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32Abstände zwischen Geraden und Ebenen

Gerade parallel zur Ebene

Der Abstand einer zur Ebene EE (echt) parallelen Geraden gg wird mit zwei verschiedenen Methoden berechnet.

1. Lösung mit Hessescher Normalenform

2. Lösung mit einer Hilfsgeraden

Der Abstand dd zwischen Objekten im dreidimensionalen Raum ist definiert als die kürzeste Entfernung zwischen diesen Objekten.

Betrachtet man eine Gerade gg und eine Ebene EE, dann gibt es 33 Lagebeziehungen dieser Objekte zueinander, verbunden mit entsprechenden gegenseitigen Abständen:

  • gEg\in E, die Gerade liegt in der Ebene, d(g,E)=0 d(g,E)=0

  • gE=Sg\cap E=S, die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt SS, d(g,E)=0d(g,E)=0

  • gEg\parallel E, die Gerade ist (echt) parallel zu EE, dann ist der Abstand ungleich 00.

Für den letzten Fall wird die Abstandberechnung durchgeführt.

Vorgehensweise

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform E:  ax1+bx2+cx3d=0E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0 und eine zu EE parallele Gerade g:X=OP+rug:\vec{X}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u}. Berechne den Abstand der Geraden gg von der Ebene E.E.

1. Lösung mit Hessescher Normalenform

Abstand mit Hesse

1. Erstelle von der Ebene EE die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit 1n=1a2+b2+c2\dfrac{1}{|\vec n|}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} multiplizierst.

EHNF:  ax1+bx2+cx3da2+b2+c2=0E_{HNF}:\;\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0

Der Abstand der Geraden zur Ebene kann durch den Abstand eines Punktes von der Geraden zur Ebene bestimmt werden. Dabei reicht ein beliebiger Punkt der Geraden zur Abstandbestimmung aus, da alle Geradenpunkte den gleichen Abstand zur Ebene haben. Wähle z.B. den Aufpunkt PP der Geraden.

2. Setze P(p1p2p3)P(p_1|p_2|p_3) in EHNFE_{HNF} ein:

d(P,E)=ap1+bp2+cp3da2+b2+c2d(P,E)=\left|\dfrac{a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|

Der Abstand der Geraden gg zur Ebene EE ist gleich d(P,E)d(P,E).

Beispiel

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform E:  2x1+2x2+x38=0E:\;2x_1+2x_2+x_3-8=0 und eine zu EE parallele Gerade g:X=(141)+r(102)g:\vec{X}=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}.

Berechne den Abstand der Geraden gg von der Ebene E.E.

Lösung

Erstelle von der Ebene EE die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit 1n\dfrac{1}{|\vec n|} multiplizierst.

Der Normalenvektor der Ebene ist n=(221)\vec n=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}und sein Betrag ist:

n=22+22+12=9=3|\vec n|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3

Die Ebenengleichung muss also mit 13\frac{1}{3} multipliziert werden.

EHNF:  2x+2y+z83=0E_{HNF}:\;\dfrac{2x+2y+z-8}{3}=0

Berechne den Abstand der Geraden gg von der Ebene EE, indem du den Aufpunkt der Geraden P(141)P(1|4|1) in EHNFE_{HNF} einsetzt:

d(P,E)=21+24+1183=33=1d(P,E)=\Big\vert\dfrac{2\cdot 1+2\cdot 4+1\cdot 1-8}{3}\Big\vert=\Big\vert\dfrac{3}{3}\Big\vert=1

Antwort: Der Abstand der Geraden gg zur Ebene EE beträgt 1  LE1 \;\text{LE}.

2. Lösung mit einer Hilfsgeraden

Abstandsberechnung mit einer Hilfsgeraden

1. Stelle eine Hilfsgerade hh auf, die durch den Aufpunkt PP der Geraden gg verläuft und die orthogonal zur Ebene EE liegt. Der Normalenvektor der Ebene EE ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade  hh.

h:X=OP+rnh:\vec X=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec n

2. Schneide die Hilfsgerade hh mit der Ebene EE. Setze dazu die Geradengleichung hh in die gegebene Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter rr auf.

3. Multipliziere den berechneten Parameter rr mit dem Normalenvektor n\vec n.

4. Berechne den Betrag des Vektors rnr\cdot \vec n.

Der Abstand der Geraden gg zur Ebene EE ist: d(g,E)=rnd(g,E)=|r\cdot \vec n|.

Beispiel

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform E:  2x1+2x2+x38=0E:\;2x_1+2x_2+x_3-8=0 und eine zu EE parallele Gerade g:X=(141)+r(102)g:\vec{X}=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}.

Berechne den Abstand der Geraden gg von der Ebene E.E.

Lösung

Stelle eine Hilfsgerade hh auf, die durch den Aufpunkt PP der Geraden gg verläuft und die orthogonal zur Ebene EE liegt. Der Normalenvektor n=(221)\vec n= \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} der Ebene EE ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  hh.

h:X=OP+rn=(141)+r(221)h:\vec X=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec n=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 1\end{pmatrix}

Schneide die Hilfsgerade hh mit der Ebene EE. Setze dazu die Geradengleichung hh in die gegebene Ebenengleichung ein:

2x1+2x2+x38\displaystyle 2x_1+2x_2+x_3-8==0\displaystyle 0

Setze hh in EE ein.

2(1+2r)+2(4+2r)+1(1+r)8\displaystyle 2\cdot (1+2r)+2\cdot(4+2r)+1\cdot(1+r)-8==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf und fasse zusammen.

2+4r+8+4r+1+r8\displaystyle 2+4r+8+4r+1+r-8==0\displaystyle 0
3+9r\displaystyle 3+9r==0\displaystyle 03\displaystyle -3
9r\displaystyle 9r==3\displaystyle -3:9\displaystyle :9
r\displaystyle r==39\displaystyle -\dfrac{3}{9}

Kürze.

r\displaystyle r==13\displaystyle -\dfrac{1}{3}

Multipliziere den berechneten Parameter r=13r=-\frac{1}{3} mit dem Normalenvektor n=(221)\vec n= \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}und berechne den Betrag des Vektors rnr\cdot \vec n.

d(g,E)=(13)(221)=13(221)=1322+22+1=133=1d(g,E)=\Big\vert(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\Big\vert=\Big\vert-\frac{1}{3}\Big\vert \, \left|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{3} \sqrt{2^2+2^2+1}=\frac{1}{3}\cdot 3=1

Antwort: Der Abstand der Geraden gg zur Ebene EE beträgt 1  LE1 \;\text{LE}.


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