Aufgaben zum Berechnen von Abständen
- 1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
A(5∣−2)B(3 ∣6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
d=(3−5)2+(6−(−2))2
=(−2)2+82
d=4+64=68
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(2∣−2∣1), B(4∣−4∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2ein.
d=(4−2)2+(−4−(−2))2+(2−1)2
d=22+(−2)2+12
d=4+4+1=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(−1∣−2∣2), B(−2∣−4∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−(−1))2+(−4−(−2))2+(4−2)2
d=(−1)2+(−2)2+22
d=1+4+4=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(6∣0∣1), B(1∣0∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(1−6)2+(0−0)2+(1−1)2
d=(−5)2+02+02
d=25=5
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(8∣9∣10), B(2∣6∣8)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−8)2+(6−9)2+(8−10)2
d=(−6)2+(−3)2+(−2)2
d=36+9+4=49=7
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(0∣0∣6), B(0∣0∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−0)2+(0−0)2+(6−0)2
d=02+02+62
d=36=6
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(37∣21∣5), B(13∣14∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(13−37)2+(14−21)2+(5−5)2
d=(−24)2+(−7)2+02
d=576+49=625=25
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(1∣2∣1), B(2∣3∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−1)2+(3−2)2+(−2−1)2
d=12+12+(−3)2
d=1+1+9=11
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(4∣−3∣1), B(−2∣−2∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−4)2+(−2−(−3))2+(−2−1)2
d=(−6)2+(1)2+(−3)2
d=36+1+9=46
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(7∣3∣4), B(0∣−4∣−7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−7)2+(−4−3)2+(−7−4)2
d=(−7)2+(−7)2+(−11)2
d=49+49+121=219
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(13∣17∣6), B(35∣20∣14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(35−13)2+(20−17)2+(14−6)2
d=222+32+82
d=484+9+64=557
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(3∣−2∣−1∣4), B(−1∣−6∣3∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
d=(−1−3)2+(−6−(−2))2+(3−(−1))2+(0−4)2
d=(−4)2+(−4)2+42+(−4)2
d=16+16+16+16=64=8
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- 2
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.
P(1∣−3∣−3), g:x=21−3+λ⋅−131
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−131
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: H:nH∘(x−P)=0.
H:−131∘x1x2x3−1−3−3=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−1)⋅(x1−1)+3⋅(x2+3)+1⋅(x3+3) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−x1+1+3x2+9+x3+3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−(2−λ)+3⋅(1+3λ)+(−3+λ)+13 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−2+λ+3+9λ−3+λ+13 = 0 ↓ Fasse zusammen.
11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Setze λ=−1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=21−3+(−1)⋅−131=3−2−4
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−1)2+(−2−(−3))2+(−4−(−3))2
=22+12+(−1)2
=4+1+1=6
Alternative Lösung
Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.
LP∘n=0LP ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, n ist der Richtungsvektor von g. L wird nun durch die Geradengleichung von g ersetzt, da L ein Punkt auf g sein soll. A ist der Aufpunkt von g.
P−(A+λ⋅n)∘n = 0 ↓ Setze ein.
1−3−3−21−3−λ⋅−131∘−131 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt
(1−2+λ)⋅(−1)+(−3−1−3λ)⋅3+(−3+3−λ)⋅1 = 0 ↓ Vereinfache
1−λ−12−9λ−λ = 0 11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Da jetzt λ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du λ=−1 in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von LP.
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P(5∣0∣0), g:x=111+λ⋅211
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=211
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:211∘x1x2x3−500=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
2⋅(x1−5)+1⋅x2+1⋅x3 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2x1−10+x2+x3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
2⋅(1+2λ)+(1+λ)+(1+λ)−10 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2+4λ+1+λ+1+λ−10 = 0 ↓ Fasse zusammen.
6λ−6 = 0 +6 6λ = 6 :6 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=111+1⋅211=322
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+22+22
=22+22+22
=4+4+4=12=23
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P(−2∣3∣10), g:x=123+λ⋅−432
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−432
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:−432∘x1x2x3−−2310=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−4)⋅(x1+2)+3⋅(x2−3)+2⋅(x3−10) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4x1−8+3x2−9+2x3−20 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−4x1+3x2−2x3−37 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−4⋅(1−4λ)+3⋅(2+3λ)+2⋅(3+2λ)−37 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4+16λ+6+9λ+6+4λ−37 = 0 ↓ Fasse zusammen.
29λ−29 = 0 +29 29λ = 29 :29 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=123+1⋅−432=−355
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(−3−(−2))2+(5−3)2+(5−10)2
=(−1)2+22+(−5)2
=1+4+25=30
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P(5∣−1∣−2,5), g:x=3−63+λ⋅03−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=03−2
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:03−2∘x1x2x3−5−1−2,5=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
3⋅(x2+1)−2⋅(x3+2,5) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
3x2+3−2x3−5 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
3⋅(−6+3λ)−2⋅(3+−2λ)−2 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−18+9λ−6+4λ−2 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−26+13λ = 0 +26 13λ = 26 :13 λ = 2 Setze λ=2 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=3−63+2⋅03−2=30−1
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+(0−(−1))2+(−1−(−2,5))2
=22+12+1,52
=4+1+2,25=7,25
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- 3
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
E:x1+x2−x3−1=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=11−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=11−1=12+12+(−1)2=3
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):31⋅(x1+x2−x3−1)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=31⋅(−1)=31≈0,577
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:4x1+5x2−3x3−8=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=45−3
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=45−3=42+(5)2+(−3)2
=16+25+9=50
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):501⋅(4x1+5x2−3x3−8)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=501⋅(−8)=508≈1,131
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x2−x3+2=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=01−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=01−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x2−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x1−x3+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=10−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=10−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x1−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:18x1−13x2+7x3−22=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=18−137
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=18−137=182+(−13)2+72
=364+169+49=542
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):5421⋅(18x1−13x2+7x3−22)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=5421⋅(−22)=54222≈0,945
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:2x1+8x2−5x3+10=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=28−5
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=28−5=22+82+