Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Diskutiere folgende Funktionen.

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$ ; $D_f=D_{max}$

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Der ln muss immer positiv sein.

$\displaystyle \frac{x+2}{x^2}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot x^2$
	↓	Da $x^2$ immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
$\displaystyle x+2$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle -2$

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \ln\frac{x+2}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$\ln x$ ist für $x=1$ gleich 0. Finde also die x-Werte, sodass $\frac{x+2}{x^2} =1$
$\displaystyle \frac{x+2}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot x^2$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -x^2$
$\displaystyle -x^2+x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}$
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm3}{-2}$

$x_1=\frac{-1+3}{-2}=-1,\;x_2=\frac{-1-3}{-2}=2$

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{NST}\left(-1\;\left|\;0\right.\right),\;\mathrm{NST}\left(\left.2\;\right|\;0\right)$

Ableitungen bilden

Bestimme die Ableitungen.

1. Ableitung

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=1,\;v`=2x$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, nachdifferenzieren mit der Quotientenregel.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{1\cdot x^2-\left(x+2\right)\cdot2 x}{x^4}$
	↓	Im Zähler des zweiten Bruchs ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{x^2-2 x^2-4 x}{x^4}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{-x^2-4x}{x^4}$
	↓	Brüche multiplizieren und kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{-x-4}{x^2+2x}$

2. Ableitung

$f'(x)=\frac{-x-4}{x^2+2x}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').

$\mathrm u`=-1,\;\mathrm v`=2\mathrm x+2$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left( x^2+2x\right)\cdot\left(-1\right)-\left(-x-4\right)\cdot\left(2x+2\right)}{\left( x^2+2x\right)^2}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{-x^2-2x+2x^2+2x+8x+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{ x^2+8x\;+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$\displaystyle -x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme die Wendepunkte.

x-Werte bestimmen

$f''\left(x\right)=\frac{x^2+8x+8}{\left(x^2+2x\right)^2}$

Zum Bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$\displaystyle x^2+8x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel verwenden.
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{64-32}}{2}$
$\displaystyle x_{1;2}$	$=$	$\displaystyle -4\pm2\sqrt{2}$

$f\left(x_1\right)=\ln\frac{-2+2\sqrt{2}}{\left(-4+2\sqrt{2}\right)^2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da bei $x_2$ das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für $x_1$ einen Wendepunkt.

$\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(-4\pm2\sqrt2\;\left|\ln\frac{-2+2\sqrt2}{\left(-4+2\sqrt2\right)^2}\right.\right)$

Grenzwertbetrachtung

Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack-2;\;\infty\lbrack\;\backslash\left\{0\right\}$

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und $+\infty$ .

Grenzwert bei 0

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von links.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^-}^2}_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle \ln\frac2{0^+}$
$=$	$\displaystyle +\infty$

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von rechts.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0}+2}{\underbrace{\underbrace x_{\rightarrow0^+}^2}_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle \ln\frac2{0^+}$
$=$	$\displaystyle +\infty$

Grenzwert bei -2

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Annäherung von rechts

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-2^+}\ln\frac{\overbrace{\overbrace x^{\rightarrow-2^-}+2}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{x^2}_{\rightarrow4}}=\ln0^+$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Grenzwert gegen $+\infty$

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{x+2}{x^2}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{\overbrace{\frac x{x^2}}^{\rightarrow0^+}+\overbrace{\frac2{x^2}}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{\frac{x^2}{x^2}}_{\rightarrow1}}=\ln\frac{0^+}1$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Symmetrieverhalten

Untersuche das Symmetrieverhalten.

$f(x)=\ln\frac{x+2}{x^2}$

Setze $-x$ für $x$ ein.

$\displaystyle f(-x)$	$=$	$\displaystyle \ln\frac{-x+2}{\left(-x\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \ln\frac{-x+2}{x^2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f(-x)$ weder $f(x)$ noch $-f(x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung .

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x\in]-2;0[$	$x=0$	$x>0$
Vorzeichen von $f'(x)$	+	/	-
$G_f$	$\nearrow$	/	$\searrow$

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$f(x)=2(\frac 2x)^2(1+2\ln\frac x2);\; D_f=D_{max}$

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenners

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

$x=0$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\frac x2$ ist dann positiv, wenn x positiv ist.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.

Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.

Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+2\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 2\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \ln\frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle e^{-\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-\frac{1}{2}}$
	↓	Ab hier kann man die Formel noch ein wenig umstellen mithilfe von Potenzgesetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)}$
	↓	$a^{-1}=\frac{1}{a}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$
	↓	$a^{\frac 12}=\sqrt a$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e}}$

$\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(\frac2{\sqrt e}\;\left|\;0\right.\right)$

Ableitungen bilden

1. Ableitung

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
	↓	Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .
	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{4}{x^2}\right)\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{x^2}+\frac{16}{x^2}\ln\frac{x}{2}$

Bilde nun die Ableitung. Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil: $u`=\left(-\frac{32}{x^3}\right),\;v`=\frac2x\cdot\frac12$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}+\frac{16}{x^2}\cdot\frac{1}{x}$
	↓	In der letzten Summe multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle -\frac{16}{x^3}-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}+\frac{16}{x^3}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

2. Ableitung

$f'\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Getrennte Ableitung von $u=\left(-\frac{32}{x^3}\right)$ und $v=\left(\ln\frac{x}{2}\right)$ bilden und mithilfe der Produktregel die zweite Ableitung $f''(x)$ bestimmen.

$u`=\frac{96}{x^4},\;v`=\frac2x\cdot\frac12$

Wende die Produktregel an.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac{x}{2}-\frac{32}{x^3}\cdot\frac{1}{x}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{96}{x^4}\cdot\ln\frac{x}{2}-\frac{32}{x^4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac{x}{2}-1\right)$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f'\left(x\right)=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=-\frac{32}{x^3}\cdot\ln\frac{x}{2}$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.

Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das Innere des ln = 1 ist.

$\displaystyle \frac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Art des Extremums bestimmen

$f''\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac{x}{2}-1\right)$

Gefundenes x=2 einsetzen.

	$\displaystyle f''\left(2\right)$
$=$	$\displaystyle \frac{32}{2^4}\cdot\left(3\ln\frac{2}{2}-1\right)$
$=$	$\displaystyle \frac{32}{16}\cdot\left(3{\textstyle\cdot}{\textstyle0}-1\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(x\right)<0$ ist an der Stelle $x=2$ ein Maximum.

y-Wert bestimmen

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Gefundenes $x=2$ einsetzen.

	$\displaystyle f\left(2\right)$
$=$	$\displaystyle 2\left(\frac{2}{2}\right)^2\left(1+2\ln\frac{2}{2}\right)$
$=$	$\displaystyle 2\cdot1\cdot\left(1+2\textstyle\cdot\textstyle0\right)$
$=$	$\displaystyle 2$

$f$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $(2|2)$ .

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

$f``\left(x\right)=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)$

Setze die Funktion gleich 0.

$0=\frac{32}{x^4}\cdot\left(3\ln\frac x2-1\right)$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\ln\ \frac{x}{2}-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3\ln\frac{x}{2}$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle \ln\ \frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion anwenden.
$\displaystyle e^{\frac{1}{3}}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2e^{\frac{1}{3}}$

y-Wert bestimmen

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Gefundenes $x=2\cdot e^\frac13$ einsetzen

$\displaystyle f\left(2\cdot e^{\frac{1}{3}}\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac2{2\cdot e^{\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\frac{2\cdot e^{\frac13}}2\right)$
	↓	Beide Brüche mit 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(\frac1{e^{\frac13}}\right)^2\left(1+2\ln\left(e^{\frac13}\right)\right)$
	↓	ln und e hebt sich auf. Exponent in die Klammer ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{2}{3}}}\left(1+2\cdot\frac{1}{3}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e^{\frac{2}{3}}}+\frac{4}{3e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Ersten Bruch mit 3 erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{3e^{\frac{2}{3}}}+\frac{4}{3e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{10}{3e^{\frac23}}$

$\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(2\cdot e^{\frac13\;}\left|\;\frac{10}{3e^{\displaystyle\frac23}}\right.\right)$

Grenzwertbetrachtung

Artikel zum Thema

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f\;=\;\rbrack0\;;\;\infty\lbrack$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+\infty$ .

Grenzwert bei 0

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Annäherung von rechts an 0.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)=$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow0^+}}\right)^2}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(1+2\textstyle\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow0^+}}2}_{\rightarrow-\infty}\right)}_{\rightarrow-\infty}$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Grenzwert bei $+\infty$

$f(x)=2\left(\frac2x\right)^2\left(1+2\ln\frac x2\right)$

Annäherung an $+\infty$ .

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}2\left(\frac{2}{x}\right)^2\left(1+2\ln\frac{x}{2}\right)$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}2\underbrace{\left(\frac2{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}\right)}_{\rightarrow0}^2\underbrace{\left(1+2\underbrace{\ln\frac{\overbrace x^{\rightarrow+\infty}}2}_{\rightarrow+\infty}\right)}_{\rightarrow+\infty}$
$=$	$\displaystyle 0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

$\Rightarrow$ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x\in ]0;2[$	$x=2$	$x\in]2;\infty[$
Vorzeichen von f'(x)	+	0	-
$G_f$	$\nearrow$	Hochpunkt	$\searrow$

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$f(x)=\frac{1+\ln x}x;\;D_f=D_{max}$

Definitionsbereich festlegen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\frac{1+\ln(x)}x;\;D_f=D_{max}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$x=0$

Definitionsbereich des Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\rbrack0;\infty\lbrack$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f(x)=\frac{1+\mathrm{\ln x}}{x}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$\displaystyle 1+\ln x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \ln x$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^{-1}$

$\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(e^{-1}\;\left|\;0\right.\right)$

Ableitungen bilden

Berechne die Ableitungen.

1. Ableitung

$f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=\frac1x,\;v`=1$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\left(1+\ln x\right)\cdot1}{x^2}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1-1-\ln x}{x^2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{\ln x}{x^2}$

2. Ableitung

$f`\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u`=\frac1x,\;v`=2x$

Quotientenregel anwenden.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x\cdot2x}{x^4}$
	↓	Mit $x$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot2}{x^3}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f'\left(x\right)=-\frac{\ln x}{x^2}$

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

$\displaystyle \ln x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Art des Extremums bestimmen

$f''\left(x\right)=-\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Gefundenes x=1 einsetzen.

$\displaystyle f''\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1-2\ln1}{1^3}$
	↓	$\ln 1=0$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{1}$
	$=$	$\displaystyle -1$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(x\right)<0$ ist an der Stelle $x=1$ ein Maximum.

y-Wert bestimmen

$f(x)=\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Gefundenes $x=1$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+\ln1}{1}$
	↓	$\ln 1=0$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1}$
	$=$	$\displaystyle 1$

$\;\;\Rightarrow\;\;HP\left(1\;\left|\;1\right.\right)$

Wendepunkte bestimmen

Bestimme den Wendepunkt.

x-Werte bestimmen

$f''\left(x\right)=\displaystyle-\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Es wird nur der Zähler der zweiten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

$\displaystyle 1-2\ln x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2\ln x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\ln x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \ln x$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle e^{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle x$

y-Wert bestimmen

$f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Gefundenes $x=e^\frac12$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(e^{\frac{1}{2}}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1+\ln e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	↓	ln und e heben sich auf. $\ln(e^{\frac12})=\frac12$
	$=$	$\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{e}}$

$\Rightarrow\text{WP}\ \left(e^{\frac{1}{2}}|\frac{3}{2\sqrt{e}}\right)$

Grenzwertbetrachtung

Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

$D_f=\rbrack0;\infty\lbrack$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+\infty$ .

Grenzwert bei 0

$f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Annäherung von rechts an 0.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1+\mathrm{\ln x}}{x}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1+\overbrace{\mathrm{lnx}}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle -\infty$

Grenzwert bei $+\infty$

$f(x)=\displaystyle\frac{1+\mathrm{lnx}}x$

Annäherung an $+\infty$ .

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1+\mathrm{\ln x}}{x}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{1+\mathrm{lnx}}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}$
	↓ Satz von l'Hospital anwenden.
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}$
$=$	$\displaystyle 0$

Symmetrieverhalten

Betrachte das Symmetrieverhalten.

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline& x<1 & x=1 & x>1\\ \hline\text{Vorzeichen von } f'(x) & + & 0 & -\\\hline G_f & \nearrow & \text{Hochpunkt} & \searrow\\ \hline\end{array}$

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$f(x)=\frac1{1-\mathrm{ln(x)}};\;D_f=D_{max}$

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenner

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

$\displaystyle 1-\ln\ x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \ln x$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle x$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\Rightarrow$ $D_f=\rbrack0;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;e$

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen.

$\Rightarrow$ Da im Zähler der Funktion kein Element mit $x$ vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen bilden

Bilde Ableitungen.

1. Ableitung

Wandle zuerst die Funktion ein wenig um.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{\ln x}}$
	↓	Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \left(1-\mathrm{\ln x}\right)^{-1}$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\left(1-\ln x\right)^{-2}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}$

2. Ableitung

Wandle zunächst die 1. Ableitung um.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}$
	↓	Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \left(x\cdot\left(1-\ln x\right)^2\right)^{-1}$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, mit Hilfe der Produktregel nachdifferenzieren.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\left(x\cdot\left(1-\ln x\right)^2\right)^{-2}\cdot\left(1\cdot\left(1-\ln x\right)^2+x\cdot2\cdot\left(1-\ln x\right)\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)\right)$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\left(1-\ln x\right)^2+x\cdot2\cdot\left(1-\ln x\right)\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^4}$
	↓	Mit $1-\ln x$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\left(1-\ln x\right)+x\cdot2\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}$
	↓	Ausmultiplizieren und gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{-1-\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}$
	↓	-1 ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1+\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f'\left(x\right)=\frac{1}{x\cdot\left(1-\ln x\right)^2}$

Zähler der ersten Ableitung untersuchen.

$\Rightarrow$ Da der Zähler der ersten Ableitung keine Elemente mit x enthält, hat $f(x)$ keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme die Wendepunkte.

x-Werte bestimmen

$f''\left(x\right)=\frac{1+\ln x}{x^2\cdot\left(1-\ln x\right)^3}$

Zähler der ersten Ableitung gleich 0 setzen.

$\displaystyle 1+\ln x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \ln x$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^{-1}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{e}$

$\frac1e=x$

y-Wert bestimmen

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Gefundenes $x=\frac1e$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(\frac{1}{e}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-\ln\frac{1}{e}}$
	↓	$\ln \frac 1e = \ln e^{-1} =-1$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-\left(-1\right)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Grenzwertbetrachtung

Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitonsbereichs.

$D_f=\rbrack0;\;+\infty\lbrack\;\backslash\;e$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+\infty$ sowie an der Definitionslücke.

Grenzwert bei 0

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Annäherung von rechts an 0.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{1-\ln x}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow-\infty}}_{\rightarrow+\infty}}$
$=$	$\displaystyle 0$

Grenzwert bei $+\infty$

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Annäherung an $+\infty$ .

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{1-\ln x}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}}$
$=$	$\displaystyle 0$

Grenzwert bei e

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Annäherung von links an e.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow e^-}\frac{1}{1-\ln x}$
$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow e^-}\frac1{\underbrace{1-\underbrace{\ln x}_{\rightarrow1^-}}_{\rightarrow0^+}}$
$=$	$\displaystyle \infty$

$f(x)=\frac1{1-\mathrm{lnx}}$

Annäherung von rechts an e.

	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow e^+}\frac{1}{1-\ln x}$
$=$

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionslücken des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei -2

Grenzwert gegen +∞+\infty+∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenners

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

y-Wert bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞+\infty+∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

y-Wert bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞+\infty+∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞+\infty+∞

Grenzwert bei e

Grenzwert gegen $+\infty$

Grenzwert bei $+\infty$

Grenzwert bei $+\infty$

Grenzwert bei $+\infty$