Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

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Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion $f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2$ berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).
Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:
Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

$f(x)=\frac{7x-3}{8x-5}$

$f(x)=\frac{x^3}{\left(x-1\right)^2}+7x$

$f(x)=\frac1{x(x-5)}$

Wie ändert sich der Wert des Terms $T\left(x\right)=1-\frac1x$ , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen

Um herauszufinden, wie sich der Wert von T(x) verändert für größer werdende x und für kleiner werdende x, kannst du in T(x) verschiedene Werte für x einsetzen.

Setze zum Beispiel für größer werdende x folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): 1; 10; 100; 1000

Setze zum Beispiel für kleiner werdende x erstmal folgende Zahlen ein und berechne den Termwert T(x): -1; -10; -100; -1000

größer werdende x

$x$	1	10	100	1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac11$	$1-\frac{1}{10}$	$1-\frac{1}{100}$	$1-\frac{1}{1000}$
	$=1-1\\=0$	$=\frac{10}{10}-\frac{1}{10}\\=\frac{9}{10}\\=0{,}9$	$=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}\\=\frac{99}{100}\\=0{,}99$	$=\frac{1000}{1000}-\frac{1}{1000}\\=\frac{999}{1000}\\=0{,}999$

Für immer größer werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow\infty$ ) wird der Wert $T(x)$ fast 1.

kleiner werdende x

$x$	-1	-10	-100	-1000
$T(x)\\=1-\frac 1x$	$1-\frac{1}{-1}$	$1-\frac{1}{-10}$	$1-\frac{1}{-100}$	$1-\frac{1}{-1000}$
	$=1+1\\=2$	$=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}\\=\frac{11}{10}\\=1{,}1$	$=\frac{100}{100}+\frac{1}{100}\\=\frac{101}{100}\\=1{,}01$	$=\frac{1000}{1000}+\frac{1}{1000}\\=\frac{1001}{1000}\\=1{,}001$

Für immer kleiner werdendes $x$ (man schreibt hierfür $x\rightarrow -\infty$ ) wird der Wert $T(x)$ fast 1.

Zusatz: Graph von $T(x)$

Der Term nähert sich also für immer kleiner werdende $x$ dem Wert $1$ an. Für immer größer werdende $x$ nähert sich $T(x)$ auch $1$ an.

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Gegeben ist der Term $T\left(a\right)=\frac3{1-a}$ .

Berechne T(4), T(–5) und $T\left(\frac12\right)$ .

Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfache gebrochenrationale Funktionen
$T(a)=\frac3{1-a}$
"a" muss sich immer weiter von a < 1 an 1 annähern, damit sich möglichst große Werte ergeben. Dadurch nähert der Nenner sich 0 an und lässt so den Termwert immer größer werden.
Antwort: Die Zahlen von "a" nähern sich auf dem Zahlenstrahl 1 an, sind aber immer kleiner 1.
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Gegeben ist der Bruchterm $T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$ .

Gib die Definitionsmenge des Terms $T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochenrationale Funktionen
Definitionsmenge bestimmen
$T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ $D_f=ℝ\backslash\left\{-2;\;0\right\}$
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Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

Berechne T(3).

Gegeben ist die Funktion $h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}$

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen $y=\frac{x-2}{1+x}$ und $y=-\frac12x+1$ .
Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$ .
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
Schnittpunkte von Funktionen
$\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$
Die Lösungsmenge der Gleichung repräsentiert die x-Werte, bei denen sich die Funktionen schneiden.
$L=\left\{-3;\;2\right\}$
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Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-1$ .

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift $f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3}$ .

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Berechne f(10), f(100), f(1000).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
$f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}$
Setze $x = 10$ , $x=100$ und $x=1000$ ein.
$f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0{,}869$
$f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0{,}985$
$f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0{,}999$
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Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

$f(x)=\frac{2x}{2x+3}$
$D_f=R\backslash\left\{-1{,}5\right\}$
Nullstelle: $\;x=0$
$x$
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
$f(x)$
1,6
2
4
-2
0
0,4
0,57
0,67
0,73
Zeichnung
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Gib die Gleichungen der Asymptoten von $G_f$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
$f(x)=\frac{2x}{2x+3}$
Waagrechte Asymptote
Zählergrad = Nennergrad $\Rightarrow$ Betrachtung der Koeffizenten
$y=1$
Senkrechte Asymptote
bei der Definitionslücke
$x=-1{,}5$
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$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$f(x)$	1,6	2	4	-2	0	0,4	0,57	0,67	0,73

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ . Skizziere den Graphen.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0{,}2\mathrm x^2-1}$

$\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$

$\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nenner: $\mathrm x^2+1$ wird nie 0
$\Rightarrow\;\;$ keine Definitionslücke
Bestimme den Definitionsbereich
$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}$
Bestimme das Verhalten der Funktion
Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.
$\Rightarrow$ Die Funktion hat eine schräge Asymptote.
Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)
Asymptote: $\mathrm y=\mathrm x-1$
Skizze
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Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

Gebrochen rationale Funktionen

Definitionsbereich bestimmen

\displaystyle \mathrm{k}(\mathrm{x})

=

\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-4}-\frac{\mathrm{x}^2+1}{\mathrm{x}}

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

$\displaystyle 2\mathrm x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4; :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

\displaystyle x

=

\displaystyle 0

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}$

Verhalten einer Funktion

$\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$

$\displaystyle \mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}$
	↓	Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .
	$=$	$\displaystyle -\mathrm x+0{,}5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}$

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

$\Rightarrow$ Asymptote: $\mathrm y=-\mathrm x+0{,}5$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

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$\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$

$\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}$

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Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$
  Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.
  $\displaystyle x + 3$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -3$
  $\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -3$
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.
  Waagrechte Asymptote
  $f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$
  Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$ .
  Grenzwert gegen $+ \infty$
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$
  Grenzwert gegen $- \infty$
  $\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x}\dfrac{2}{1+\frac3x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\underbrace{\frac 3x}_{\rightarrow\ 0}}=2$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.
  Wertetabelle
  x
  -4
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  f(x)
  8
  -4
  -1
  0
  0,5
  $\frac 45$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$
  Bringe alles auf einen Nenner.
  $f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}$
  Lies die senkrechte Asymptote ab:
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.
  Waagrechte Asymptote
  $f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32$
  Betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$ , um waagrechte Asymptoten herauszufinden.
  Grenzwert $+ \infty$
  $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$
  Grenzwert $- \infty$
  $\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= $\dfrac 32$
  Wertetabelle
  x
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  f(x)
  2
  $\frac {10}{6}$
  1,5
  3,5
  -0,5
  0,5
  $\frac {2}{10}$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac3x$ und bestimme damit die Graphen von $g(x)=-\frac3x-2$ , $h(x)=\frac3{x+1{,}5}$ und $k(x)=\frac{1{,}5}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1$
$g(x)=-\frac3x-2$
$g(x)=-\frac3x-2$ $\rightarrow$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h(x)=\dfrac {3}{x+1{,}5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k(x)=\frac{1{,}5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
1. Der Graph von $f$ berührt die x-Achse an der Stelle $x=-1$ ;
  die Funktion $f$ hat die Polstelle $x=3$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei $x=-1$ berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
  $f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}$
  Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x=3$ geben.
  $f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}$
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2. Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=2$ und für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}$
  Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
  $\Rightarrow$ Funktion bei 2 nicht definiert
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}$
  Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f( x)=\dfrac{0{,}5\cdot x^2}{\left(x-2\right)^2}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
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3. Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=-1$ und ${\mathrm x}_2=2$ und für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0{,}5\mathrm x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
  ${\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $0{,}5\mathrm x-1$
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}$
  Zeichne eine Skizze der Funktion
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4. Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei ${\mathrm x}_1=-2$ , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ die Asymptote $\mathrm y=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
  $\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}$
  Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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5. Der Graph von f hat eine Polstelle bei ${\mathrm x}_1=0$ und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Für $\mathrm x\rightarrow\pm\infty$ hat der Graph die Asymptote $\mathrm y=0$ und bei ${\mathrm x}_2=2$ befindet sich eine Nullstelle.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac yz$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
  $\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $\mathrm y=0$
  $\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}$
  Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
  $\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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x	-4	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	8	-4	-1	0	0,5	$\frac 45$	1

x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
f(x)	2	$\frac {10}{6}$	1,5	3,5	-0,5	0,5	$\frac {2}{10}$	1

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2$ mit maximaler Definitionsmenge.

Gib die maximale Definitionsmenge an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich festlegen
$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+2$
Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
$\Rightarrow$ $D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}$
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Weise nach, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie prüfen
$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+2$
Ersetze x durch -x.
$f\left(-x\right)=\frac{1}{\left(-x\right)^2}+2$
$=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)$
Da $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .
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Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

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Für welche Werte von $x$ unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion $f$ um weniger als $\frac{1}{100}$ vom Wert $2$ ?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7x-3}{8x-5}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$\displaystyle 8x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 8x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{8}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{\frac58\right\}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	4 für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-4}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{-3}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	-5 für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(-5\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-\left(-5\right)}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{6}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	Zum Überprüfen auf Definitonslücken den Nenner der Funktion gleich 0 setzen.
$\displaystyle 1-a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +a$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle T\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{x\left(x+2\right)}-\frac{x}{\left(x+2\right)x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x+2-x}{\left(x+2\right)x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{x^2+2x}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3}{\left(x-1\right)^2}+7x$
	↓	Nenner gleich 0 setzen.
$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Definitionslücke ablesen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x\left(x-5\right)}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lese die Nullstellen ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{0;\;5\right\}$

$\displaystyle T\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-a}$
	↓	$\frac{1}{2}$ für a einsetzen.
$\displaystyle T\left(\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1-\frac{1}{2}}$
	↓	Im Nenner subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2}}$
	↓	Die 2 lässt sich in den Zähler des Bruchs schreiben (siehe Division).
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot2}{1}$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle T\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{x^2+2x}$
	↓	3 einsetzen.
$\displaystyle T\left(3\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{9+6}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}13$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$
	↓	Setze den Zahler gleich Null.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$
	↓	Den Funktionsterm gleich $4$ setzen.
$\displaystyle \frac{1+x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Beseitige den Nenner.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(x-2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1+x$	$=$	$\displaystyle 4x-8$	$\displaystyle -4x-1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x-4x$	$=$	$\displaystyle -8-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \frac{x-2}{1+x}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $-1$ hat, ist der x-Wert $0{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle \dfrac{3}{2+x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2-x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3\cdot(2-x)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(2+x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 2+x$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle : 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2x+3}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$\displaystyle 2\cdot x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 2\cdot x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$
	$=$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle R\backslash\;\left\{-1{,}5\right\}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2-x}{0{,}2x^2-1}$
	↓	Untersuche, wann der Nenner null wird
$\displaystyle 0{,}2x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :0{,}2\ \ \ +1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}$
	↓	Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+\sqrt5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu $\mathrm x^2$ aus)
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0{,}2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0}{0{,}2-0}=0$

$\displaystyle \left\|f\left(x\right)-2\right\|$	$<$	$\displaystyle \frac{1}{100}$
	↓	Setze $f(x)$ ein.
$\displaystyle \left\|\frac{1}{x^2}+2-2\ \ \ \right\|$	$<$	$\displaystyle \frac{1}{100}$
$\displaystyle \left\|\frac{1}{x^2}\right\|$	$<$	$\displaystyle \frac{1}{100}$
	↓	Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des $x^2$ immer positiv ist.
$\displaystyle \frac{1}{x^2}$	$<$	$\displaystyle \frac{1}{100}$	$\displaystyle \cdot x^2\cdot100$
$\displaystyle 100$	$<$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$

$\displaystyle 1-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle \Rightarrow\;\;\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\displaystyle \Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}$
	↓	Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke
$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{-1{,}5}{0^+}"=-\infty$
	↓	Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
$\displaystyle \mathrm g(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}$
	↓	Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\mathrm x-0{,}5+\frac{1{,}5}{\mathrm x-1}$
	↓	Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

$\displaystyle \mathrm{x}^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \mathrm x^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \surd$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"$
	$=$	$\displaystyle -\infty$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}$
	↓	Klammere $\mathrm x^2$ im Zähler und im Nenner aus.
	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0{,}5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}$
	↓	Berechne den Grenzwert
	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm0+0{,}5}{1-0}=0{,}5$

$\displaystyle \mathrm{n}(\mathrm{x})$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}^2}{2\mathrm{x}-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^3+4\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}\cdot\left(2\mathrm{x}-1\right)}$

$\displaystyle 2\mathrm x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1 \|:2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac12$

$\displaystyle \lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle "\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"$
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \mathrm n(\mathrm x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}$
	↓	Forme den Term mit Polynomdivision um
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\mathrm x+0{,}25\;+\frac{4{,}25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}$

$\displaystyle x + 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

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größer werdende x

kleiner werdende x

Zusatz: Graph von T(x)T(x)T(x)

T(4)

T(-5)

T(12)T\left(\frac12\right)T(21​)

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Schnittpunkte von Funktionen

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Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

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Zeichnung

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Waagrechte Asymptote

Senkrechte Asymptote