Aufgaben zur Polynomdivision

1
Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme
Wende Potenzgesetze an und berechne.
1. $4 x^{5} : x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Benutze das Potenzgesetz $a^m:a^n=a^{m-n}$
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2. Klicke an was stimmt!
  $-0{,}25x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Beachte: $(a\cdot x^m):(b\cdot x^n)=(a:b)\cdot x^{m-n}$
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3. $(- x)^{3} : x^{2}$
  Setze deine Lösung ein!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Beachte: $(- 1)^{3} = - 1$
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4. $(- x)^{2} : 2 x$
  Klicke an was stimmt!
  $0, 5 x$
  $- 0, 5 x$
  2x
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  $(-x)^2:2x=x^2:2x=(1:2)\cdot x^2:x=0{,}5x$
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5. $3x^2\cdot2x^3-x^6:x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division anwenden.
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6. $-4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division beachten.
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2
Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division
Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.
1. $(28 x - 14) : 7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(28 x - 14) : 7 = 28 x : 7 - 14 : 7 = 4 x - 2$
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2. $(28x\cdot14):7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Die Klammer enthält keine Summe sondern ein Produkt.
  Also: entweder 28 wird durch 7 geteilt oder 14. Aber nicht beide Zahlen.
  $(28x\cdot14):7= 28x\cdot(14:7)=28x :2=56x$
  oder so gerechnet:
  $(28x\cdot14):7=(28:7)x\cdot14=4x\cdot 14=56x$
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3. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(6x^3-4x^2+1):2=3x^3-2x^2+0{,}5$
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4. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(6x^3-4x^2+1):x=6x^2-4x+\displaystyle \frac{1}{x}$
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5. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : 2 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Daraus folgt:
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6. $(5 x^{4} - 14 x^{3} + 21 x + 2) : 7 x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Damit folgt:
  $(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3=\displaystyle \frac{5}{7}x-2+\displaystyle \frac{3}{x^2}+ \displaystyle \frac{2}{7x^3}$
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7. $28 x : (28 + 14)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Es gibt kein Rechengesetz der Form:
  $28x:(28+14)\ne28x:28+28x:14=x+2x=3x$
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8. $6 x^{2} : (2 x + x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Es gibt kein Rechengesetz der Form:
  $6x^2:(2x+x)\neq6x^2:2x+6x^2:x=3x+6x=9x$
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3
Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen
Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.
1. $1 + 2 x + x^{2} - 4 x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  geordnet:
  Grad des Polynoms: 3
  Koeffizienten:
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2. $2 + 5 x - 2 x^{2} + x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  zusammengefasst und geordnet:
  Grad des Polynoms: 2
  Koeffizienten:
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3. $- 3 + 3 x^{2} - 2 x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  zusammengefasst und geordnet:
  Grad des Polynoms: 2
  Koeffizienten:
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4. $1 - x^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  geordnet:
  Grad des Polynoms: 4
  Koeffizienten:
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5. $2\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form $a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0$ .
  Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.
  Grad des Polynoms: 3
  Koeffizienten:
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6. Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
  in geordneter Form wiedergibt.
  $(x^{4} + 1) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
  $(x^{4} + 1) : (3 x - x^{2} + 1)$
  $(1 + x^{4}) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
  $(- x^{2} + 3 x + 1) : (x^{4} + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
  Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
  Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
  Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
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4
Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen
Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen
Berechne $f (x) - g (x)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\\;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{aligned}$
Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für $f (x)$ und $g (x)$ untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.
Weg
2.Weg
Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst $\color{red}{-}g(x)$ .
Bilde für folgende Aufgaben die Differenz $f (x) - g (x)$ .
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{aligned}$
  Klicke an was stimmt!
  $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$
  $3 x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 1$
  $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=x^4-2x^3+x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+x^3-3x^2-x-3\end{aligned}$
  Bilde $\color{red}{-}g(x)$ und addiere dann $f (x)$ und $\color{red}{-}g(x)$ spaltenweise.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\quad \,x^4-2x^3+\;\;\;x^2-x+2\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{\color{red}{-}2x^4\,\color{red}{-}\;x^3\;\color{red}{+}3x^2\;\color{red}{+}x\color{red}{+}3}\\f(x)-g(x) &=\;\;-x^4-3x^3+4x^2\quad\quad+5\end{aligned}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x) &=3x^3+x-1\\ g(x)&=x^3+1 \end{aligned}$
  Klicke an was stimmt!
  $2 x^{3} + x - 2$
  $2 x^{3} + x$
  $4 x^{3} + x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;3x^3+x-1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\color{red}{-}x^3 \quad\;\;\color{red}{-}1}\\f(x)-g(x) &=\,2x^3+x-2\end{aligned}$
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3. $f (x) = - x^{5} + 2 x - 1$ und $g (x) = - 3 x^{5} + x^{2} + 2 x - 1$
  Klicke an was stimmt!
  $2 x^{5} - x^{2}$
  $- 4 x^{5} + x^{2} + 4 x - 2$
  $- 4 x^{5} - x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;-x^5\quad\quad+2x-1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\color{red}{+}3x^5 \color{red}{-}x^2 \;\color{red}{-}2x \color{red}{+}1}\\f(x)-g(x) &=\;2x^5\;-x^2\end{aligned}$
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4. $f (x) = 1 - x^{3}$ und $g (x) = x^{3} + 2 x + x$
  Klicke an was stimmt!
  $- 2 x^{3} - 3 x + 1$
  $2 x^{3} + 3 x - 1$
  $- 2 x^{3} + 3 x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Die Polynome sind noch nicht geordnet ( $f (x))$ bzw. zusammengefasst ( $g (x)$ ).
  $f (x) = 1 - x^{3}$ noch nicht geordnet:
  Geordnet: $f (x) = - x^{3} + 1$
  $g (x) = x^{3} + 2 x + x$ noch nicht zusammengefasst:
  Zusammengefasst: $\color{red}{-}g(x)=\color{red}{-}x^3\color{red}{-}3x$
  Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=-x^3\quad\quad+1\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{-x^3\;-3x\quad\quad}\\f(x)-g(x) &=-2x^3-3x+1\end{aligned}$
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5. $f (x) = 2 x^{2} - 1 + x^{3} + 3 x + 2$ und $g (x) = 3 - x + x^{2}$
  Klicke an was stimmt.
  $x^{3} + x^{2} + 4 x - 2$
  $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$
  $x^{3} + x^{2} + 2 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=2x^2-1+x^3+3x+2\\g(x) &=3-x+x^2 \end{aligned}$
  In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu $- g (x)$ bilden.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=x^3+2x^2+3x+1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\quad\;\;-x^2\;+\,x-\,3}\\f(x)-g(x) &= x^3+\; x^2\;+4x-2\end{aligned}$
  spaltenweise addieren
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6. Das Polynom $x^{3} - 1$ sei das Ergebnis der Polynomdifferenz $f (x) - g (x)$ .
  Kreuze an was stimmt.
  Dann kennt man auch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
  Dann kennt man auch das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ .
  Dann kennt man weder das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ noch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Stets kann man aus $f (x) - g (x)$ auch $g (x) - f (x)$ erschließen, da immer gilt:
  Also ist hier:
  $f (x) + g (x)$ kann man aus $f (x) - g (x)$ nur im Sonderfall, dass $g (x)$ das Nullpolynom $g (x) = 0$ ist erschließen. Dann ist $f (x) + g (x) = f (x) - g (x)$ .
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5
Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
1. $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3) : (- 2 x + 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\\color{red}{-(}\underline{-2x^3+3x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x}0\;\;\;+\;0 \;\; +2x-3\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+}\,\color{red}{-(}\underline{2x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}$
  Es gilt also:
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2. $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3) : (x^{2} - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  Hinweis:
  Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3\\ \color{red}{-(}\underline{-2x^3 \phantom{+3x^21} +2x}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3}3x^2\phantom{+2x1} -3\\\hphantom{-2x^3x^2}\color{red}{-(}\underline{3x^2\phantom{+2x1} -3}\color{red}{)}\\\hphantom{-2x^2+3x^2+2x-31}0\end{array}$
  Es gilt also:
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3. $(x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20) : (x^{2} + 5 x + 4)$
  
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^4-x^3-21x^2\;\;\;\;+x+20):(x^2+5x+4)=x^2-6x+5\\\underline{-(x^4+5x^3+4x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^3-25x^2\;\;\;+x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^3-30x^2-24x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5x^2+25x+20\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(5x^2+25x+20)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
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4. $(2 x^{3} + 1 - x^{2} + x^{4}) : (x^{4} - x^{2} + 2 x^{3} + 1)$
  
  Achtung Falle!
  Nach dem Ordnen beider Polynome stellst du fest, dass das Dividendenpolynom und das Divisorpolynom gleich sind. Der Wert der Division ist demnach $1$ . Eine Polynomdivision entfällt somit.
  $(x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 1) : (x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 1) = 1$
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5. $(3 x^{2} + 1) : (2 x^{3} - 1)$
  
  Achtung Falle!
  Das Verfahren einer Polynomdivision entfällt, wenn der Grad des Divisorpolynoms größer ist als der Grad des Dividendenpolynoms.
  Der Wert des Quotienten ist der Bruchterm aus beiden Polynomen.
  $(3x^2+1):(2x^3-1)=\displaystyle \frac{3x^2+1}{2x^3-1}$
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6. $(x^{5} - x^{4} + 3 x - 3) : (x - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (x^5-x^4+3x-3):(x-1)=x^4+3\\\color{red}{-(}\underline{x^5-x^4}\color{red}{)}\\\hphantom{(-(x^5-}\;0\;+3x-3\\\hphantom{(-2x^3+3}\,\color{red}{-(}\underline{3x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2}\;\;\;0\end{array}$
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7. $(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  $(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)$
  Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit $x$ . Ergänze $0 x = 0$ im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
  $(x^3+1{,}5x^2+0-0{,5}):(x-0{,}5)$
  Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+1{,}5x^2+0-0{,}5):(x-0{,}5)=x^2+2x+1\\\underline{-(x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2+0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-0{,}5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-0{,}5)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
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8. $(x^{2} + 1) : (x - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  $(x^{2} + 1) : (x - 1)$
  Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit $x$ . Ergänze $0 x = 0$ im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
  $(x^{2} + 0 + 1) : (x - 1)$
  Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(x^2+0+1):(x-1)=x+1+\displaystyle\frac{2}{x-1}\\\color{red}{-(}\underline{x^2-x}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+0}\space x+1\\\hphantom{(x^2+}\color{red}{-(}\underline{x-1}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+1): )x}2\quad\leftarrow \text{Rest}\end{array}$
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9. $(4 x^{5} - x^{4}) : (2 x^{2} - x + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(4x^5-\;\,x^4):(2x^2-x+1)=2x^3+0{,}5x^2-0{,}75x-0{,}625+\displaystyle \frac{0{,}125x+0{,}625}{2x^2-x+1}\\\color{red}{-(}\underline{4x^5-2x^4+\;2x^3}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4}x^4-\;2x^3\\\hphantom{(4x^5-}\;\color{red}{-(}\underline{x^4-0{,}5x^3+0{,}5x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5--x^4}-1{,}5x^3-0{,}5x^2\\\hphantom{(4x^5-x^4}\color{red}{-(}\underline{-1{,}5x^3+0{,}75x^2-0{,}75x}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-}\,-1{,}25x^2+\,0{,}75x\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2}\;\color{red}{-(}\underline{-1{,}50x^2+\,0{,}625x-0{,}625}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-x+1):(2x^2}0{,}125x+0{,}625\quad\text{Restpolynom}\end{array}$
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10. Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?
  Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:
  Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Lösen mit Polynomdivision
  Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.
  Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.
  Eine Konstante, wie die Zahl $5$ , kann deshalb wegen $5=5\cdot x^0$ als Polynom 0. Grades betrachtet werden.
  Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.
  Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge $\text{Division}\rightarrow\text{Multiplikation}\rightarrow\text{Subtraktion}$ ergeben sich hier wie folgt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{\text{1. Restpolynom}}(10x^2-5x+1):5={\color{red}2x^2}{\color{blue}-x}{\color{green}+0{,}2}\\\hphantom{\text{1. Restpolyno}}{\color{red}-}\underline{10x^2 \quad \quad\quad}\\{\color{red}\text{1. Restpolynom}}\quad \quad {\color{red}-5x+1}\\\hphantom{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad {\color{red}+}\underline{5x \quad\; }\\\hphantom{2x+}{\color{blue}\text{2. Restpolynom}}\quad \quad\;\; {\color{blue}+1}\\\hphantom{2x+3+4+10x^2+2x+}\;\;\,\underline{{\color{red}-}\,1}\\\hphantom{2x+3+2}\color{green}{\text{3. Restpolynom}}\quad \,\color{green}{0}\end{array}$
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11. $(x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12) : (x - 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6 \\-\underline{(x^3-2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}5x^2-4x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(5x^2-10x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-x}6x-12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x-12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$
  Es gilt also:
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12. $(- 4 x + 5 x^{2} - 3 + 2 x^{3}) : (2 x + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:
  $(- 4 x + 5 x^{2} - 3 + 2 x^{3}) = (2 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 3)$
  Berechne nun $(2 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 3) : (2 x + 1)$ mit dem Verfahren der Polynomdivision:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3\\-\underline{(2x^3+x^2)}\\\phantom{-(2x^3+(}4x^2-4x\\\phantom{2x^3+}-\underline{(4x^2+ 2x)}\\\phantom{(2x^3++5x^2}-6x-3\\\phantom{2x^3+5x^2}-\underline{(-6x-3)}\\\phantom{(2x^3+5x^2-4x-3)}0\end{array}$
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13. $(x^{4} + 4 x^{3} + 2 x - 3) : (x + 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Verwende das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  Im Dividenden fehlt das Monom mit $x^{2}$ . Ergänze deshalb $0 \cdot x^2=0$ im Dividenden:
  $(x^{4} + 4 x^{3} + 2 x - 3) = (x^{4} + 4 x^{3} + 0 + 2 x - 3)$
  Benutze nun das Verfahren der Polynomdivision:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\phantom{-}(x^4+4x^3+0+2x-3):(x+2)=x^3+2x^2-4x+10+\left(\dfrac {-23}{x+2}\right)\\-\underline{(x^4+2x^3)}\\\phantom{-(x^4+)}2x^3+0\\\phantom{(x^4(}-\underline{(2x^3+4x^2)}\\\phantom{(x^4+4x^3+}-4x^2+2x\\\phantom{(x^4+4x}-\underline{(-4x^2-8x)}\\\phantom{(-x^4+4x^3+0+2}10x-3\\\phantom{(x^4+4x^3+0+}-\underline{(10x+20)}\\\phantom{-(x^4+4x^3+0+2x-3)}-23 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leftarrow \text{Rest}\end{array}$
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Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) : (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Neue Funktion : $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

Verbleibende Nullstellen berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$
	↓	Wurzelziehen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm1}{2}$

$x_2=\dfrac{-3+1}2=\dfrac{-2}2=-1$

$x_3=\dfrac{-3-1}2=\dfrac{-4}2=-2$

Faktorisierung

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = (x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

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$(4 x^{3} - 4 x) : (x + 1)$

$(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{16}}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm4}{8}$

$\displaystyle \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$

Aufgaben zur Polynomdivision

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Lösen mit Polynomdivision

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Verbleibende Nullstellen berechnen

Faktorisierung

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Nullstellenberechnung