Aufgaben

Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

%%f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2%%

%%f(x)=(x-4)^2%%

Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): %%f(x)=a(x-d)^2+e%%.

Lies die Parameter %%a,d,e%% vom gegebenen Graphen ab.

%%a=1%%, %%d=4%% und %%e=0%%

Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als %%(d|e)%%.

%%S=(d|e) = (4|0)%%.

Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.

%%f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2%%

Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht.

%%f(x)=−12+(x+8)^2%%

Vertausche die Summanden.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12%%

Lies die Parameter %%a%%, %%d%% und %%e%% aus der Scheitelform ab.

%%a=1%%, %%d=-8%% und %%e=-12%%.

Den Scheitelpunkt erhältst du als %%S=(d|e)%%

%%\Rightarrow S=(-8|-12)%%

%%f(x)= x^2-4x+4%%

In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.

1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

%%f(x)=x^2-4x+4%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2%%

Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.

%%\Rightarrow S=(2|0)%%

2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=x^2-4x+4%%

Bestimme %%a%%, %%b%% und %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1, b=-4, c=4%%

Nun kannst du diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(2|0)%%

%%f(x)= x^2+2x-3%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=x^2+2x-3%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2+2x+1-1-3%%

Benutze die 1. binomische Formel.

%%=\left(x+1\right)^2-4%%

Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-1|-4)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%x^2+2x-3%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=2%%, %%c=-3%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{2}{2\cdot1}\left|-3-\dfrac{2^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-1|-4)%%

%%f(x)=\left(3-x\right)^2%%

Scheitelpunkt bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Parabel schon beinahe in Scheitelform gegeben; die restlichen nötigen Umformungen lauten:

%%f(x)=\left(3-x\right)^2%%

Klammere %%-1%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2%%

Quadriere die einzelnen Faktoren.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-3\right)^2%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=(3|0)%%

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

%%f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2-4%%

Scheitelpunkt bestimmen

In dieser Aufgabe musst du den Scheitelpunkt bestimmen.

gegenben ist %%f(x)=3(x−2)^2−4%%

Die Funktion %%f(x)%% liegt bereits in Scheitelform vor.
Lies die Parameter %%a%%, %%d%% und %%e%% der Scheitelform ab.

%%a=3%%, %%d=2%% und %%e=-4%%

Dann ist %%S=(d|e)%% der Scheitelpunkt von %%f%%.

%%\Rightarrow S=(2|-4)%%

%%f\left(x\right)=2x^2-4{,}8x+0{,}88%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88%%

Klammere %%2%% vor den %%x%%-Termen aus.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2{,}4x\right)+0{,}88%%

Ergänze quadratisch mit %%1{,}2^2%%.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2-1{,}2^2\right)+0{,}88%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2{,}88+0{,}88%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x-1{,}2\right)^2-2%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=2%%, %%b=-4{,}8%%, %%c=0{,}88%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-4{,}8)}{2\cdot2}\,\middle\vert\,0{,}88-\dfrac{(-4{,}8)^2}{4\cdot2}\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)%%

%%f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

Multipliziere aus

%%\hphantom{f(x)}=x^2+x-6%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2+2\cdot \frac12x+(\frac12)^2-(\frac12)^2-6%%

%%\hphantom{f(x)}=\left(x+0,5\right)^2-6,25%%

Lies nun den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

Multipliziere aus.

%%\hphantom{f(x)}=x^2+x-6%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=1%%, %%c=-6%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S\left(-\dfrac{1}{2\cdot1}\left|-6-\dfrac{1^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)%%

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=x2+4x5f(x)=x^2+4x-5 anhand deren Nullstellen.
f(x)=x2+4x5f(x)=x^2+4x-5
Berechne die Nullstellen von ff, z.B. mit der PQ-Formel:
x=2±22(5)x=-2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)}
x=2±9\hphantom{x}= -2 \pm \sqrt{9}
x=2±3{5,1}\hphantom{x}= -2 \pm 3 \in \{-5, 1\}
Da ff ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind 5-5 und 11 genau die Nullstellen von ff.
f(x)=0f(x)=0 \Leftrightarrow
x2+4x5=0x^2+4x-5 = 0 \Leftrightarrow
x{5,1}x \in \{-5,1\}
Der xx-Wert xsx_{s} des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.
Also ist xs=2x_s=-2.
Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels, indem du den xx-Wert xsx_{s} in die Funktionsgleichung von ff einsetzt:
f(xs)=f(2)=(2)2+4(2)5=485=9\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x_s)&=& f(-2)\\ &=&(-2)^2+4\cdot(-2)-5\\ &=&4-8-5\\&=&-9 \end{array}
Der Scheitelpunkt von ff ist also S=(29)S=(-2|-9).
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=2x2+6x2,5f(x)=-2x^2+6x-2,5 anhand ihrer Nullstellen.
f(x)=2x2+6x2,5f(x)=−2x^2+6x−2,5
Berechne die Nullstellen von ff, z.B. mit der Mitternachtsformel:
x1/2=6±624(2)(2,5)2(2)=6±36204=6±164=6±44    x1=12,x2=52\begin{array}{rcl} x_{1/2} &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot (-2)\cdot(-2,5)}}{2\cdot (-2)}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{16}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm 4}{-4}\\ \implies x_1 &=& \dfrac{1}{2}\qquad,\qquad x_2 = \dfrac{5}{2} \end{array}
Da ff ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Nullstellen von ff sind also 0,50,5 und 2,52,5.
Der xx-Wert des Scheitels xsx_s liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen.Die Zahl 1,51,5 liegt zwischen 0,50,5 und 2,52,5.
Also ist xs=1,5x_s=1,5.
Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels, indem du den xx-Wert in die Funktionsgleichung von ff einsetzt.
f(xs)=f(0)=2(1,5)2+61,52,5=2f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1,5)^2+6 \cdot 1,5-2,5=2
Der Scheitelpunkt von ff ist demnach S=(1,52)S=(1,5|2).


Bestimme den Scheitel:

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%% (mit quadratischer Ergänzung)

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2-2\cdot1,5x+1,5^2-1,5^2-\frac34%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-2,25-\frac34%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-3%%

Lies den Scheitel ab.

%%\Rightarrow S=\left(1,5|-3\right)%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-24x\right)-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x-12\right)^2+25%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\left(12|25\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%  (mit Hilfe der Nullstellen)

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%

$$\begin{align}x&=\frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0,5\cdot24}}{2\cdot0,5}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}\\&=-4\pm8\end{align}$$

Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : %%\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4%%.

Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

$$\begin{align}f(-4)&=0,5 \cdot \left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24\\&=-32\end{align}$$

%%\Rightarrow S=\left(-4|-32\right)%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Klammere die %%-2%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x\right)+10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%4%%.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+8+10%%

Bringe den Term auf Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+18%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\mathrm S=\left(2\vert18\right)%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Klammere %%3%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2- \frac{4}{3}x\right)+18%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac{\mathbf4}{\mathbf3}%%.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2-\frac43 x+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^2\right)+18%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=3\left[\left(x-\frac23\right)^2-\frac49\right]+18%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2-\frac43+18%%

Bringe den Term auf Scheitelform .

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2+16\frac23%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(\frac23\vert16\frac23\right)%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Klammere %%-5%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x^2+\frac15x\right)-2%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac15%%.

%%\hphantom{f(x)}=(-5)\cdot\left(x^2+\frac15x+\left(\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(\left(x+\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Multpliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2+\frac5{100}-2%%

Berechne die rechte Summe.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2-1,95%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-1,95\right)%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1x^2+2x-10%%

Klammere %%0{,}1%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x\right)-10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x+10^2-{10}^2\right)-10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1{\left(\left(x+10\right)^2-100\right)}-10%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10%%

Bringe den Term auf die Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-20%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(-10\mid-20\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+3x-4%%

%%\frac12x^2+3x−4=0%%

Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.

%%x_1= \dfrac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_1}=-3+\sqrt{17}%%

%%x_2= \dfrac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_2} = -3-\sqrt{17}%%

Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: %%x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3%%

Setzt man diesen %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes:

%%f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8,5%%

%%\Rightarrow S=(-3|-8,5)%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Klammere %%\frac23%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x+6^2-6^2)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23((x+6)^2-36)%%

Multipliziere die Klammer aus.

 

 

%%\hphantom{f(x)}=\frac23 (x+6)^2 - 24%%

%%f%% ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-6|-24)%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

 

Klammere %%\frac56%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\left(x^2+\frac65x-\frac65\right)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left(x^2+\frac65x+(\frac35)^2-(\frac{3}{5})^2-\frac65\right)%%

 

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left( \left(x+\frac35\right)^2-\frac{9}{25} -\frac{30}{25} \right)%%

Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac56 \cdot \frac{39}{25}%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac{39}{30}%%

Nun hast du %%f%% in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-\frac35|-1\frac{3}{10})%%

%%f(x)=-0{,}5x^2+20x-30%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=−0,5x^2+20x−30=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=+20-\sqrt{340}%%

%%x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=20 +\sqrt{340}%%

%%x_{1}%% und %%x_{2}%% sind damit reelle Zahlen und es gilt:

%%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20%%

Setzt man den %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen %%y%%-Wert:

%%f(x_{s})=f(20)=−0,5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170%%

%%\Rightarrow S=(20 | 170)%%

%%f(x)=-\frac34x^2+x%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=\dfrac{-3}{4}x^2+x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%\Leftrightarrow x(\frac{-3}{4}x+1)=0%%

Eine Nullstelle ist also %%x=0%%. Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du %%\frac{-3}{4}x+1=0%% weiter nach %%x%% auflöst:

%%\frac{-3}{4}x=-1%%

|%%\cdot\frac{-4}{3}%%

%%x=\frac43%%

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den %%x%%-Wert %%x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23%%.

Setze den %%x%%-Wert in die Funktionsvorschrift ein.
So bekommst du den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes.

%%f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13%%.

%%\Rightarrow S=(\frac 23 | \frac13)%%

Gib die Scheitelform der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel ff an.
Die Parabel ff hat ihren Scheitel im Punkt (11)(1|1).
  • Die Funktionsgleichung ist also von der Form f(x)=a(x1)2+1f(x)=a(x-1)^2+1, wobei du aa noch zu bestimmen hast.
Wie du anhand der Graphik erkennen kannst, durchläuft ff auch den Punkt (33)(3|3). Es gilt also:
f(3)=3f(3)=3
Setze die Abbildungsvorschrift von ff ein.
a(31)2+1=3\Leftrightarrow a(3-1)^2+1 = 3
Vereinfache die Ausdrücke.
a22+1=3\Leftrightarrow a \cdot2^2 + 1=3
Ziehe 11 auf beiden Seiten der Gleichung ab.
4a=2\Leftrightarrow 4a = 2
Teile durch 44.
a=0,5\Leftrightarrow a = 0,5

Somit ist f(x)=0,5(x1)2+1f(x) = 0,5(x-1)^2+1.

Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.

%%f(x) = x^2 + 6x + 9%%

%%f(x)=x^2+6x+9%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kann.

%%a=1, b=6, c=9%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac{6}{2\cdot1} \left|9-\frac{6^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-3|0)%%

%%f(x)=x^2-6x+10%%

%%f(x)=x^2-6x+10%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.

%%a=1, b=-6, c=10%%

Nun kannst du diese in die Formel

%%S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left (-\frac{(-6)}{2\cdot1} \left|10-\frac{(-6)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(3\vert1\right)%%.

%%f(x)= 2x^2+x-3%%

%%f(x)=2x^2+x-3%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%,%%b%% und %%c%% direkt ablesen kann.

%%a=2, b=1, c=-3%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac1{2\cdot2}\left|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(-\frac14\vert-\frac{25}{8}\right)%%.

%%f(x)=3x^2 - 12x + 15%%

%%f(x)= 3x^2-12x+15%%

Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kannst.

%%a=3, b=-12, c=15%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\frac{(-12)}{2\cdot3}\left|15-\frac{(-12)^2}{4\cdot3}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(2\vert3\right)%%

%%f(x) = 16x^2 - 8x + 2%%

%%f(x)= 16x^2-8x+2%%

Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.

%%a=16, b=-8, c=2%%

Diese setzt du in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a}\left|-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

ein.

%%S=\left(-\frac{-8}{2\cdot16}\left|2-\frac{(-8)^2}{4\cdot16}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(\frac14|1)%%

%%f(x) = - 6x^2 - 24x - 29%%

%%f(x)=-6x^2-24x-29%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kann:

%%a=-6, b=-24, c=-29%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left| c-\dfrac{b^2}{4a} \right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left (-\frac{-24}{2\cdot(-6)} \left| -29-\frac{(-24)^2}{4\cdot(-6)}\right.\right)%%

Fasse zusammen, indem du die Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-2|-5)%%

%%f(x) = 2(x^2-4x+5)%%

%%f(x) = 2(x^2-4x+5)%%

%%\hphantom{f(x)}= 2x^2-8x+10%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=2%%, %%b=-8%%, %%c=10%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-8)}{2\cdot2}\left|10-\dfrac{(-8)^2}{4\cdot2}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(2|2)%%

%%f(x) = x(x-2)+6%%

%%f(x) = x(x-2)+6%%

%%\hphantom{f(x)} = x^2-2x+6%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=-2%%, %%c=6%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-2)}{2\cdot1}\left|6-\dfrac{(-2)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S(1|5)%%

%%f(x) = x^2+\frac{1}{9}(6x-26)%%

%%f(x) = x^2+\dfrac{1}{9}(6x-26)%%

Multipliziere aus und fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}= x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{26}{9}%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=\dfrac23%%, %%c=-\dfrac{26}9%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac {\frac23} {2\cdot 1}\left|\;-\dfrac{26}9-\dfrac{\left(\frac23\right)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(\left.-\frac13\right|-3\right)%%

%%f(x)=(x-2)(x+2)%%

%%f(x)=(x-2)(x+2)%%

Multipliziere aus und fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}= x^2-4%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=0%%, %%c=4%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac0{2\cdot1}\left|4-\dfrac{0^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(0|4)%%

Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll 60m60\,\mathrm m betragen.Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.
Bild Aufgabe Brücke (Scheitelpunkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt SS der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten (0,02)(-0{,}02) erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.

1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.
Die Scheitelpunktsform lautet: f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x−d)^2+e.
f(x)=0,02x2+1,2x\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x
Du kannst zunächst 0,02-0{,}02 ausklammern. Dies ist dein aa.
f(x)=0,02(x260x)\displaystyle f(x) = -0{,}02\cdot(x^2-60x)
Du kannst nun den Wert für dd bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.
Multipliziere (xd)2(x-d)^2 in der Scheitelpunktsform aus.
Du erhältst:
Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.
x260xx^2 − 60x ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also x22dxx^2-2dx. Demnach ist d=602=30d = \frac{60}{2} = 30.
Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:
Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du 30230^2 auch wieder abziehen.
Der vollständige Term lautet:
Setze den Term in den Funktionsterm ein:
Denke daran, die Klammer richtig zu setzen!
f(x)=0,02((x30)2302)\displaystyle f(x) = -0{,}02\cdot((x-30)^2-30^2)
f(x)=0,02((x30)2900)\displaystyle f(x) = -0{,}02\cdot((x-30)^2-900)
Multipliziere die Klammer aus.
f(x)=0,02(x30)2+18\displaystyle f(x) = -0{,}02\cdot(x-30)^2+18

Lösung

Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
Die yy-Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.
Also gilt: h=18mh = 18\,\mathrm m.

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Der Brückenbogen f(x)f(x) ist an einer Senkrechte tt durch den Scheitelpunkt S(xy)S(x\mid y) achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.
Dafür musst du zuerst die xx-Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die yy-Koordiante ausrechnen.
Bild mit Spiegelachse Parabelaufgabe

Finde die xx-Koordinate des Scheitelpunkts.
Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der 60m60\,\mathrm m langen Brücke. Also rechnest du:
x=602=30\displaystyle x = \frac{60}2 = 30
x=602=30\displaystyle x = \frac{60}2 = 30
\Rightarrow S(30y)S(30\mid y)
Setze 30 für xx in der Funktion f(x)f(x) ein.
f(x)=0,02x2+1,2x\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2+1{,}2x
f(30)=0,02302+1,230\displaystyle f(30)= -0{,}02\cdot30^2+1{,}2\cdot30
y=f(30)=0,02302+1,230\displaystyle y = f(30) = -0{,}02\cdot30^2+1{,}2\cdot30
Löse die Funktion nach yy auf.
y=0,02302+1,230\displaystyle y= -0{,}02\cdot30^2+1{,}2\cdot30
y=18+36\displaystyle y = -18 + 36
y=18\displaystyle y = 18
Nun kannst du yy in SS einsetzen.
S(30y)\displaystyle S(30\mid y)
S(3018)\displaystyle \Rightarrow S(30\mid18)

Lösung

S(3018)\displaystyle S(30\mid18)
Die yy-Koordinate des Scheitelpunkts SS ist die maximale Höhe des Brückenbogens.
Das heißt:
Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.
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