Aufgaben zur Quotientenregel

Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Ableitungen und die Quotientenregel.

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.

Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.

Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.

$f(z)=-2\cdot z^4\cdot z$

$\phantom{g(x)}=-2z^5$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor $-2$ bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(z)& =-2\cdot 5\cdot z^4\\ & \\ & =-10z^4\end{array}$

Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem $z^4$ verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.

$f^{\prime }(z)=-2\cdot 4\cdot z^3\cdot z+(-2)\cdot z^4\cdot 1$

Fasse den Term weiter zusammen.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=-8z^4-2z^4$

$\phantom{g^{\prime }(x)}=-10z^4$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $f^{\prime }(z)=-10z^4$ ist.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$g^{\prime }(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3}=-16\cdot t^{-3}$

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.

$g(t)=8\cdot t^{-2}={\displaystyle \frac{8}{t^2}}$

Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.

$g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{t^2\cdot 0-2\cdot t\cdot 8}{t^4}}$

Vereinfache nun den Zähler noch weiter.

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{-16t}{t^4}}$

Kürze den Zähler und Nenner mit $t$.

$$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle -\frac{16}{t^3}}$$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $g^{\prime }(t)=-\frac{16}{t^3}=-16\cdot t^{-3}$ ist.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit $x^2$.

$\begin{array}{rcl}h(u)& =& \frac{u^2}{u^3}+1-\frac{1}{u}\\ & =& \frac{1}{u}+1-\frac{1}{u}\\ & =& 1\end{array}$

Vereinfache den Term noch weiter.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h^{\prime }(u)=0$

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.

$h^{\prime }(u)={\displaystyle \frac{u^3\cdot 2\cdot u-u^2\cdot 3\cdot u^2}{u^6}}+0-{\displaystyle \frac{u\cdot 0-1\cdot 1}{u^2}}$

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2u^4-3u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}$

Fasse die Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{f^{\prime }(x)}=-{\displaystyle \frac{u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}$

Kürze den ersten Bruch mit $u^4$.

$\phantom{f^{\prime }(x)}=-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}=0$

Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich $0$ (Nullfunktion).

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.

Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.

$$k(x)={\displaystyle \frac{4x^2-1}{2x-1}}$$

$\phantom{i(x)}$$\phantom{f(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (2x+1)}{2x-1}}$

Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term $2x-1$ kürzen.

$\phantom{f(x)}=2x+1$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$k^{\prime }(x)=2$

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:

$k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}$

Multipliziere die $2$ mit der $4$.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 8x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}$

Multipliziere die $8x$ und $2$ jeweils in die Klammern.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-(8x^2-2)}{(2x-1{)}^2}}$

Löse die Klammer auf.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-8x^2+2}{(2x-1{)}^2}}$

Fasse $16x^2$ und $-8x^2$ weiter zusammen.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{8x^2-8x+2}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}$

Klammere im Zähler eine $2$ aus.

Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.

Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die $2$ vollständig kürzen.

$k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (2x-1{)}^2}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}=2\cdot 1$

$\phantom{i^{\prime }(x)}=2$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $k^{\prime }(x)=2$ ist.

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Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.

$l^{\prime }(v)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(v)}}\cdot \sin (v)+\tan (v)\cdot \cos (v)-\sin (v)$

Multipliziere $\sin (v)$ in den Zähler des Bruchs und forme $\tan (v)$ um.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}+{\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \cos (v)-\sin (v)$

Kürze $\cos (v)$ und schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$ als $\tan (v)$.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}+\sin (v)-\sin (v)$

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$

Verrechne beide $\sin (v)$.

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.

$l(v)=\tan (v)\cdot \sin (v)+\cos (v)$

Schreibe $\tan (v)$ als ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \sin (v)+\cos (v)$

Multipliziere $\sin (v)$ in den Zähler des Bruchs.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+\cos (v)$

Bringe $\cos (v)$ auf den selben Nenner.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}$

Addiere beide Brüche.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)+{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}$

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{1}{\cos (v)}}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

$l^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\cos (v)\cdot 0-(-\sin (v))\cdot 1}{{\cos }^2(v)}}$

Fasse den Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}$

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$

Schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$ als $\tan (v)$.

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $l^{\prime }(v)={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$ ist.

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von $f(x)$ zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{x\cdot 0-1\cdot 1}{x^2}\\ & =-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-1\cdot x^{-2}\\ & =-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis $-x^{-2}$ bzw. $-\frac{1}{x^2}$.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von $g(x)$ bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

$g^{\prime }(x)=(\sqrt{2x+1}{)}^{\prime }$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=((2x+1{)}^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$

Leite mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ab.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2$

Kürze mit 2.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Die gesuchte Funktion ist also $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu erhalten, musst du $g(x)$ in $f(x)$ einsetzen.

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x+1})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Die andere Komposition der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ erhältst du, wenn du $f(x)$ in $g(x)$ einsetzt.

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=\sqrt{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}+1}$

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\ne \sqrt{2\cdot \frac{1}{x}+1}$.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Tipp: Nutze für $f(g(x))$ zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für $g(f(x))$ erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ und dabei die Kettenregel auf $\sqrt{2x+1}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$f(g(x){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+1}\cdot 0-1\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2}{2x+1}}$

Vereinfache nun den Zähler.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}}{2x+1}}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $(2x+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1)(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}$

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1{)}^{1+\frac{1}{2}}}}$

Addiere $1$ und $\frac{1}{2}$ im Exponenten.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf $\sqrt{\frac{2}{x}+1}$ und dabei die Quotientenregel auf $\frac{2}{x}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$g(f(x){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{x^2}})$

Kürze die $2$.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{(\frac{2}{x}+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind $g(f(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$ und $f(g(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von $f(g(x))$ zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

$f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Setze $f^{\prime }(x)$ und $g^{\prime }(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(g(x){)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Setze $g(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2x+1}{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1)\cdot \sqrt{2x+1}}}$

Verwende die Potenzgesetze.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Teil 2

Um die Ableitung von $g(f(x))$ zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

$g(f(x){)}^{\prime }=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$

Setze $g^{\prime }(x)$ und $f^{\prime }(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\cdot f(x)+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Setze $f(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$

Die gesuchten Funktionen sind also $g(f(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$ und $f(g(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(x+\sqrt{2}{)}^2\cdot (-3x^2)-(4-x^3)\cdot 2\cdot (x+\sqrt{2})}{{\left[{(x+\sqrt{2})}^2\right]}^2}}$$

$$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{-3x^2\cdot (x+\sqrt{2}{)}^2-2\cdot (4-x^3)\cdot (x+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2}{)}^4}}$$

$$\phantom{f^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{-3x^2\cdot (x+\sqrt{2})-2\cdot (4-x^3)}{(x+\sqrt{2}{)}^3}}$$

$$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{-x^3-3\sqrt{2}{x}^2-8}{(x+\sqrt{2}{)}^3}}$$

Vergleichst du die Lösung mit der Aufgabe oben, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Bei der Anwendung der Quotientenregel hat Mathematicus das Quadrieren des Nenners vergessen, weshalb seine Lösung fehlerhaft ist.

Tipp: Achte auf die Vorzeichen!

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(\cos (x)-\sin (x))\cos (x)-(-\sin (x))(\sin (x)+\cos (x))}{(\cos (x){)}^2}}$$

$$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{(\cos (x)-\sin (x))\cos (x)+\sin (x)(\sin (x)+\cos (x))}{(\cos (x){)}^2}}$$

Multipliziere den Zähler aus und vereinfache.

$$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{(\cos (x){)}^2+(\sin (x){)}^2}{(\cos (x){)}^2}}$$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

$$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{(\cos (x){)}^2}}$$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Der Fehler hat sich bei Mimi bei der Ableitung des Kosinus eingeschlichen, indem sie das Minus vergessen hat. Im richtigen Lösungsweg siehst du, dass das Minus aus der Anwendung der Quotientenregel und das Minus von der Ableitung des Kosinus zu einem Plus zusammengefasst werden.

Wende die Quotientenregel und die Kettenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$${\displaystyle h^{\prime }(x)=\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^4-2x\cdot 4\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^3\cdot \frac{1}{4}}{((\frac{1}{4}x-7{)}^4{)}^2}}$$

$$\phantom{h^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^4-2x\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^3}{(\frac{1}{4}x-7{)}^8}}$$

$$\phantom{h^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7)-2x}{(\frac{1}{4}x-7{)}^5}}$$

$$\phantom{h^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{-\mathrm{1,5}x-14}{(\frac{1}{4}x-7{)}^5}}$$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Bei der Anwendung der Kettenregel hat Einstein das Nachdifferenzieren bei der Ableitung des Nenners vergessen. Berücksichtigt man dies, so erhält man durch das Nachdifferenzieren im Zähler den Faktor $\frac{1}{4}$.

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$${\displaystyle k(x)=\frac{x^2+9}{3x^3-5x}}$$

$${\displaystyle k^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot (3x^3-5x)-(x^2+9)\cdot (9x^2-5)}{(3x^3-5x{)}^2}}$$

$$\phantom{k^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{6x^4-10x^2-9x^4+5x^2-81x^2+45}{(3x^3-5x{)}^2}}$$

$$\phantom{k^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{-3x^4-86x^2+45}{(3x^3-5x{)}^2}}$$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Prof. Hut hat bei der Verwendung der Quotientenregel nicht NAZ-ZAN, sondern ZAN-NAZ angewandt.

Zusatz: Betrachtet man die beiden Endresultate, so fällt auf, dass diese sich im Zähler in den Vorzeichen unterscheiden.

Merkregel: In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$${\displaystyle l^{\prime }(x)=\frac{4x\cdot (8x-2)-8\cdot (2x^2-8)}{(8x-2{)}^2}}$$

$$\phantom{l^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{32x^2-8x-16x^2+64}{(8x-2{)}^2}}$$

$$\phantom{l^{\prime }(x)}{\displaystyle =\frac{16x^2-8x+64}{(8x-2{)}^2}}$$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Fiffi hat in ihrer Lösung aus einer Differenz gekürzt und somit die Merkregel nicht beachtet.

Denke an die Quotientenregel und versuche mit ihrer Hilfe auf die richtige Lösung zu kommen. Der Nenner von $${\displaystyle f(x)}$$ wird hier mit $${\displaystyle v(x)}$$ und der Zähler mit $${\displaystyle u(x)}$$ bezeichnet.

$${\displaystyle f(x)=\frac{2}{3x}=\frac{u(x)}{v(x)}}$$

Hier:

Ursprungsfunktion:

$${\displaystyle f\phantom{{}^{\prime }}(x)=\frac{2}{3x}}$$

Nenner der Ursprungfunktion:

$${\displaystyle v\phantom{{}^{\prime }}(x)=3x}$$

Zähler der Ursprungsfunktion:

$${\displaystyle u\phantom{{}^{\prime }}(x)=2}$$

Ableitung des Nenners:

$${\displaystyle v^{\prime }(x)=3}$$

Ableitung des Zählers:

$${\displaystyle u^{\prime }(x)=0}$$

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

$${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(v)v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}}$$

$${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot 3x-3\cdot 2}{(3x{)}^2}}$$

$$\phantom{f^{\prime }(x)}{\displaystyle =-\frac{6}{9x^2}}$$

$$\phantom{f^{\prime }(x)}{\displaystyle =-\frac{2}{3x^2}}$$

• Vergleichst du die Lösung mit den Antwortmöglichkeiten, so siehst du, dass $${\displaystyle f\text{′}(x)=-\frac{2}{3}{x}^2}$$ nicht stimmen kann, da $x^2$ im Zähler steht anstatt im Nenner.

• Du siehst auch, dass die Ableitungsfunktion $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{2}{3x^2}}$$ die falsche Lösung ist. Das Minus, das du durch die Anwendung der Quotientenregel erhältst, fehlt hier.

• Betrachtest du die Potenzgesetze mit negativen Exponenten näher, so fällt dir auf, dass du das $${\displaystyle x^2}$$ der Lösung $${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{2}{3x^2}}$$ in den Zähler ziehen kannst. Dazu kannst du das $${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$ auch als $${\displaystyle x^{-2}}$$ schreiben. Also ist $${\displaystyle f^{\prime }=-\frac{2}{3}{x}^{-2}}$$ ebenso eine Lösung.

Die richtigen Antworten sind:

Die falschen Antworten sind:

Berechnung mit der Quotientenregel

Wende die Quotientenregel und passende Umformungen an, um auf die richtigen Lösungen zu kommen. Der Nenner von $g(x)$ wird mit $v(x)$ und der Zähler mit $u(x)$ bezeichnet.

$${\displaystyle g(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{u(x)}{v(x)}}$$

Hier:

Ursprungsfunktion:

Zähler der Ursprungsfunktion:

Nenner der Ursprungsfunktion:

Ableitung des Zählers:

Ableitung des Nenners:

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

Vereinfache den Zähler.

Vereinfache den Zähler weiter.

Die Lösung $g^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ erhältst du also direkt mit der Quotientenregel.

Überprüfung der übrigen Antwortmöglichkeiten

Um zu überprüfen, ob auch noch andere Antwortmöglichkeiten richtig sind, musst du nun versuchen, dein Ergebnis so umzuformen, dass es mit den anderen Antwortmöglichkeiten übereinstimmt.

Im Nenner steht die erste binomische Formel:

Somit erhältst du nun auch die Lösung $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$.

Wende nun auf dein Ergebnis der Quotientenregel das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an:

Du erhältst also eine dritte richtige Lösung: $g^{\prime }(x)=(x+1{)}^{-2}$.

Überprüfe nun, ob auch die letzte Antwortmöglichkeit $g^{\prime }(x)=\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$ richtig ist.

Im Nenner wurde wieder die erste binomische Formel angewandt. Nun musst du noch die Zähler vergleichen.

Die Zähler unterscheiden sich und auch durch Umformen kommst du nicht von $1$ auf $2x+1$. Somit ist die Antwortmöglichkeit $g^{\prime }(x)=\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$ falsch. (Falls du auf diese Lösung kommst, solltest du dir die Quotientenregel nochmal genau anschauen, denn dann hast du wahrscheinlich fälschlicherweise im Zähler addiert statt subtrahiert.)

Zusammenfassung

Die richtigen Lösungen sind:

Die falsche Antwort ist:

Denke an die Quotientenregel und versuche mit dem Ausschlussprinzip auf die richtige Lösung zu kommen. Der Zähler von $h(x)$ wird mit $u(x)$ und den Nenner von $h(x)$ wird mit $v(x)$ bezeichnet.

Betrachte den Nenner in der Quotientenregel: