12Zusatzwissen: Stammfunktionen von Wurzelfunktionen

Die Tipps zur Umformung von Wurzelfunktionen sind auch für das Bilden der Stammfunktionen essentiell!

Damit du die Stammfunktion bilden kannst, solltest du zuerst zu einer Potenzfunktion mit rationalen Exponenten umformen und danach folgende Regel befolgen:

$f(x)= x^\frac b a \rightarrow F(x)= \frac 1 {1+\frac b a}\cdot x^{\frac b a +1}+C$ , $\qquad C\in \mathbb{R}$

Beispiel

Bilde die Stammfunktion der folgenden Funktion $f$ :

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$
	↓	Forme mit dem Potenzgesetz für rationalen Exponenten um.
	$=$	$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$
	↓	Verwende die oben beschriebene Regel zum Bilden der Stammfunktion.
$\displaystyle F(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1+\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}+1}+C$
	↓	Addiere im Exponenten und im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{5}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}}+C$
	↓	Dividieren durch einen Bruch = Multiplizieren mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{5}{3}}+C$
	↓	Verwende das Potenzgesetz für rationale Exponenten, um wieder zu einer Wurzel umzuformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+C$

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