Aufgaben
Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=(3+x+2)2f(x)=(3+x+2)^2
Vereinfache die Funktionsvorschrift.
f(x)=(3+x+2)2f(x)=(x+5)2f(x)=(3+x+2)^2\\\hphantom{f(x)}=(x+5)^2
Die Funktion ist in Scheitelpunktform: f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x−d)^2+e. Lies den Scheitelpunkt ab.
S=(50)\Rightarrow S=(-5|0)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:
f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1
Wende die 1. binomische Formel an.
f(x)=x2+2x+1f(x)=(x+1)2f(x)=x^2+2x+1\\\hphantom{f(x)}=\left(x+1\right)^2
Die Funktion hat nun die Scheitelform.
Lies den Scheitelpunkt ab.
S=(10)\Rightarrow S=( -1 | 0 )
Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.
f(x)=(x2)2+1f(x)=\left(x-2\right)^2+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=(x2)2+1f(x)=(x−2)^2+1
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter aa, dd und ee aus der Formel der Scheitelform.
a=1a=1, d=2d=2 und e=1e=1
Der Scheitelpunkt ergibt sich als S=(de)S=(d|e).
S=(21)\Rightarrow S=(2|1)
f(x)=12  +(x+8)2f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht. Vertausche deshalb zuerst die Summanden
f(x)=12+(x+8)2f(x)=(x+8)212f(x)=−12+(x+8)^2\\\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12
Lies die Parameter aa, dd und ee aus der Scheitelform ab.
a=1a=1, d=8d=-8 und e=12e=-12.
Den Scheitelpunkt erhältst du als S=(de)S=(d|e)
S=(812)\Rightarrow S=(-8|-12)
f(x)=x24x+4f(x)= x^2-4x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform

In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.

1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

f(x)=x24x+4f(x)=x^2-4x+4
Wende die 2. binomische Formel an.
f(x)=x24x+4f(x)=(x2)2f(x)=x^2-4x+4\\\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.
S=(20)\Rightarrow S=(2|0)


2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

f(x)=x24x+4f(x)=x^2-4x+4
Bestimme aa, bb und cc aus der allgemeinen Form.
a=1,b=4,c=4a=1, b=-4, c=4
Nun kannst du diese in die Formel
S=(b2acb24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=((4)214(4)241)S=\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(20)\Rightarrow S=(2|0)
f(x)=x2+2x3f(x)= x^2+2x-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=x2+2x3f(x)=x^2+2x-3
f(x)=x2+2x+113\hphantom{f(x)}=x^2+2x+1-1-3
Benutze die 1. binomische Formel.
=(x+1)24=\left(x+1\right)^2-4
Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
S=(14)\Rightarrow S=(-1|-4)


2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

x2+2x3x^2+2x-3
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=1a=1, b=2b=2, c=3c=-3
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S=(22132241)S=\left(-\dfrac{2}{2\cdot1}\left|-3-\dfrac{2^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(14)\Rightarrow S=(-1|-4)
f(x)=(3x)2f(x)=\left(3-x\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Parabel schon beinahe in Scheitelform gegeben; die restlichen nötigen Umformungen lauten:
f(x)=(3x)2f(x)=\left(3-x\right)^2
Klammere 1-1 aus.
f(x)=((1)(x3))2\hphantom{f(x)}=\left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2
Quadriere die einzelnen Faktoren.
f(x)=(x3)2\hphantom{f(x)}=\left(x-3\right)^2
Lies den Scheitelpunkt ab.
S=(30)\Rightarrow S=(3|0)
Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.
f(x)=2x24,8x+0,88f\left(x\right)=2x^2-4{,}8x+0{,}88

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=2x24,8x+0,88f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88
Klammere 22 vor den xx-Termen aus.
f(x)=2(x22,4x)+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2{,}4x\right)+0{,}88
Ergänze quadratisch mit 1,221{,}2^2.
f(x)=2(x221,2x+1,221,22)+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2-1{,}2^2\right)+0{,}88
Multipliziere die Klammer aus.
f(x)=2(x221,2x+1,22)2,88+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2{,}88+0{,}88
Fasse zusammen.
f(x)=2(x221,2x+1,22)2\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2
Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
f(x)=2(x1,2)22\hphantom{f(x)}=2\left(x-1{,}2\right)^2-2
Lies den Scheitelpunkt ab.
S=(1,22)\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)


2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

f(x)=2x24,8x+0,88f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=2a=2, b=4,8b=-4{,}8, c=0,88c=0{,}88
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S=((4,8)22|0,88(4,8)242)S=\left(-\dfrac{(-4{,}8)}{2\cdot2}\,\middle\vert\,0{,}88-\dfrac{(-4{,}8)^2}{4\cdot2}\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(1,22)\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)

f(x)=(x2)(x+3)f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=(x2)(x+3)f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)
Multipliziere aus
f(x)=x2+x6\hphantom{f(x)}=x^2+x-6
f(x)=x2+212x+(12)2(12)26\hphantom{f(x)}=x^2+2\cdot \frac12x+(\frac12)^2-(\frac12)^2-6
Verwende die 1. binomische Formel
f(x)=(x+0,5)26,25\hphantom{f(x)}=\left(x+0,5\right)^2-6,25
Lies nun den Scheitelpunkt ab.
S=(12614)\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

f(x)=(x2)(x+3)f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)
Multipliziere aus.
f(x)=x2+x6\hphantom{f(x)}=x^2+x-6
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=1a=1, b=1b=1, c=6c=-6
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S(12161241)S\left(-\dfrac{1}{2\cdot1}\left|-6-\dfrac{1^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(12614)\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=2x2+6x2,5f(x)=-2x^2+6x-2,5 anhand ihrer Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel

f(x)=2x2+6x2,5f(x)=−2x^2+6x−2,5
Berechne die Nullstellen von ff, z.B. mit der Mitternachtsformel:
x1/2=6±624(2)(2,5)2(2)=6±36204=6±164=6±44    x1=12,x2=52\begin{array}{rcl} x_{1/2} &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot (-2)\cdot(-2,5)}}{2\cdot (-2)}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{16}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm 4}{-4}\\ \implies x_1 &=& \dfrac{1}{2}\qquad,\qquad x_2 = \dfrac{5}{2} \end{array}
Da ff ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Nullstellen von ff sind also 0,50,5 und 2,52,5.
Der xx-Wert des Scheitels xsx_s liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen.Die Zahl 1,51,5 liegt zwischen 0,50,5 und 2,52,5.
Also ist xs=0,5+2,52=23=1,5x_s= \dfrac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = \dfrac23 = 1,5.
Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels, indem du den xx-Wert in die Funktionsgleichung von ff einsetzt.
f(xs)=f(0)=2(1,5)2+61,52,5=2f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1,5)^2+6 \cdot 1,5-2,5=2
Der Scheitelpunkt von ff ist demnach S=(1,52)S=(1,5|2).
Gib die Koordinaten des Scheitels folgender Funktionen an.
g1:  xx22g_1:\;x\mapsto x^2-2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

g1(x)=x22g_{1}(x)=x^2−2
Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.
S=(02)\Rightarrow S=(0\mid-2)
g2 ⁣:xx2+1,20,4g_2\colon x\mapsto x^2+1{,}2-0{,}4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

g2(x)=x2+1,20,4g_{2}(x)=x^2+1{,}2−0{,}4
Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.
g2(x)=x2+1,20,4g2(x)=x2+0,8g_2(x)=x^2+1,2−0,4\\\hphantom{g_2(x)}= x^2+0{,}8
S=(00,8)\Rightarrow S=(0\mid0{,}8)

Bestimme den Scheitel:

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%% (mit quadratischer Ergänzung)

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2-2\cdot1,5x+1,5^2-1,5^2-\frac34%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-2,25-\frac34%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-3%%

Lies den Scheitel ab.

%%\Rightarrow S=\left(1,5|-3\right)%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-24x\right)-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x-12\right)^2+25%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\left(12|25\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%  (mit Hilfe der Nullstellen)

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%

$$\begin{align}x&=\frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0,5\cdot24}}{2\cdot0,5}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}\\&=-4\pm8\end{align}$$

Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : %%\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4%%.

Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

$$\begin{align}f(-4)&=0,5 \cdot \left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24\\&=-32\end{align}$$

%%\Rightarrow S=\left(-4|-32\right)%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Klammere die %%-2%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x\right)+10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%4%%.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+8+10%%

Bringe den Term auf Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+18%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\mathrm S=\left(2\vert18\right)%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Klammere %%3%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2- \frac{4}{3}x\right)+18%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac{\mathbf4}{\mathbf3}%%.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2-\frac43 x+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^2\right)+18%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=3\left[\left(x-\frac23\right)^2-\frac49\right]+18%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2-\frac43+18%%

Bringe den Term auf Scheitelform .

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2+16\frac23%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(\frac23\vert16\frac23\right)%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Klammere %%-5%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x^2+\frac15x\right)-2%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac15%%.

%%\hphantom{f(x)}=(-5)\cdot\left(x^2+\frac15x+\left(\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(\left(x+\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Multpliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2+\frac5{100}-2%%

Berechne die rechte Summe.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2-1,95%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-1,95\right)%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1x^2+2x-10%%

Klammere %%0{,}1%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x\right)-10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x+10^2-{10}^2\right)-10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1{\left(\left(x+10\right)^2-100\right)}-10%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10%%

Bringe den Term auf die Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-20%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(-10\mid-20\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+3x-4%%

%%\frac12x^2+3x−4=0%%

Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.

%%x_1= \dfrac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_1}=-3+\sqrt{17}%%

%%x_2= \dfrac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_2} = -3-\sqrt{17}%%

Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: %%x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3%%

Setzt man diesen %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes:

%%f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8,5%%

%%\Rightarrow S=(-3|-8,5)%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Klammere %%\frac23%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x+6^2-6^2)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23((x+6)^2-36)%%

Multipliziere die Klammer aus.

 

 

%%\hphantom{f(x)}=\frac23 (x+6)^2 - 24%%

%%f%% ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-6|-24)%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

 

Klammere %%\frac56%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\left(x^2+\frac65x-\frac65\right)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left(x^2+\frac65x+(\frac35)^2-(\frac{3}{5})^2-\frac65\right)%%

 

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left( \left(x+\frac35\right)^2-\frac{9}{25} -\frac{30}{25} \right)%%

Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac56 \cdot \frac{39}{25}%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac{39}{30}%%

Nun hast du %%f%% in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-\frac35|-1\frac{3}{10})%%

%%f(x)=-0{,}5x^2+20x-30%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=−0,5x^2+20x−30=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=+20-\sqrt{340}%%

%%x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=20 +\sqrt{340}%%

%%x_{1}%% und %%x_{2}%% sind damit reelle Zahlen und es gilt:

%%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20%%

Setzt man den %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen %%y%%-Wert:

%%f(x_{s})=f(20)=−0,5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170%%

%%\Rightarrow S=(20 | 170)%%

%%f(x)=-\frac34x^2+x%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=\dfrac{-3}{4}x^2+x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%\Leftrightarrow x(\frac{-3}{4}x+1)=0%%

Eine Nullstelle ist also %%x=0%%. Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du %%\frac{-3}{4}x+1=0%% weiter nach %%x%% auflöst:

%%\frac{-3}{4}x=-1%%

|%%\cdot\frac{-4}{3}%%

%%x=\frac43%%

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den %%x%%-Wert %%x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23%%.

Setze den %%x%%-Wert in die Funktionsvorschrift ein.
So bekommst du den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes.

%%f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13%%.

%%\Rightarrow S=(\frac 23 | \frac13)%%

Gib die Scheitelform der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel ff an.
Die Parabel ff hat ihren Scheitel im Punkt (11)(1|1).
  • Die Funktionsgleichung ist also von der Form f(x)=a(x1)2+1f(x)=a(x-1)^2+1, wobei du aa noch zu bestimmen hast.
Wie du anhand der Graphik erkennen kannst, durchläuft ff auch den Punkt (33)(3|3). Es gilt also:
f(3)=3f(3)=3
Setze die Abbildungsvorschrift von ff ein.
a(31)2+1=3\Leftrightarrow a(3-1)^2+1 = 3
Vereinfache die Ausdrücke.
a22+1=3\Leftrightarrow a \cdot2^2 + 1=3
Ziehe 11 auf beiden Seiten der Gleichung ab.
4a=2\Leftrightarrow 4a = 2
Teile durch 44.
a=0,5\Leftrightarrow a = 0,5

Somit ist f(x)=0,5(x1)2+1f(x) = 0,5(x-1)^2+1.
Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

f(x)=x2+6x+9f(x)=x^2+6x+9
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten aa, bb und cc direkt ablesen kann.
a=1,b=6,c=9a=1, b=6, c=9
Nun kann man diese in die Formel
S=(b2acb24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(62196241)S=\left(-\frac{6}{2\cdot1} \left|9-\frac{6^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(30)\Rightarrow S=(-3|0)
f(x)=x26x+10f(x)=x^2-6x+10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=x26x+10f(x)=x^2-6x+10
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.
a=1,b=6,c=10a=1, b=-6, c=10
Nun kannst du diese in die Formel
S=(b2acb24a)S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=((6)2110(6)241)S=\left (-\frac{(-6)}{2\cdot1} \left|10-\frac{(-6)^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(31)\Rightarrow S=\left(3\vert1\right).
f(x)=2x2+x3f(x)= 2x^2+x-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=2x2+x3f(x)=2x^2+x-3
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten aa,bb und cc direkt ablesen kann.
a=2,b=1,c=3a=2, b=1, c=-3
Nun kann man diese in die Formel
S=(b2acb24a)S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(12231242)S=\left(-\frac1{2\cdot2}\left|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(14258)\Rightarrow S=\left(-\frac14\vert-\frac{25}{8}\right).
f(x)=3x212x+15f(x)=3x^2 - 12x + 15

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=3x212x+15f(x)= 3x^2-12x+15
Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten aa, bb und cc direkt ablesen kannst.
a=3,b=12,c=15a=3, b=-12, c=15
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S=((12)2315(12)243)S=\left(-\frac{(-12)}{2\cdot3}\left|15-\frac{(-12)^2}{4\cdot3}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(23)\Rightarrow S=\left(2\vert3\right)
f(x)=16x28x+2f(x) = 16x^2 - 8x + 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=16x28x+2f(x)= 16x^2-8x+2
Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.
a=16,b=8,c=2a=16, b=-8, c=2
Diese setzt du in die Formel
S=(b2ab24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a}\left|-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
ein.
S=(82162(8)2416)S=\left(-\frac{-8}{2\cdot16}\left|2-\frac{(-8)^2}{4\cdot16}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S=(141)\Rightarrow S=(\frac14|1)
f(x)=6x224x29f(x) = - 6x^2 - 24x - 29

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=6x224x29f(x)=-6x^2-24x-29
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten aa, bb und cc direkt ablesen kann:
a=6,b=24,c=29a=-6, b=-24, c=-29
Nun kann man diese in die Formel
S=(b2acb24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left| c-\dfrac{b^2}{4a} \right.\right)
einsetzen.
S=(242(6)29(24)24(6))S=\left (-\frac{-24}{2\cdot(-6)} \left| -29-\frac{(-24)^2}{4\cdot(-6)}\right.\right)