Aufgaben zur Quotientenregel

Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Ableitungen und die Quotientenregel.

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.

Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.

Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.

$f(z)=-2\cdot z^4\cdot zf(z)=-2\backslash cdot\; z^4\backslash cdot\; z$

$\phantom{g(x)}=-2z^5\backslash phantom\{g(x)\}=-2\; z^5$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor $-2-2$ bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.

Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem $z^{4}z^4$ verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.

$f^{\mathrm{\prime }}(z)=-2\cdot 4\cdot z^3\cdot z+(-2)\cdot z^4\cdot 1f\text{'}(z)=-2\backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; z^3\; \backslash cdot\; z+(-2)\; \backslash cdot\; z^4\; \backslash cdot\; 1$

Fasse den Term weiter zusammen.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=-8z^4-2z^4\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=-8\; z^4-2\; z^4$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=-10z^4\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=-10z^4$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $f^{\mathrm{\prime }}(z)=-10z^{4}f\text{'}(z)=-10z^4$ ist.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3}=-16\cdot t^{-3}g\text{'}(t)=8\backslash cdot\; (-2)\backslash cdot\; t^\{-3\}\; =\; -16\; \backslash cdot\; t^\{-3\}$

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.

$g(t)=8\cdot t^{-2}={\displaystyle \frac{8}{t^2}}g(t)=8\backslash cdot\; t^\{-2\}=\backslash dfrac\{8\}\{t^2\}$

Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.

$g^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{t^2\cdot 0-2\cdot t\cdot 8}{t^4}}g\text{'}(t)=\backslash dfrac\{t^2\; \backslash cdot\; 0-2\; \backslash cdot\; t\; \backslash cdot\; 8\}\{t^4\}$

Vereinfache nun den Zähler noch weiter.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{-16t}{t^4}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\; \backslash dfrac\{-16\; t\}\{t^4\}$

Kürze den Zähler und Nenner mit $tt$.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle -\frac{16}{t^3}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\; -\backslash frac\{16\}\{t^3\}$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $g^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{16}{t^3}=-16\cdot t^{-3}g\text{'}(t)=-\backslash frac\{16\}\{t^3\}\; =\; -16\; \backslash cdot\; t^\{-3\}$ ist.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit $x^{2}x^2$.

Vereinfache den Term noch weiter.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h^{\mathrm{\prime }}(u)=0h\text{'}(u)=0$

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.

$h^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{u^3\cdot 2\cdot u-u^2\cdot 3\cdot u^2}{u^6}}+0-{\displaystyle \frac{u\cdot 0-1\cdot 1}{u^2}}h\text{'}(u)=\backslash dfrac\{u^3\backslash cdot2\backslash cdot\; u-u^2\backslash cdot3\backslash cdot\; u^2\}\{u^6\}+0-\backslash dfrac\{u\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; \backslash cdot\; 1\}\{u^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2u^4-3u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\; u^4-3\; u^4\}\{u^6\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}$

Fasse die Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}=-{\displaystyle \frac{u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=-\backslash dfrac\{u^4\}\{u^6\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}$

Kürze den ersten Bruch mit $u^{4}u^4$.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}=-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}=0\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=-\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}=0$

Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich $00$ (Nullfunktion).

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.

Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.

$k(x)={\displaystyle \frac{4x^2-1}{2x-1}}k(x)=\backslash displaystyle\backslash frac\{4x^2-1\}\{2x-1\}\backslash \backslash$

$\phantom{i(x)}\backslash phantom\{i(x)\}$$\phantom{f(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (2x+1)}{2x-1}}\backslash phantom\{f(x)\}=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot(2x+1)\}\{2x-1\}$

Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term $2x-1\{2x-1\}$ kürzen.

$\phantom{f(x)}=2x+1\backslash phantom\{f(x)\}=2x+1$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$k^{\mathrm{\prime }}(x)=2k\text{'}(x)=2$

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:

$k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}k\text{'}(x)=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; x-2\backslash cdot(4x^2-1)\}\{(2x-1)^2\}$

Multipliziere die $22$ mit der $44$.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 8x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot\; 8\; x-2\backslash cdot(4x^2-1)\}\{(2x-1)^2\}$

Multipliziere die $8x8x$ und $22$ jeweils in die Klammern.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-(8x^2-2)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{16\; x^2-8\; x\backslash color\{green\}-(8x^2-2)\}\{(2x-1)^2\}$

Löse die Klammer auf.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-8x^2+2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{16\; x^2-8\; x-8x^2+2\}\{(2x-1)^2\}$

Fasse $16x^{2}16\; x^2$ und $-8x^2-8x^2$ weiter zusammen.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{8x^2-8x+2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{8\; x^2-8\; x+2\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (4\; x^2-4\; x+1)\}\{(2x-1)^2\}$

Klammere im Zähler eine $22$ aus.

Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.

Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die $22$ vollständig kürzen.

$k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}k\text{'}(x)=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (4\; x^2-4\; x+1)\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (2x-1{)}^2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (2x-1)^2\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}=2\cdot 1\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=2\backslash cdot\; 1$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}=2\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=2$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $k^{\mathrm{\prime }}(x)=2k\text{'}(x)=2$ ist.

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.

$l^{\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(v)}}\cdot \sin (v)+\tan (v)\cdot \cos (v)-\sin (v)l\text{'}(v)=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos^2(v)\}\backslash cdot\backslash sin(v)+\backslash tan(v)\backslash cdot\backslash cos(v)-\backslash sin(v)$

Multipliziere $\sin (v)\backslash sin(v)$ in den Zähler des Bruchs und forme $\tan (v)\backslash tan(v)$ um.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}+{\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \cos (v)-\sin (v)\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos^2(v)\}+\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}\backslash cdot\backslash cos(v)-\backslash sin(v)$

Kürze $\cos (v)\backslash cos(v)$ und schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ als $\tan (v)\backslash tan(v)$.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}+\sin (v)-\sin (v)\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash sin(v)-\backslash sin(v)$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Verrechne beide $\sin (v)\backslash sin(v)$.

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.

$l(v)=\tan (v)\cdot \sin (v)+\cos (v)l(v)=\backslash tan(v)\backslash cdot\; \backslash sin(v)+\backslash cos(v)$

Schreibe $\tan (v)\backslash tan(v)$ als ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \sin (v)+\cos (v)\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}\backslash cdot\; \backslash sin(v)+\backslash cos(v)$

Multipliziere $\sin (v)\backslash sin(v)$ in den Zähler des Bruchs.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+\cos (v)\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash cos(v)$

Bringe $\cos (v)\backslash cos(v)$ auf den selben Nenner.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash dfrac\{\backslash cos^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Addiere beide Brüche.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)+{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)+\backslash cos^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{1}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos(v)\}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

$l^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\cos (v)\cdot 0-(-\sin (v))\cdot 1}{{\cos }^2(v)}}l\text{'}(x)=\backslash dfrac\{\backslash cos(v)\backslash cdot0-(-\backslash sin(v))\backslash cdot1\}\{\backslash cos^2(v)\}$

Fasse den Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos^2(v)\}$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ als $\tan (v)\backslash tan(v)$.

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $l^{\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}l\text{'}(v)=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ ist.

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von $f(x)f(x)$ zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}=x^\{-1\}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis $-x^{-2}-x^\{-2\}$ bzw. $-\frac{1}{x^2}-\backslash frac\{1\}\{x^2\}$.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von $g(x)g(x)$ bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(\sqrt{2x+1}{)}^{\mathrm{\prime }}g\text{'}(x)\; =\; (\backslash sqrt\{2x+1\})\text{'}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=((2x+1{)}^{\frac{1}{2}}{)}^{\mathrm{\prime }}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}\; =\; ((2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\})\text{'}$

Leite mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ab.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; (2x+1)^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; \backslash cdot\; 2$

Kürze mit 2.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=(2x+1)^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Die gesuchte Funktion ist also $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$.

Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$ zu erhalten, musst du $g(x)g(x)$ in $f(x)f(x)$ einsetzen.

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x+1})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}(f\; \backslash circ\; g)(x)\; =\; f(g(x))\; =\; f(\backslash sqrt\{2\; x+1\})\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Die andere Komposition der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$ erhältst du, wenn du $f(x)f(x)$ in $g(x)g(x)$ einsetzt.

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=\sqrt{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}+1}(g\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; g(f(x))\; =\; g\backslash left(\backslash dfrac\{1\}x\; \backslash right)\; =\; \backslash sqrt\{2\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}+1\}$

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\mathrm{\ne }\sqrt{2\cdot \frac{1}{x}+1}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{x\}+1\}$.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Tipp: Nutze für $f(g(x))f(g(x))$ zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für $g(f(x))g(f(x))$ erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$ und dabei die Kettenregel auf $\sqrt{2x+1}\backslash sqrt\{2x+1\}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+1}\cdot 0-1\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2}{2x+1}}f(g(x))\text{'}=\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\{2x+1\}\backslash cdot0-1\backslash cdot\backslash frac12\backslash cdot\; (2x+1)^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot2\}\{2x+1\}$

Vereinfache nun den Zähler.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}}{2x+1}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-(2x+1)^\{-\backslash frac12\}\}\{2x+1\}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $(2x+1)(2x+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1)(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-1\}\{(2x+1)(2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1{)}^{1+\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-1\}\{(2x+1)^\{1+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Addiere $11$ und $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ im Exponenten.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf $\sqrt{\frac{2}{x}+1}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}$ und dabei die Quotientenregel auf $\frac{2}{x}\backslash frac\{2\}\{x\}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{x^2}})g(f(x))\text{'}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)^\{-\backslash frac12\}\; \backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}\}\{x^2\}\backslash right)$

Kürze die $2\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}$.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)^\{-\backslash frac12\}\; \backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)\backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{(\frac{2}{x}+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash dfrac1\{(\backslash frac\{2\}\{x\}+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash dfrac1\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind $g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}g(f(x))\text{'}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$ und $f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}f(g(x))\text{'}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von $f(g(x))f(g(x))$ zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

$f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)f(g(x))\text{'}=\; f\text{'}(g(x))\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)$

Setze $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(g(x){)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(g(x))^2\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Setze $g(x)g(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2x+1}{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(\backslash sqrt\{2x+1\})^2\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1)\cdot \sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Verwende die Potenzgesetze.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Teil 2

Um die Ableitung von $g(f(x))g(f(x))$ zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

$g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}(f(x))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(x)g(f(x))\text{'}\; =\; g\text{'}(f(x))\; \backslash cdot\; f\text{'}(x)$

Setze $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$ und $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\cdot f(x)+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash cdot\; f(x)+1\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\; \backslash right)$

Setze $f(x)f(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\; \backslash right)$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$

Die gesuchten Funktionen sind also $g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}g(f(x))\text{'}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$ und $f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}f(g(x))\text{'}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x+\sqrt{2}{)}^2\cdot (-3x^2)-(4-x^3)\cdot 2\cdot (x+\sqrt{2})}{{\left[{(x+\sqrt{2})}^2\right]}^2}}\backslash \; f\text{'}(x)=\; \backslash displaystyle\backslash frac\{(x+\backslash sqrt2)^2\backslash cdot(-3x^2)-(4-x^3)\backslash cdot2\backslash cdot(x+\backslash sqrt2)\}\{\backslash left[\backslash left(x+\backslash sqrt2\backslash right)^2\backslash right]^2\}\backslash \backslash$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{-3x^2\cdot (x+\sqrt{2}{)}^2-2\cdot (4-x^3)\cdot (x+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2}{)}^4}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{-3x^2\backslash cdot(x+\backslash sqrt2)^2-2\backslash cdot(4-x^3)\backslash cdot(x+\backslash sqrt2)\}\{(x+\backslash sqrt2)^\{\backslash color\{\#cc0000\}\{4\}\}\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{-3x^2\cdot (x+\sqrt{2})-2\cdot (4-x^3)}{(x+\sqrt{2}{)}^3}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\backslash displaystyle\; =\backslash frac\{-3x^2\backslash cdot\; (x+\backslash sqrt\{2\})-2\backslash cdot\; (4-x^3)\}\{(x+\backslash sqrt\{2\})^3\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{-x^3-3\sqrt{2}{x}^2-8}{(x+\sqrt{2}{)}^3}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\; =\; \backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{-x^3-3\backslash sqrt\{2\}x^2-8\}\{(x+\backslash sqrt\{2\})^3\}$

Vergleichst du die Lösung mit der Aufgabe oben, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Bei der Anwendung der Quotientenregel hat Mathematicus das Quadrieren des Nenners vergessen, weshalb seine Lösung fehlerhaft ist.

Tipp: Achte auf die Vorzeichen!

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(\cos (x)-\sin (x))\cos (x)-(-\sin (x))(\sin (x)+\cos (x))}{(\cos (x){)}^2}}\backslash \; g\text{'}(x)=\; \backslash displaystyle\backslash frac\{(\backslash cos(x)-\backslash sin(x))\backslash cos(x)\backslash color\{\#cc0000\}\{-\}(\backslash color\{\#cc0000\}\{-\}\backslash sin(x))(\backslash sin(x)+\backslash cos(x))\}\{(\backslash cos(x))^2\}$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{(\cos (x)-\sin (x))\cos (x)+\sin (x)(\sin (x)+\cos (x))}{(\cos (x){)}^2}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{(\backslash cos(x)-\backslash sin(x))\backslash cos(x)\backslash color\{\#cc0000\}\{+\}\backslash sin(x)(\backslash sin(x)+\backslash cos(x))\}\{(\backslash cos(x))^2\}$

Multipliziere den Zähler aus und vereinfache.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{(\cos (x){)}^2+(\sin (x){)}^2}{(\cos (x){)}^2}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{(\backslash cos(x))^2+(\backslash sin(x))^2\}\{(\backslash cos(x))^2\}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{(\cos (x){)}^2}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{1\}\{(\backslash cos(x))^2\}$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Der Fehler hat sich bei Mimi bei der Ableitung des Kosinus eingeschlichen, indem sie das Minus vergessen hat. Im richtigen Lösungsweg siehst du, dass das Minus aus der Anwendung der Quotientenregel und das Minus von der Ableitung des Kosinus zu einem Plus zusammengefasst werden.

Wende die Quotientenregel und die Kettenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

${\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^4-2x\cdot 4\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^3\cdot \frac{1}{4}}{((\frac{1}{4}x-7{)}^4{)}^2}}\backslash displaystyle\; h\text{'}(x)=\; \backslash frac\{2\backslash cdot\; (\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^4-2x\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; (\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^3\backslash cdot\; \backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}\}\{((\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^4)^2\}$

$\phantom{h^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^4-2x\cdot (\frac{1}{4}x-7{)}^3}{(\frac{1}{4}x-7{)}^8}}\backslash phantom\{h\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash cdot\; (\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^4-2x\; \backslash cdot\; (\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^3\}\{(\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^8\}$

$\phantom{h^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{2\cdot (\frac{1}{4}x-7)-2x}{(\frac{1}{4}x-7{)}^5}}\backslash phantom\{h\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash cdot\; (\backslash frac\; \{1\}\{4\}x-7)-2x\}\{(\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^5\}$

$\phantom{h^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{-\mathrm{1,5}x-14}{(\frac{1}{4}x-7{)}^5}}\backslash phantom\{h\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{-1\{,\}5x-14\}\{(\backslash frac\{1\}\{4\}x-7)^5\}$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Bei der Anwendung der Kettenregel hat Einstein das Nachdifferenzieren bei der Ableitung des Nenners vergessen. Berücksichtigt man dies, so erhält man durch das Nachdifferenzieren im Zähler den Faktor $\frac{1}{4}\backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$.

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

${\displaystyle k(x)=\frac{x^2+9}{3x^3-5x}}\backslash displaystyle\; k(x)=\; \backslash frac\{\backslash color\{\#cc0000\}\{x^2+9\}\}\{\backslash color\{\#006400\}\{3x^3-5x\}\}$

${\displaystyle k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x\cdot (3x^3-5x)-(x^2+9)\cdot (9x^2-5)}{(3x^3-5x{)}^2}}\backslash displaystyle\; k\text{'}(x)=\; \backslash frac\{\backslash color\{\#cc0000\}\{2x\}\backslash cdot\; \backslash color\{\#006400\}\{(3x^3-5x)\}-\backslash color\{\#cc0000\}\{(x^2+9)\; \backslash cdot\backslash color\{\#006400\}\{(9x^2-5)\}\}\}\{(3x^3-5x)^2\}$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{6x^4-10x^2-9x^4+5x^2-81x^2+45}{(3x^3-5x{)}^2}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{6x^4-10x^2-9x^4+5x^2-81x^2+45\}\{(3x^3-5x)^2\}$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{-3x^4-86x^2+45}{(3x^3-5x{)}^2}}\backslash phantom\; \{k\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{-3x^4-86x^2+45\}\{(3x^3-5x)^2\}$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Prof. Hut hat bei der Verwendung der Quotientenregel nicht NAZ-ZAN, sondern ZAN-NAZ angewandt.

Zusatz: Betrachtet man die beiden Endresultate, so fällt auf, dass diese sich im Zähler in den Vorzeichen unterscheiden.

Merkregel: In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Wende die Quotientenregel an, um den Lösungsweg überprüfen zu können.

${\displaystyle l^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x\cdot (8x-2)-8\cdot (2x^2-8)}{(8x-2{)}^2}}\backslash displaystyle\; l\text{'}(x)=\backslash frac\{4x\backslash cdot\; (8x-2)\backslash color\{\#cc0000\}\{-\}8\backslash cdot\; (2x^2-8)\}\{(8x-2)^2\}$

$\phantom{l^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{32x^2-8x-16x^2+64}{(8x-2{)}^2}}\backslash phantom\{l\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =\backslash frac\{32x^2-8x-16x^2+64\}\{(8x-2)^2\}$

$\phantom{l^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =\frac{16x^2-8x+64}{(8x-2{)}^2}}\backslash phantom\{l\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle=\backslash frac\{16x^2-8x+64\}\{(8x-2)^2\}$

Vergleichst du die beiden Lösungswege, so siehst du, dass die beiden Ergebnisse nicht übereinstimmen. Fiffi hat in ihrer Lösung aus einer Differenz gekürzt und somit die Merkregel nicht beachtet.

Denke an die Quotientenregel und versuche mit ihrer Hilfe auf die richtige Lösung zu kommen. Der Nenner von ${\displaystyle f(x)}\backslash displaystyle\; f(x)$ wird hier mit ${\displaystyle v(x)}\backslash displaystyle\; v(x)$ und der Zähler mit ${\displaystyle u(x)}\backslash displaystyle\; u(x)$ bezeichnet.

${\displaystyle f(x)=\frac{2}{3x}=\frac{u(x)}{v(x)}}\backslash displaystyle\; f(x)=\; \backslash frac\; \{2\}\{3x\}=\backslash frac\; \{u(x)\}\{v(x)\}$

Hier:

Ursprungsfunktion:

${\displaystyle f\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=\frac{2}{3x}}\backslash displaystyle\; f\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=\; \backslash frac\; \{2\}\{3x\}$

Nenner der Ursprungfunktion:

${\displaystyle v\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=3x}\backslash displaystyle\; v\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=3x$

Zähler der Ursprungsfunktion:

${\displaystyle u\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=2}\backslash displaystyle\; u\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=2$

Ableitung des Nenners:

${\displaystyle v^{\mathrm{\prime }}(x)=3}\backslash displaystyle\; v\text{'}(x)=3$

Ableitung des Zählers:

${\displaystyle u^{\mathrm{\prime }}(x)=0}\backslash displaystyle\; u\text{'}(x)=\; 0$

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)-u(v)v^{\mathrm{\prime }}(x)}{(v(x){)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\{u\text{'}(x)v(x)-u(v)v\text{'}(x)\}\{(v(x))^2\}$

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{0\cdot 3x-3\cdot 2}{(3x{)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\; \{0\; \backslash cdot\; 3x-3\; \backslash cdot\; 2\}\{(3x)^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =-\frac{6}{9x^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =-\backslash frac\{6\}\{9x^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =-\frac{2}{3x^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\backslash displaystyle=-\backslash frac\{2\}\{3x^2\}$

• Vergleichst du die Lösung mit den Antwortmöglichkeiten, so siehst du, dass ${\displaystyle f\text{′}(x)=-\frac{2}{3}{x}^2}\backslash displaystyle\; f\prime (x)=-\backslash frac\{2\}\{3\}x^2$ nicht stimmen kann, da $x^{2}x^2$ im Zähler steht anstatt im Nenner.

• Du siehst auch, dass die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3x^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\{2\}\{3x^2\}$ die falsche Lösung ist. Das Minus, das du durch die Anwendung der Quotientenregel erhältst, fehlt hier.

• Betrachtest du die Potenzgesetze mit negativen Exponenten näher, so fällt dir auf, dass du das ${\displaystyle x^2}\backslash displaystyle\; x^2$ der Lösung ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{3x^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; -\backslash frac\; \{2\}\{3x^2\}$ in den Zähler ziehen kannst. Dazu kannst du das ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{1\}\{x^2\}$ auch als ${\displaystyle x^{-2}}\backslash displaystyle\; x^\{-2\}$ schreiben. Also ist ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}=-\frac{2}{3}{x}^{-2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}=\; -\backslash frac\{2\}\{3\}x^\{-2\}$ ebenso eine Lösung.

Die richtigen Antworten sind:

Die falschen Antworten sind:

Berechnung mit der Quotientenregel

Wende die Quotientenregel und passende Umformungen an, um auf die richtigen Lösungen zu kommen. Der Nenner von $g(x)g(x)$ wird mit $v(x)v(x)$ und der Zähler mit $u(x)u(x)$ bezeichnet.

${\displaystyle g(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{u(x)}{v(x)}}\backslash displaystyle\; g(x)=\backslash frac\{x\}\{x+1\}=\backslash frac\{u(x)\}\{v(x)\}$

Hier:

Ursprungsfunktion:

Zähler der Ursprungsfunktion:

Nenner der Ursprungsfunktion:

Ableitung des Zählers:

Ableitung des Nenners:

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

Vereinfache den Zähler.

Vereinfache den Zähler weiter.

Die Lösung $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}g\text{'}(x)=\; \backslash frac\{1\}\{(x+1)^2\}$ erhältst du also direkt mit der Quotientenregel.

Überprüfung der übrigen Antwortmöglichkeiten

Um zu überprüfen, ob auch noch andere Antwortmöglichkeiten richtig sind, musst du nun versuchen, dein Ergebnis so umzuformen, dass es mit den anderen Antwortmöglichkeiten übereinstimmt.

Im Nenner steht die erste binomische Formel: