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Aufgaben zum Berechnen von Abständen

  1. 1

    Berechne den Abstand der folgenden Punkte.

    1. A(5    2  )B(3   6  )A\left(5\;|\;-2\;\right) B\left(3\ |\;6\;\right)

    2. A(2    2    1)A\left(2\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right), B(4    4    2)B\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;2\right.\right.\right)

    3. A(1    2    2)A\left(-1\;\left|\;-2\;\left|\;2\right.\right.\right),    B(2    4    4)B\left(-2\;\left|-\;4\;\left|\;4\right.\right.\right)

    4. A(6    0    1)A\left(6\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(1    0    1)B\left(1\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)

    5. A(8    9    10)A\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right),    B(2    6    8)B\left(2\;\left|\;6\;\left|\;8\right.\right.\right)

    6. A(0    0    6)A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(0    0    0)B\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)

    7. A(37    21    5)A\left(37\;\left|\;21\;\left|\;5\right.\right.\right),    B(13    14    5)B\left(13\;\left|\;14\;\left|\;5\right.\right.\right)

    8. A(1    2    1)A\left(1\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    3    2)B\left(2\;\left|\;3\;\left|\;-2\right.\right.\right)

    9. A(4    3    1)A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    2    2)B\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;-2\right.\right.\right)

    10. A(7    3    4)A\left(7\;\left|\;3\;\left|\;4\right.\right.\right),    B(0    4    7)B\left(0\;\left|\;-4\;\left|\;-7\right.\right.\right)

    11. A(13    17    6)A\left(13\;\left|\;17\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(35    20    14)B\left(35\;\left|\;20\;\left|\;14\right.\right.\right)

    12. A(3    2    1    4)A\left(3\;\left|\;-2\;\left|\;-1\right.\;\right.\left|\;4\right.\right),    B(1    6    3    0)B\left(-1\;\left|\;-6\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right.\right)

  2. 2

    Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.

    1. P(1    3    3)P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;-3\right.\right.\right),    g:  x=(213)+λ(131)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}

    2. P(5    0    0)P\left(5\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right),    g:  x=(111)+λ(211)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}

    3. P(2    3    10)P\left(-2\;\left|\;3\;\left|\;10\right.\right.\right),    g:  x=(123)+λ(432)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}

    4. P(5    1    2,5)P\left(5\;\left|\;-1\;\left|\;-2{,}5\right.\right.\right),    g:  x=(363)+λ(032)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}

  3. 3

    Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.

    1. E:  x1+x2x31=0E:\;x_1+x_2-x_3-1=0

    2. E:  4x1+5x23x38=0E:\;4x_1+5x_2-3x_3-8=0

    3. E:  x2x3+2=0E:\;x_2-x_3+2=0

    4. E:  x1x3+2=0E:\;x_1-x_3+2=0

    5. E:  18x113x2+7x322=0E:\;18x_1-13x_2+7x_3-22=0

    6. E:  2x1+8x25x3+10=0E:\;2x_1+8x_2-5x_3+10=0

    7. E:  12x1+2x2+5x331=0E:\;12x_1+2x_2+5x_3-31=0

    8. E:  100x113x2+43x3126=0E:\;100x_1-13x_2+43x_3-126=0

  4. 4

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.

    1. P(4    3    1)P\left(4\;\left|\;3\;\left|\;1\right.\right.\right),    E:  3x1+x22x35=0E:\;3x_1+x_2-2x_3-5=0

    2. P(1    1    0)P\left(-1\;\left|\;1\;\left|\;0\right.\right.\right),    E:  x1+2x2x33=0E:\;x_1+2x_2-x_3-3=0

    3. P(1    8    5)P\left(1\;\left|\;8\;\left|\;5\right.\right.\right),    E:  2x1x2+2x37=0E:\;2x_1-x_2+2x_3-7=0

    4. P(0    8    15)P\left(0\;\left|\;8\;\left|\;1\right.5\right.\right),    E:  4x13x2+x32=0E:\;4x_1-3x_2+x_3-2=0

    5. P(2    1    3)P\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;3\right.\right.\right),    E:  5x1+x2+x31=0E:\;5x_1+x_2+x_3-1=0

    6. P(7    8    9)P\left(7\;\left|\;8\;\left|\;9\right.\right.\right),    E:  x1+x2+3=0E:\;x_1+x_2+3=0

    7. P(5    4    6)P\left(5\;\left|\;-4\;\left|\;6\right.\right.\right),    E:  x3+2=0E:\;x_3+2=0

    8. P(1    3    3)P\left(1\;\left|\;3\;\left|\;3\right.\right.\right),    E:  10x17x2+2x35=0E:\;10x_1-7x_2+2x_3-5=0

    9. P(2    0    7)P\left(2\;\left|\;0\;\left|\;7\right.\right.\right),    E:  8x1+3x25x3=0E:\;8x_1+3x_2-5x_3=0

    10. P(100    200    50)P\left(100\;\left|\;200\;\left|\;50\right.\right.\right),    E:  9x14x27x311=0E:\;9x_1-4x_2-7x_3-11=0

  5. 5

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.

    1. E:  (123)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0,    P(3    1    2)P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)

    2. E:  X=(111)+λ(211)+μ(113)E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},     P(1    3    1)\ P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)

    3. E:  (326)x+27=0E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow x+27=0    ,    P(2    4    1)P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)

  6. 6

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

    1. E:  (123)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0,    P(3    1    2)P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)

    2. E:  (111)+λ(211)+μ(113)E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},    P(1    3    1)P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)

    3. E:  (326)x+27=0E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{ x}+27=0,    P(2    4    1)P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)

  7. 7

    Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.

    1. g:  x=(111)+λ(121)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},    h:  x=(131)+μ(242)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}

  8. 8

    Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

    1. g:  x=(132)+λ(123)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix} ,    h:  x=(1443)+μ(230)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}

    2. g:  x=(110)+λ(143)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix},    h:  x=(000)+μ(102)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}

    3. g:  x=(614)+λ(311)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix},    h:  x=(5413)+μ(112)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}

  9. 9

    Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

    1. E:  (113)[x(011)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0

        g:  x=(311)+λ(121)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

    2. E:  x=(213)+λ(121)+μ(212)E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix},

      g:  x=(123)+σ(147)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}

  10. 10

    Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

    1. E:  (236)[x(012)]=0E:\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0,    F:  x=(142)+λ(320)+μ(021)F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}

    2. E:  x=(122)+λ(102)+μ(213)E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},    F:  x=(312)+σ(311)+τ(115)F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

    3. E:  (235)[x(011)]=0E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0,    E:  (4610)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0


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