Aufgaben zur Polynomdivision
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Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme
Wende Potenzgesetze an und berechne.
4x5:x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Benutze das Potenzgesetz am:an=am−n
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Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Beachte: (a⋅xm):(b⋅xn)=(a:b)⋅xm−n
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(−x)3:x2
Setze deine Lösung ein!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Beachte: (−1)3=−1
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(−x)2:2x
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
(−x)2:2x=x2:2x=(1:2)⋅x2:x=0,5x
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3x2⋅2x3−x6:x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division anwenden.
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−4x5:(−x2)+x⋅(−2x2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division beachten.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division
Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.
(28x−14):7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(28x−14):7=28x:7−14:7=4x−2
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(28x⋅14):7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Die Klammer enthält keine Summe sondern ein Produkt.
Also: entweder 28 wird durch 7 geteilt oder 14. Aber nicht beide Zahlen.
(28x⋅14):7=28x⋅(14:7)=28x:2=56x
oder so gerechnet:
(28x⋅14):7=(28:7)x⋅14=4x⋅14=56x
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(6x3−4x2+1):2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(6x3−4x2+1):2=3x3−2x2+0,5
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(6x3−4x2+1):x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(6x3−4x2+1):x=6x2−4x+x1
Hast du eine Frage oder Feedback?
(6x3−4x2+1):2x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Daraus folgt:
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(5x4−14x3+21x+2):7x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Damit folgt:
(5x4−14x3+21x+2):7x3=75x−2+x23+7x32
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28x:(28+14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
28x:(28+14)=28x:28+28x:14=x+2x=3x
Hast du eine Frage oder Feedback?
6x2:(2x+x)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
6x2:(2x+x)=6x2:2x+6x2:x=3x+6x=9x
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- 3
Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen
Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.
1+2x+x2−4x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
geordnet:
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
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2+5x−2x2+x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
zusammengefasst und geordnet:
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
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−3+3x2−2x2+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
zusammengefasst und geordnet:
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
Hast du eine Frage oder Feedback?
2⋅(1−3x)−(5−x2−2x3)⋅3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form an⋅xn+an−1⋅xn−1+…+a1⋅x+a0 .
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
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Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
in geordneter Form wiedergibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
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- 4
Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen
Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen
Berechne f(x)−g(x).
f(x)−g(x)=(3x4−2x3+x2−1)−(2x4+x3−2x2+x)=3x4−2x3+x2−1−2x4−x3+2x2−x=x4−3x3+3x2−x−1
Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für f(x) und g(x) untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.
Weg
2.Weg
Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst −g(x).
Bilde für folgende Aufgaben die Differenz f(x)−g(x).
f(x)g(x)=x4−2x3+x2−x+2=2x4+x3−3x2−x−3
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x)g(x)=x4−2x3+x2−x+2=2x4+x3−3x2−x−3
Bilde −g(x) und addiere dann f(x) und −g(x) spaltenweise.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)=x4−2x3+x2−x+2=−2x4−x3+3x2+x+3=−x4−3x3+4x2+5
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f(x)g(x)=3x3+x−1=x3+1
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x) und −g(x) spaltenweise addieren!
f(x)−g(x)f(x)−g(x)=3x3+x−1=−x3−1=2x3+x−2
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f(x)=−x5+2x−1 und g(x)=−3x5+x2+2x−1
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x) und −g(x) spaltenweise addieren!
f(x)−g(x)f(x)−g(x)=−x5+2x−1=+3x5−x2−2x+1=2x5−x2
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f(x)=1−x3 und g(x)=x3+2x+x
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Die Polynome sind noch nicht geordnet (f(x)) bzw. zusammengefasst (g(x)).
f(x)=1−x3 noch nicht geordnet:
Geordnet: f(x)=−x3+1
g(x)=x3+2x+x noch nicht zusammengefasst:
Zusammengefasst: −g(x)=−x3−3x
Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)=−x3+1=−x3−3x=−2x3−3x+1
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f(x)=2x2−1+x3+3x+2 und g(x)=3−x+x2
Klicke an was stimmt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x)g(x)=2x2−1+x3+3x+2=3−x+x2
In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu −g(x) bilden.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)=x3+2x2+3x+1=−x2+x−3=x3+x2+4x−2
spaltenweise addieren
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Das Polynom x3−1 sei das Ergebnis der Polynomdifferenz f(x)−g(x).
Kreuze an was stimmt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Stets kann man aus f(x)−g(x) auch g(x)−f(x) erschließen, da immer gilt:
Also ist hier:
f(x)+g(x) kann man aus f(x)−g(x) nur im Sonderfall, dass g(x) das Nullpolynom g(x)=0 ist erschließen. Dann ist f(x)+g(x)=f(x)−g(x).
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- 5
Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
(−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
−(−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)=x2−1−(−2x3+3x2)(−2x0+0+2x−3(−2x3+3x2+−(2x−3)(−2x3+3x2+2x−30
Es gilt also:
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(−2x3+3x2+2x−3):(x2−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
Hinweis:
Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.
−(−2x3+3x2+2x−3):(x2−1)=−2x+3−(−2x3+3x21+2x)(−2x3+33x2+2x1−3−2x3x2−(3x2+2x1−3)−2x2+3x2+2x−310
Es gilt also:
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(x4−x3−21x2+x+20):(x2+5x+4)
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
(x4−x3−21x2+x+20):(x2+5x+4)=x2−6x+5−(x4+5x3+4x2)−6x3−25x2+x−(−6x3−30x2−24x)5x2+25x+20−(5x2+25x+20)0
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(2x3+1−x2+x4):(x4−x2+2x3+1)
Achtung Falle!
Nach dem Ordnen beider Polynome stellst du fest, dass das Dividendenpolynom und das Divisorpolynom gleich sind. Der Wert der Division ist demnach 1. Eine Polynomdivision entfällt somit.
(x4+2x3−x2+1):(x4+2x3−x2+1)=1
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(3x2+1):(2x3−1)
Achtung Falle!
Das Verfahren einer Polynomdivision entfällt, wenn der Grad des Divisorpolynoms größer ist als der Grad des Dividendenpolynoms.
Der Wert des Quotienten ist der Bruchterm aus beiden Polynomen.
(3x2+1):(2x3−1)=2x3−13x2+1
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(x5−x4+3x−3):(x−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
−(x5−x4+3x−3):(x−1)=x4+3−(x5−x4)(−(x5−0+3x−3(−2x3+3−(3x−3)(−2x3+3x2+20
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(x3+1,5x2−0,5):(x−0,5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
(x3+1,5x2−0,5):(x−0,5)
Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit x. Ergänze 0x=0 im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
(x3+1,5x2+0−0,5):(x−0,5)
Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
(x3+1,5x2+0−0,5):(x−0,5)=x2+2x+1−(x3−0,5x2)2x2+0−(2x2−x)x−0,5−(x−0,5)0
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(x2+1):(x−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
(x2+1):(x−1)
Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit x. Ergänze 0x=0 im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
(x2+0+1):(x−1)
Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
−(x2+0+1):(x−1)=x+1+x−12−(x2−x)(x2+0 x+1(x2+−(x−1)(x2+1):)x2←Rest
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(4x5−x4):(2x2−x+1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.
−(4x5−x4):(2x2−x+1)=2x3+0,5x2−0,75x−0,625+2x2−x+10,125x+0,625−(4x5−2x4+2x3)(4x5−x4x4−2x3(4x5−−(x4−0,5x3+0,5x2)(4x5−−x4−1,5x3−0,5x2(4x5−x4−(−1,5x3+0,75x2−0,75x)(4x5−x4):(2x2−−1,25x2+0,75x(4x5−x4):(2x2−(−1,50x2+0,625x−0,625)(4x5−x4):(2x2−x+1):(2x20,125x+0,625Restpolynom
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Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?
Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:
Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Lösen mit Polynomdivision
Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.
Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.
Eine Konstante, wie die Zahl 5, kann deshalb wegen 5=5⋅x0 als Polynom 0. Grades betrachtet werden.
Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.
Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge Division→Multiplikation→Subtraktion ergeben sich hier wie folgt:
1. Restpolynom(10x2−5x+1):5=2x2−x+0,21. Restpolyno−10x21. Restpolynom−5x+11. Restpolynom+5x2x+2. Restpolynom+12x+3+4+10x2+2x+−12x+3+23. Restpolynom0
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(x3+3x2−4x−12):(x−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
− (x3+3x2−4x−12):(x−2)=x2+5x+6−(x3−2x2)−(x3−15x2−4x(x3+−(5x2−10x)−(x3+3x2−x6x−12(x3+3x2−−(6x−12)−(x3+3x2−4x−120
Es gilt also:
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(−4x+5x2−3+2x3):(2x+1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:
(−4x+5x2−3+2x3)=(2x3+5x2−4x−3)
Berechne nun (2x3+5x2−4x−3):(2x+1) mit dem Verfahren der Polynomdivision:
−(2x3+5x2−4x−3):(2x+1)=x2+2x−3−(2x3+x2)−(2x3+(4x2−4x2x3+−(4x2+2x)(2x3++5x2−6x−32x3+5x2−(−6x−3)(2x3+5x2−4x−3)0
Es gilt also:
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(x4+4x3+2x−3):(x+2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Verwende das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
Im Dividenden fehlt das Monom mit x2. Ergänze deshalb 0⋅x2=0 im Dividenden:
(x4+4x3+2x−3)=(x4+4x3+0+2x−3)
Benutze nun das Verfahren der Polynomdivision:
−(x4+4x3+0+2x−3):(x+2)=x3+2x2−4x+10+(x+2−23)−(x4+2x3)−(x4+)2x3+0(x4(−(2x3+4x2)(x4+4x3+−4x2+2x(x4+4x−(−4x2−8x)(−x4+4x3+0+210x−3(x4+4x3+0+−(10x+20)−(x4+4x3+0+2x−3)−23 ←Rest
Es gilt also:
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Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.
(x3+2x2−x−2):(x−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(x3+2x2−x−2):(x−1)=x2+3x+2−(x3−1x2)3x2−x−(3x2−3x)2x−2−(2x−2)0
⇒ Neue Funktion : f(x)=x2+3x+2
f(x) = x2+3x+2 ↓ Gleich 0 setzen.
0 = x2+3x+2 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3 = 2⋅1−3±32−4⋅1⋅2 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
= 2−3±9−8 ↓ = 2−3±1 x2=2−3+1=2−2=−1
x3=2−3−1=2−4=−2
x3+2x2−x−2=(x−1)(x+1)(x+2) ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
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(4x3−4x):(x+1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(4x3−4x):(x+1)=4x2−4x−(4x3+4x2)−4x2−4x−(−4x2−4x)0
⇒ Neue Funktion: f(x)=4x2−4x
f(x) = 4x2−4x ↓ Gleich 0 setzen.
0 = 4x2−4x+0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3 = 2⋅44±(−4)2−4⋅4⋅0 = 84±16 = 84±4 x2=84+4=88=1
x3=84−4=80=0
4x3−4x=4x(x+1)(x−1) ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
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(32x3+2x2−38):(x+2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(32x3+2x2−38):(x+2)=32x2+32x−34−(32x3+34x2)32x2−38−(32x2+34x)−34x−38−(−34x−38)0
32x2+32x−34 = 0 x2,3 = 34−32±(32)2−4⋅(32)⋅(−34) x2,3 =