Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Integration

$f\left(x\right)=x+1$

Integriere nun die Funktion.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

$c$ bestimmen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze den gegeben Punkt $\left(0|0\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.

$0=\frac{1}{2}{0}^2+0+c$

$0=c$

Stammfunktion aufstellen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze das gefundene $c$ ein.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+0$

Integration

$f\left(x\right)=x+1$

Integriere die Funktion.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

c bestimmen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze den gegeben Punkt $\left(0|1\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.

$1=\frac{1}{2}{0}^2+0+c$

$1=c$

Stammfunktion aufstellen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze das gefundene $c=1$ ein.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+1$

Integration

$f\left(x\right)=x+1$

Integriere die Funktion.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

$c$ bestimmen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze den gegeben Punkt $\left(1|0\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.

$0=\frac{1}{2}{1}^2+1+c$

$0=\frac{3}{2}+c$

$c=-\frac{3}{2}$

Stammfunktion aufstellen

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+c$

Setze das gefundene $c=-\frac{3}{2}$ ein.

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{3}{2}$

$\int \sin (12x-3)\mathrm{d}x$

Integriere zunächst die äußere Funktion $\sin \left(x\right)$.

$\int \sin \left(x\right)\mathrm{d}x=-\cos \left(x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss (Kettenregel).

In diesem Fall ist die innere Funktion  $g\left(x\right)=(12x-3)$. Beim Ableiten der Funktion $g$ würde sich der Faktor $12$ beim Nachdifferenzieren ergeben. 

Deshalb muss die Stammfunktion zu  $\sin (12x-3)$ noch mit  $\frac{1}{12}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 12 auszugleichen.

$\int \sin (12x-3)\mathrm{d}x=$

$=-\cos (12x-3)\cdot \frac{1}{12}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

${\int }_{}^{}{x}^8\mathrm{d}x=\frac{1}{9}{x}^9+C$

$\int {(2x-3)}^8\mathrm{d}x=$

$=\frac{1}{9}{(2x-3)}^9\cdot \frac{1}{2}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=\sin \left(3x\right)$

Integriere zunächst $\sin (x)$.

${\int }_{}^{}\sin (x)\mathrm{d}x=-\cos \left(x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=\left(3x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin \left(3x\right)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int \sin \left(3x\right)\mathrm{d}x$

$=-\cos \left(3x\right)\cdot \frac{1}{3}+C$

$\int \sin (x-3)\mathrm{d}x=$

$=-\cos (x-3)\cdot 1+C$

$=-\cos (x-3)+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

${\int }_{}^{}\cos (x)\mathrm{d}x=\sin (x)+C$

$\int \cos (-x-13)\mathrm{d}x$

$=\sin (-x-13)\cdot (-1)+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=-5\sin (3x-2)$

Integriere zunächst $\sin (x)$.

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=(3x-2)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin (3x-2)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int -5\cdot \sin (3x-2)\mathrm{d}x=$

$=5\cos (3x-2)\cdot \frac{1}{3}+C$

$=\frac{5}{3}\cdot \cos (3x-2)+C$

$f\left(x\right)=\frac{1}{16}{(40x-\mathrm{3,5})}^3$

Berechne zuerst das Integral der äußeren Funktion $\frac{1}{16}{x}^3$.

${\int }_{}^{}\frac{1}{16}{x}^3\mathrm{d}x=\frac{1}{64}{x}^4+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=(40x-\mathrm{3,5})$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 40 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{1}{16}(40x-\mathrm{3,5}{)}^3$ noch mit $\frac{1}{40}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 40 auszugleichen.

$\int \frac{1}{16}{(40x-\mathrm{3,5})}^3\mathrm{d}x=$

$=\frac{1}{64}(40x-\mathrm{3,5}{)}^4\cdot \frac{1}{40}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\sin (x)}{3}\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}\cos (x)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=\left(2x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{\sin \left(2x\right)}{3}$ noch mit $\frac{1}{2}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.

$\int \frac{\sin \left(2x\right)}{3}$

$=-\frac{\cos (2x)}{3}\cdot \frac{1}{2}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int e^{3x+7}\mathrm{d}x=$

$=e^{3x+7}\cdot \frac{1}{3}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\pi }{2}{e}^x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{e}^x+C$

$\int \frac{\pi }{2}{e}^{7x}dx=$

$=\frac{\pi }{2}{e}^{7x}\cdot \frac{1}{7}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

${\int }_{}^{}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x$

Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}$

Ziehe $\frac{1}{x}$ in den Zähler, damit ein Bruch der Form $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ entsteht.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}={\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x$

Da $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ hilft dir die Regel $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+c$

${\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln \left|\ln x\right|+C$

Deswegen ist

$\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x$

Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x=\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$

Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: $(e^{-e^x}{)}^{\prime }=-e^x\cdot e^{-e^x}$

$\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx$

Ziehe eines der beiden vor das Integral.

$\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx=-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$

Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von $e^{-e^x}$. Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)

$-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=-e^{-e^x}+C$

Deswegen ist