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Abiturkurs Geometrie

6Lineare (Un)abhängigkeit (1/2)

Zwei Vektoren

Zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} nennt man linear abhängig, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist:

a=αb\vec{a} = \alpha \cdot \vec{b} oder b=βa\vec{b} = \beta \cdot \vec{a}

Ist das nicht der Fall, dann nennen wir die Vektoren linear unabhängig.

Bildlich kann man sich das so vorstellen:

Graphik linear abhängige Vektoren

Linear abhängig: Die Vektoren sind "parallel" (Sie müssen dafür nicht in die selbe Richtung zeigen, sondern können auch in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen!)

Bild linear unabhängiger Vektoren

Linear unabhängig: Die Vektoren sind "nicht parallel"

Beispiel 1

Geben sind folgende Vektoren:

a=(137)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} und b=(3921)\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}

Jetzt versuchen wir eine passende Zahl n zu finden, mit der wir a\vec{a} multiplizieren, damit b\vec{b} rauskommt.

n(137)=(3921)n \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}

Wenn wir die x-Koordinate von a\vec{a} mit 3 multiplizieren, erhalten wir die passende x-Koordinate von b\vec{b}.

Jetzt prüfen wir noch, ob dies auch für die yy- und zz-Koordinaten gilt:

yy-Koordinate: 33=93 \cdot 3 = 9

zz-Koordinate: 73=217 \cdot 3 = 21

Wir stellen fest: stimmt! Also sind die beiden Vektoren linear abhängig.

Beispiel 2

Gegeben sind folgende Vektoren:

a=(323)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} und b=(649)\vec{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix}

Wir versuchen wieder eine passende Zahl n zu finden, mit der a\vec{a} ein Vielfaches von b\vec{b} ist. Dafür gehen wir wieder Koordinatenweise vor:

Die x-Koordinate von a\vec{a} erhalten wir, indem wir die xx-Koordinate von b\vec{b} mit (12)(-\frac{1}{2}) multiplizieren.

Dies gilt auch für die yy-Koordinate: 4(12)=24\cdot(-\frac{1}{2})=-2

Dies gilt aber nicht für die zz-Koordinate: (9)(12)3(-9) \cdot (-\frac{1}{2}) \neq 3

Somit konnten wir keine passende Zahl finden und daher sind a\vec{a} und b\vec{b} linear unabhängig.


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