

%%f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]%%

Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des ln nach .

%%f'\left(x\right)=\frac1{2+{\frac12}\left(\mathrm {e^{x}+e^{-x}}\right)}\cdot\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)%%

Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit %%\frac12%%.

%%=\frac{e^x-e^{-x}}{4+e^x+e^{-x}}%%

%%f(x)=2x-\left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=2x - \left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2%%

Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden .

%%f'(x)=2-2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot\frac{1}{2-2\mathrm{e^x}}\cdot (-2e^x)%%

 

%%=2 - \frac{2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot(-2\mathrm{e^x})}{2-2\mathrm{e^x}}%%

Mit 2 kürzen.

%%=2 + \frac{\ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot2\mathrm{e^x}}{1-\mathrm{e^x}}%%

 

%%f(x)=\ln(\ln x)%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=\ln^2(x)=\ln(\ln x)%%

Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).

%%f'\left(x\right)=\frac1{\ln x}\cdot\frac1x=\frac1{\ln x\;\cdot\; x}%%

%%f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)%%

Ableitung berechen

%%f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)%%

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.

%%f'\left(x\right)=x\cdot\left(\ln x-\frac12\right)+\frac12x^2\cdot\frac1x%%

Multipliziere die Klammer aus und kürze ein %%x%% im zweiten Summanden.

%%=x\cdot\ln x-\frac12x+\frac12x=x\cdot\ln x%%

%%f(x)=\displaystyle\ln\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}%%

erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

%%f(x)= \ln\left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)=\frac{1}{3}\left[\ln(e^{3x})-\ln(1+e^{3x})\right]%%

%%f(x)=x-\frac{1}{3}\ln(1+e^{3x})%%

zweiter Schritt, die Ableitung bilden

%%f\left(x\right)=x-\frac13\ln\left(1+e^{3x}\right)%%

Wende die Kettenregel an.

%%\displaystyle f'\left(x\right)=1-\frac13\frac1{1+e^{3x}}3e^{3x}%%

Kürze den 2.Term.

%%=\displaystyle 1 - \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.

%%=\dfrac{1+e^{3x}}{1+e^{3x}}-\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Fasse zusammen.

%%=\dfrac{1}{1+e^{3x}}%%

Ableitungen von ln-Funktionen Teil 2

%%f(x)=\ln\frac{\mathrm e^{\mathrm {-x}}}{1+\mathrm {e^{-x}}}%%

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)%%

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)%%

Den ersten Term vereinfachen.

%%f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)%%

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

%%f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}%%

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

%%=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}%%

Die Brüche addieren.

%%f(x)=\ln(e^x+e^{-x})%%

%%f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)%%

%%f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)%%

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

%%f'(x)=\frac1{\mathrm{logx}}\cdot\frac1x\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}}\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}\cdot\frac1x%%

Nun wende die Logarithmusformel an: %%\log x=\frac{\ln\;x}{\ln\;10}%%

%%=\frac{\ln10}{\ln x \;\cdot\;x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}\;\cdot\; x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}%%

%%=\frac{\ln10-1}{\ln x\;\cdot\; x\; \cdot\;\mathrm{ln10}}%%

%%f(x)=\ln(x^e)%%

Ableitung berechnen

%%f(\mathrm x)=\ln(\mathrm x^\mathrm e)%%

%%f(\mathrm x)=\;\mathrm e\cdot\ln(\mathrm x)%%

Wende die Ableitungsregel für den %%\ln%% an.

%%f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}%%

%%f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}=\frac{\mathrm e}{\mathrm x}%%

%%f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x \ln x+2x%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x\ln x+2x%%

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den %%\ln%% an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den %%\ln%% .

%%f'\left(x\right)=\left[1\cdot\left(\ln x\right)^2+x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\right]-\left[2\ln x+2x\cdot\frac1x\right]+2%%

Multipliziere aus und vereinfache.

%%=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-\left[2\ln x+2\right]+2%%

 

%%=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-2\ln x-2+2%%

 

%%=\left(\ln x\right)^2%%

 

%%f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]%%

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von %%u=x%% und %%v=-3(\ln x)^2+6\ln x-6%% gebildet werden.

%%u'=1%%

 

%%v'=3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x%%

Um %%v%% abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von %%\ln x%%  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von %%\ln x%% berechnet werden.

%%f'\left(x\right)=1\cdot\left[\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6\right]%%  

%%+x\cdot\left[3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x\right]%%

Multipliziere nun die Klammern aus.

%%=\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6+3\left(\ln x\right)^2-6\left(\ln x\right)+6%%

Fasse jetzt zusammen.

%%=\left(\ln x\right)^3%%

 

Bestimme alle Punkte, in denen die Funktion eine waagerechte Tangente besitzt

%%f(x)= \frac 1 2 x^2 -5x+1%%

Ableitung bestimmen

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du wissen, wie man die Ableitung einer Potenzfunktion bestimmt.

Die Punkte mit waagrechter Tangente am Funktionsgraph von %%f%% sind genau die, in denen die Steigung der Funktion %%0%% ist:

%%f(x)=\frac 1 2 x^2-5x+1%%

Bilde die Ableitung, indem du die Summenregel verwendest.

%%f'(x)=x-5%%

Der Wert der Ableitung an einer Stelle %%x_0%% entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich 0.

%%0=x-5%%

Löse nach x auf.

%%x=5%%

Für %%x=5%% erhalten wir den einzigen Punkt, der eine waagerechte Tangente besitzt.

Bestimme den zugehörigen y-Wert, indem du %%f(5)%% berechnest.

%%f(5)=\frac 1 2 \cdot 5^2-5\cdot 5 +1%%

Werte den Term aus.

%%f(5)=12.5-25+1= -11.5%%

%%\Rightarrow P(5|-11,5)%%