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Praktische Umformungen für die Ableitung von Wurzelfunktionen

5Ableitung mithilfe der Potenzregel

Auf der vorherigen Kursseite wurde die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion umgeformt. Diese kannst du nun mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.

f(x)=xrr∈Rf(x) = x^r \qquad \qquad \qquad \qquad r \in \mathbb{R}

f′(x)=r⋅xr−1f'(x) = r \cdot x^{r-1}

Beispiel 1:

f(x)\displaystyle f\left(x\right)==x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
↓

Leite mit der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ab.

f′(x)\displaystyle f'(x)==12⋅x12−1\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}
↓

Vereinfache den Exponenten.

==12⋅x−12\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}
↓

Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.

==12⋅1x12\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}
↓

Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.

==12⋅x\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}

Die Ableitung von f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ist f′(x)=12⋅xf'(x) = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}.

Beispiel 2:

g(x)\displaystyle g\left(x\right)==x45=x45\displaystyle \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{4}{5}}
↓

Leite mit der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ab.

g′(x)\displaystyle g'(x)==45⋅x45−1\displaystyle \frac{4}{5}\cdot x^{\frac{4}{5}-1}
↓

Vereinfache den Exponenten.

==45⋅x−15\displaystyle \frac{4}{5}\cdot x^{-\frac{1}{5}}
↓

Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.

==45⋅1x15\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}
↓

Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.

==45⋅x5\displaystyle \frac{4}{5\cdot\sqrt[5]{x}}

Die Ableitung von g(x)=x45g(x) = \sqrt[5]{x^4} ist g′(x)=45⋅x5g'(x) = \dfrac{4}{5\cdot \sqrt[5]{x}}.


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