Ebenen – Abiturkurs Geometrie

Parameterform

Die Parameterform der Ebene E nutzt die bereits bekannte Form von Geraden aus und fügt einen weiteren Richtungsvektor hinzu. D.h. es gibt wieder einen Aufpunkt A und jetzt zwei Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ :

$E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\vec{A} + \lambda_1 \vec{u} + \lambda_2 \vec{v} = \vec{A} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Koordinatenform

Eine Ebene E lässt sich auch durch die Verwendung der Koordinaten des kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten $(x,y,z)$ die folgende Gleichung erfüllen:

\displaystyle ax+by+cz=d

Wobei a,b und c die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ sind.

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung entspricht genau: $\dfrac{|d|}{|\vec{n}|}$ .

Ist der Normalenvektor normiert, entspricht der Abstand genau |d|.

Normalenform

Wenn man eine Ebene in Normalenform angeben will, benötigt man einen Punkt der Ebene (Aufpunkt $A$ ) und einen zur Ebene senkrechten Vektor $\vec n$ (Normalenvektor).

Ein Punkt $X$ (Ortsvektor $\vec X$ ) liegt in dieser Ebene, wenn der Vektor $\overrightarrow{AX}$ senkrecht auf dem Normalenvektor $\vec n$ steht.

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AX}$ und $\vec n$ muss Null ergeben.

$E:\;\vec n \circ\overrightarrow{AX} =0$

bzw.

$E:\;\vec n \circ\left(\overrightarrow {OX}-\overrightarrow {OA} \right)=0$

Diese Gleichung heißt Normalenform der Ebene.

17Ebenen

Parameterform

Koordinatenform

Normalenform