Aufgaben

Gegeben ist die Funktion %%f%% mit %%f(x)= 6\sqrt{x}%%.

Bestimme diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt %%(1|0)%% verläuft.

Stammfunktion bestimmen

Integriere mit Hilfe der Schreibweise als Potenz.

%%\begin{align} \int f(x)\operatorname{d}x &= \int 6\sqrt{x}\operatorname{d}x\\ &= \int 6\cdot x^{\frac{1}{2}}\operatorname{d}x\\ &=6\dfrac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+C=4\cdot x^{\frac{3}{2}}+C \end{align}%%

Setze dann den Punkt ein, um die Konstante %%C%% zu bestimmen.

%%0=4\cdot 1^{\frac{3}{2}}+C%%

%%\Leftrightarrow%% %%C=-4%%

%%\Rightarrow F(x)=4x^{\frac{3}{2}}-4%%

%%f(x) = x +1%%

Bestimme diejenige Stammfunktion, für die gilt

$$\left(\left.0\right|0\right)\in G_F$$

Integration

%%f\left(x\right)=x+1%%

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

%%c%% bestimmen

 

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Setze den gegeben Punkt %%\left(\left.0\right|0\right)%% in %%F\left(x\right)%% ein.

%%0=\frac120^2+0+c%%

%%0=c%%

 

Stammfunktion aufstellen

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Das gefundene %%c%% einsetzen.

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+0%%

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x%%

%%\left(\left.0\right|1\right)\in G_F%%

Integration

%%f\left(x\right)=x+1%%

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

c bestimmen

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Setze den gegeben Punkt %%\left(0\vert1\right)%% in %%F\left(x\right)%% ein.

%%1=\frac120^2+0+c%%

%%1=c%%

Stammfunktion aufstellen

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Das gefundene %%c=1%% einsetzen.

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+1%%

%%\left(\left.1\right|0\right)\in G_F%%

Integration

%%f\left(x\right)=x+1%%

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

%%c%% bestimmen

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Setze den gegeben Punkt %%\left(1\vert0\right)%% in %%F\left(x\right)%% ein.

%%0=\frac121^2+1+c%%

%%0=\frac32+c%%

%%\left|{-\frac32}\right.%%

%%c=-\frac32%%

Stammfunktion aufstellen

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c%%

Das gefundene %%c=-\frac{3}{2}%% einsetzen.

%%F\left(x\right)=\frac12x^2+x-\frac32%%

Bilde die Stammfunktion.

%%f\left(x\right)=x^2+x-3%%

Stammfunktion finden

%%f\left(x\right)=x^2+x-3%%

%%\int x^2+x-3\ \mathrm{d}x=%%

%%\int x^2\ \mathrm{d}x+\int x\ \mathrm{d}x+\int3\ \mathrm{d}x=%%

%%\int x^n \mathrm dx=\frac1{n+1} x^{ n+1}+C%%

%%=\frac13x^3+\frac12x^2-3x+C%%

%%F\left(x\right)=\frac13x^3+\frac12x^2-3x+C%%

 

Bestimme für die folgende verkettete Funktion eine Stammfunktion.

Zu text-exercise-group 13961:
Nish 2017-01-14 16:23:32
Verbesserungsvorschläge zu allen Teilaufgaben:
- Überschriften sollten direkt verlinkt werden
- man sollte, wenn möglich, so viel wie möglich auch in den Erklärungen verlinken
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%%f\left(x\right)=\sin\left(12x-3\right)%%

 

%%\int\sin\left(12x-3\right)\;\mathrm{d}x%%

Integriere zunächst die äußere Funktion %%\sin\left(x\right)%%

%%\int\sin\left(x\right)\;\mathrm{d}x=-\cos\left( x\right)%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss (Kettenregel).

In diesem Fall ist die innere Funktion  %%g\left( x\right)=\left(12 x-3\right)%%. Beim Ableiten der Funktion %%g%% würde sich der Faktor %%12%% beim Nachdifferenzieren ergeben. 

Deshalb muss die Stammfunktion zu  %%\sin\left(12 x-3\right)%% noch mit  %%\frac1{12}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 12 auszugleichen. 

%%\int\sin\left(12x-3\right)\;\mathrm{d}x=%%

%%=-\cos\left(12x-3\right)\cdot \frac1{12}+C%%

%%F(x)=-\cos\left(12x-3\right)\cdot \frac1{12}+C%%

%%f\left(x\right)=\left(2x-3\right)^8%%

Stammfunktion bilden

%%\int x^8 \ \mathrm{d}x=\frac{1}{9}x^9%%

Integriere zuerst %%x^8%%

 

%%\int\left(2x-3\right)^8\;\mathrm{d}x=%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(2x-3\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%(2x-3)^8%% noch mit %%\frac1{2}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.

 

%%=\frac19\left(2x-3\right)^9\;\cdot\frac12+C%%

 

 

%%F(x)=\frac1{18}\left(2x-3\right)^9+ C%%

%%f\left(x\right)=\sin\left(3 x\right)%%

Stammfunktion bilden

%%\int \sin(x)\ \mathrm{d}x%%

Integriere zunächst %%\sin(x)%%

%%\int\sin\left(3x\right)\;\mathrm{d}x%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(3x\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\sin\left(3x\right)%% noch mit %%\frac1{3}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

 %%=-\cos\left(3x\right)\cdot\frac13+ C%%

 

%%F(x)= -\cos\left(3x\right)\cdot\frac13+ C%%

%%f\left( x\right)=\sin\left( x-3\right)%%

Stammfunktion bilden

%%\int\sin\left(x-3\right)\;\mathrm{d}x=%%

Da hier die Ableitung der inneren Funktion %%g(x)=x-3%%, gleich 1 ist, musst du, um die Stammfunktion zu erhalten, nicht mehr nachbessern.

%%=-\cos\left(x-3\right)\cdot1+ C=%%

%%=-\cos\left(x-3\right)+ C%%

%%F(x)=-\cos(x-3)+C%%

%%f\left( x\right)=\cos\left(- x-13\right)%%

Stammfunktion bilden

%%\int\cos(x)\ \mathrm{d}x=\sin(x)%%

Integriere zuerst die äußere Funktion %%\cos(x)%%

%%\int\cos\left(-x-13\right)\;\mathrm dx%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(-x-13\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor -1 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\cos(-x-13)%% noch mit -1 multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor -1 auszugleichen.

%%=\sin\left(-x-13\right)\cdot\left(-1\right)+ C%%

%%F(x)=-\sin\left(-x-13\right)+ C%%

%%f\left( x\right)=-5\sin\left(3 x-2\right)%%

Stammfunktionen bilden

%%\int \sin(x)\ \mathrm{d}x=-\cos(x)%%

Integriere zunächst %%\sin(x)%%.

%%\int-5\cdot\sin\left(3x-2\right)\;\mathrm dx=%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(3x-2\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\sin\left(3x-2\right)%% noch mit %%\frac1{3}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

%%=5\cos\left(3x-2\right)\cdot\frac{1}{3}+ C%%

%%F(x)=5\cos\left(3x-2\right)\cdot\frac{1}{3}+ C%%

%%f\left( x\right)=\frac1{16}\;\left(40 x-3,5\right)^3%%

Stammfunktion finden

%%\int \frac{1}{16}x^3\ \mathrm{d}x=\frac{1}{64}x^4%%

Berechne zuerst das Integral der äußeren Funktion %%\frac{1}{16}x^3%%.

%%\int\frac1{16}\;\left(40 x-3,5\right)^3\ \mathrm{d}x=%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(40 x-3,5\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 40 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\frac{1}{16}(40x-3,5)^3%% noch mit %%\frac1{40}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 40 auszugleichen.

%%=\frac1{64}(40x-3,5)^4\cdot\frac1{40}+C%%

%%F(x)=\frac1{2560}(40x-3,5)^4+C%%

$$f\left( x\right)=\frac{\sin\;\left(2 x\right)}3$$

Stammfunktion finden

%%\int \frac{\sin(x)}{3}=-\frac{1}{3}\cos(x)%%

Berechne zunächst die Ableitung der äußeren Funktion %%\frac{\sin(x)}{3}%%

$$\int \frac{\sin\left(2 x\right)}{3}=$$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(2x\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\frac{\sin\left(2 x\right)}{3}%% noch mit %%\frac1{2}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.

%%=-\frac{\cos(2x)}{3}\cdot\frac{1}{2}+C%%

$$F(x)=\frac{-\cos(2x)}6+C $$

%%f\left( x\right)= e^{3 x+7}%%

Stammfunktion finden

%%\int e^x\ \mathrm{d}x=e^x%%

Berechne zunächst das Integral der äußeren Funktion %%e^x%%

%%\int e^{3 x+7}\ \mathrm{d}x =%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=\left(3x+7\right)%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%e^{3x+7}%% noch mit %%\frac1{3}%% multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

%%=e^{3x+7}\cdot\frac{1}{3}+C%%

%%F(x)=\frac13 e^{3x+7}+C%%

%%f\left( x\right)=\frac{\pi}2 e^{7 x}%%

Stammfunktion finden

%%\int \frac{\pi}{2}e^x=\frac{\pi}{2}e^x%%

Berechne zunächst die Stammfunktion der äußeren Funktion %%\frac{\pi}{2}e^x%%

%%\int \frac{\pi}2 e^{7 x}=%%

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion %%g\left( x\right)=7x%%; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 7 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu %%\frac{\pi}2 e^{7 x}%% noch mit %%\frac1{7}%% multipliziert werden.

%%=\frac{\pi}2 e^{7 x}\cdot\frac{1}{7}+C%%

%%F(x)=\frac{1}{7}\cdot\frac{\pi}2 e^{7 x}+C%%

Bestimme alle Stammfunktionen für folgende komplizierteren Funktionen.

$$f\left(x\right)=\frac1{x\ln x}$$

Stammfunktionen finden

$$\int_{}f\left(x\right)\mathrm dx=\int_{}\frac1{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x=$$

Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.

$$\int_{}\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x=\int_{}\frac1 x \cdot \frac1 {\ln x}=$$

Ziehe %%\frac 1 x%% in den Zähler, damit ein Bruch der Form $$\frac{f'(x)}{f(x)}$$ entsteht.

$$=\int_{}\frac{\frac1x}{\ln x}\mathrm dx=$$

Da %%(\ln x)'= \frac 1 x%% hilft dir die Regel $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln |f(x)| +c$$

%%=\ln\left|\ln x\right|+C%%

%%F(x)=\ln\left|\ln x\right|+C%%

$$f(x)=e^{x-e^x}$$

Stammfunktionen finden

%%\int f\left( x\right)\mathrm{d}x=\int e^{ x- e^x}\mathrm{d}x%%

Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.

$$=\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$$

Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: %%(e^{-e^x})'= -e^x\cdot e^{-e^x}%%

Die zu integrierende Funktion unterscheidet sich nur durch ein Minus! Da du in deinem Integral nicht einfach ein Minus hinzufügen kannst, setze insgesamt zwei ein, denn gemeinsam ergeben sie wieder Plus!

%%=\int -(-e^x\cdot e^{-e^x}) dx%%

Ziehe eines der beiden vor das Integral.

%%=-\int- e^x\cdot e^{- e^x}\mathrm{d}x%%

Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von %%e^{-e^x}%%. Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)

%%=- e^{- e^x}+ C%%

%%F(x)=-e^{-e^x}+C%%

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