Punkte auf der Geraden

Um Punkte zu erhalten, die auf der Geraden liegen, musst du Werte für %%\lambda%% einsetzen. So kannst du mit dem passenden Wert jeden Punkt auf der Gerade erhalten.

Wenn du Überprüfen willst, ob ein Punkt auf der Geraden liegt musst du zunächst den Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen. Anschließend stellst du ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach %%\lambda%% auf. Kommt bei jeder Gleichung für %%\lambda%% der gleiche Wert raus, liegt der Punkt auf der Geraden. In den anderen Fällen liegt er nicht auf der Geraden.

Verständlicher wird dies, wenn man sich ein Beispiel ansieht:

Beispiel

Gegeben ist die Geradengleichung:

%%g:\vec{X}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}%%

Es soll nun geprüft werden ob die Punkte a) %%(7|-1|-12)%% und b) %%(4|10|-6)%% auf der Geraden liegen.

\begin{pmatrix} 7 \ -1 \ -12 \end{pmatrix}

a)%%\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}%%

Punkt mit Geradengleichung gleichsetzen.

%%\begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &7&=&2+5\cdot\lambda \\ &\mathrm{II} &-1&=&5-6\cdot\lambda \\ &\mathrm{III} &-12&=&-3-9\cdot\lambda \end{array}%%

Gleichungssystem aufstellen

%%\begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &\lambda&=&1 \\ &\mathrm{II} &\lambda&=&1\\ &\mathrm{III} &\lambda&=&1 \end{array}%%

Werte von %%\lambda%% berechnen.

In allen Gleichungen hat %%\lambda%% den gleichen Wert der Punkt liegt also auf der Geraden.

b)%%\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}%%

Punkt mit Geradengleichung gleichsetzen.

%%\begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &4&=&2+5\cdot\lambda \\ &\mathrm{II} &10&=&5-6\cdot\lambda \\ &\mathrm{III} &-6&=&-3-9\cdot\lambda \end{array}%%

Gleichungssystem aufstellen.

%%\begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &\lambda&=&\frac25 \\ &\mathrm{II} &\lambda&=&-\frac56\\ &\mathrm{III} &\lambda&=&\frac39 \end{array}%%

Werte von %%\lambda%% berechnen.

In den Gleichungen nimmt %%\lambda%% unterschiedliche Werte an. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

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