Parameterform umwandeln (2/2)

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Koordinatenform umwandeln.

Parameterform: %%E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}%%

Koordinatenform: %%E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0%%

Da die Koeffizienten %%n_1, n_2, n_3%% vor den jeweiligen x-Werten die Einträge des Normalenvektors sind, berechnet man zuerst den Normalenvektor %%\vec{n}%%. Diesen bekommt man durch das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren %%\vec{u}%% und %%\vec{v}%%:

$$ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $$

Jetzt fehlt nur noch %%n_0%%. Dafür setzt man den berechneten Normalenvektor %%\vec{n}%% und den Aufpunkt %%\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}%% in die Standard-Koordinatenform ein und löst diese Gleichung nach %%n_0%% auf. Tut man das erhält man:

$$n_0 = -n_1x_1 - n_2x_2 - n_3x_3$$

Alle nötigen Werte sind jetzt bekannt und man kann die Ebene in Koordinatenform angeben.

Beispiel

Gegeben ist %%E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} %%

Zuerst bestimmt man den Normalenvektor %%\vec{n}%% mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene: $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 6 - 7 \cdot 1 \\ 7 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Anschließend berechnet man %%n_0%%, indem man den Aufpunkt %%\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}%% und den Normalenvektor %%\begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4\end{pmatrix}%% in die Koordinatenform %%E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0%% einsetzt und nach %%n_0%% auflöst:

$$-13 \cdot 2 + 15 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + n_0 = 0 \longrightarrow n_0 = 13 \cdot 2 - 15 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 7$$

Somit erhält man folgende Ebene in Koordinatenform:

$$E: -13x_1 + 15x_2 + 4x_3 + 7 = 0$$

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Kowalsky 2016-10-31 20:48:39
auch hier ist das Kreuzprodukt falsch, (Wie Seite vorher) n=(-13/15/4) also -13*2+15*1+4*1 = -7 also n0 = 7
E: -13x1+15x2+4x3+7=0
Nish 2016-11-03 22:19:53
Bin heute erst dazu gekommen. Jetzt sollte es wieder stimmen. Vielen Dank für deine Hinweise auf Fehler!
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