Kursinhalt

In diesem Kurs lernst du, wie du Wurzelfunktionen mithilfe der Potenzgesetze so umformen kannst, dass die Ableitung und Stammfunktion einfach gebildet werden kann.

Voraussetzungen

Du solltest bereits folgende Themen kennen:

• Wurzelfunktionen

• Potenzgesetze

• Ableiten mithilfe der Potenzregel, Produktregel, Faktorregel und Kettenregel

Kursdauer

ungefähr 60-90 Minuten.

Ableitung von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen kannst du ableiten, indem du diese erst in eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten umformst und dann mithilfe der Ableitungsregeln ableitest. Diese Vorgehensweise wird auf den nächsten Seiten vertieft und ausführlich gezeigt.

Wurzeln können auch durch Potenzen dargestellt werden.

Dabei wird die Wurzelfunktion zu einer Potenzfunktion mit rationalem Exponenten. Der Radikand $x\backslash color\{\#009999\}\{x\}$ wird zur Basis der Potenz und der Wurzelexponent $a\backslash color\{\#ff6600\}\{a\}$ zum Nenner im Bruch vom Exponenten.

Beispiele:

$\sqrt[3]{7x}=(7x{)}^{\frac{1}{3}}\backslash sqrt[3]\{7x\}\; =\; (7x)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

$\sqrt{3x+5}=(3x+5{)}^{\frac{1}{2}}\backslash sqrt\{3x+5\}\; =\; (3x+5)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Wenn der gesamte Radikand eine Potenz ist, dann kann er anhand der Potenzgesetze für rationale Exponenten umgeformt werden, um die Wurzel aufzulösen.

Summe, Differenz, Produkt und Quotient als Radikand

Wie du in den Beispielen siehst, wird stets der ganze Radikand zur Basis der Potenzfunktion.

Bei Summen und Differenzen wird der gesamte Radikand gemeinsam zur Basis: $\sqrt[3]{x-7}\mathrm{\ne }{x}^{\frac{1}{3}}-7^{\frac{1}{3}}\backslash sqrt[3]\{x-7\}\backslash neq\; x^\{\backslash frac\; 1\; 3\}-\; 7^\backslash frac\; 1\; 3$

$\sqrt[3]{x-7}=(x-7{)}^{\frac{1}{3}}\backslash sqrt[3]\{x-7\}=(x-7)^\{\backslash frac\; 1\; 3\}$

Bei Produkten und Quotienten darfst du die Bestandteile auch aufspalten und musst dann aber für jeden Faktor den Exponenten anpassen:

$\sqrt[4]{7x^3}=7^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=(7x^3{)}^{\frac{1}{4}}\mathrm{\ne }(7x{)}^{\frac{3}{4}}\backslash sqrt[4]\{7x^3\}=7^\{\backslash frac\; 1\; 4\}\; \backslash cdot\; x^\{\backslash frac\; 3\; 4\}=\; (7x^3)^\backslash frac\; 1\; 4\backslash neq\; (7x)^\backslash frac\; 3\; 4$

Auf der vorherigen Kursseite wurde die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion umgeformt. Diese kannst du nun mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.

$f(x)=x^{r}r\in \mathbb{R}f(x)\; =\; x^r\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Beispiel 1:

Die Ableitung von $f(x)=\sqrt{x}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\}$ ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{x\}\}$.

Beispiel 2:

Die Ableitung von $g(x)=\sqrt[5]{x^4}g(x)\; =\; \backslash sqrt[5]\{x^4\}$ ist $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4}{5\cdot \sqrt[5]{x}}}g\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{5\backslash cdot\; \backslash sqrt[5]\{x\}\}$.

Die Funktion $f(x)=\sqrt{x}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\}$ soll mithilfe der h-Methode abgeleitet werden. Ohne die Verwendung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen wirst du den Differenzenquotienten aufstellen und daraus den Differentialquotienten bilden, den du mit der h-Methode zur Ableitung umformst.

Mit dieser Rechnung konntest du dich überzeugen, dass die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen auch bei Quadratwurzeln die gleiche Ableitung liefert.

Das bedeutet auch, dass Wurzelfunktionen einfacher abgeleitet werden können, wenn diese zunächst mit der Regel für allgemeine Brüche in Exponenten in eine Potenz umgeschrieben werden. Allgemein gilt:

Du bekommst die Aufgabe, folgende Funktion abzuleiten:

Wie du es gerade gelernt hast, bereitest du die Funktion zunächst für das Ableiten vor, indem du das Potenzgesetz für rationale Exponenten anwendest:

Und jetzt?!

Damit du diese Funktion ableiten kannst, benötigst du die Kettenregel!

Wie die Kettenregel dir beim Ableiten von Wurzelfunktionen hilft, lernst du auf der nächsten Folie.

Hat die Wurzelfunktion im Radikanden eine Summe oder Differenz, wirst du die Kettenregel brauchen, da du beim Umschreiben in eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten den Radikanden nicht aufspalten kannst.

Bei der Kettenregel gibt es eine innere Funktion $v(x)v(x)$ und eine äußere Funktion $u(x)u(x)$. Hat man die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten umgeschrieben, so ist die Basis der Funktion (zuvor der Radikand) jetzt die innere Funktion und der Exponent (zuvor Wurzel und Potenz des Radikanden) ist Exponent die äußere Funktion mit der Basis $xx$:

Allgemeines Vorgehen

Hast du eine Wurzelfunktion, die du ableiten sollst, so kannst du mithilfe der Kettenregel und der Potenzgesetze immer so vorgehen:

1. Schreibe die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten um.

2. Identifiziere die innere und die äußere Funktion und leite diese zur Vorbereitung ab.

3. Setze $u^{\mathrm{\prime }}u\text{'}$, $vv$ und $v^{\mathrm{\prime }}v\text{'}$ in die Kettenregel $f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)=u\text{'}(v(x))\backslash cdot\; v\text{'}(x)$ ein.

4. Vereinfache $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ und forme gegebenenfalls erneut mit den Potenzgesetzen um.

Ein Beispiel findest du auf der nächsten Folie!

Schau dir das Beispiel von vorher nochmal an:

Innere Funktion vorbereiten

Die innere Funktion ist die Basis der Potenzfunktion.

Äußere Funktion

Die äußere Funktion ist der Exponent der Potenzfunktion zur neuen Basis $xx$.

Kettenregel anwenden

Die Tipps zur Umformung von Wurzelfunktionen sind auch für das Bilden der Stammfunktionen essentiell!

Damit du die Stammfunktion bilden kannst, solltest du zuerst zu einer Potenzfunktion mit rationalen Exponenten umformen und danach folgende Regel befolgen:

$f(x)=x^{\frac{b}{a}}\to F(x)=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\cdot x^{\frac{b}{a}+1}+Cf(x)=\; x^\backslash frac\; b\; a\; \backslash rightarrow\; F(x)=\; \backslash frac\; 1\; \{1+\backslash frac\; b\; a\}\backslash cdot\; x^\{\backslash frac\; b\; a\; +1\}+C$, $C\in \mathbb{R}\backslash qquad\; C\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Beispiel

Bilde die Stammfunktion der folgenden Funktion $ff$:

In diesem Kurs hast du gelernt, wie du Wurzelfunktionen vorbereiten kannst, um sie einfacher integrieren und ableiten zu können.

Hier ist ein Überblick über die Dinge, die du brauchst:

Wurzelterme umformen

Bevor du ableiten kannst, musst du die Wurzelfunktion zu einer Potenzfunktion mit rationalen Exponenten umformen.

Besonderes:

• $\sqrt[a]{x}\backslash sqrt[a]\; x$ wird zu $x^{\frac{1}{a}}x^\backslash frac\; 1\; a$,

• $\sqrt{x}\backslash sqrt\{x\}$ ist die Quadratwurzel und wird zu $x^{\frac{1}{2}}x^\backslash frac\; 1\; 2$.

Ableiten mit der Kettenregel

Hat man die Funktion umgeformt, so ist die Basis die innere Funktion $v(x)v(x)$ und der Exponent $\frac{b}{a}\backslash frac\; ba$ wird mit $u(x)=x^{\frac{b}{a}}u(x)=x^\backslash frac\; ba$ die äußere Funktion. Nachdem du $u^{\mathrm{\prime }}u\text{'}$ und $v^{\mathrm{\prime }}v\text{'}$ gebildet hast, kannst du diese in die Kettenregel einsetzen.

Stammfunktion bilden

Möchte man, nachdem man die Wurzelfunktion umgeformt hat, die Stammfunktion bilden, verwendet man folgende Regel:

Übrigens: Einen ähnlichen Kurs gibt es auch zum Ableiten von Bruchtermen.