Aufgaben zum Berechnen von Abständen
- 1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene in Normalenform auf, die durch den Punkt verläuft und die orthogonal zur Geraden liegt.
Wähle als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: .
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
↓ Multipliziere die Klammern aus.
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene , setze dazu die Koordinaten von in ein und berechne :
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Setze in die Gerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Alternative Lösung
Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.
ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, ist der Richtungsvektor von . wird nun durch die Geradengleichung von ersetzt, da ein Punkt auf sein soll. ist der Aufpunkt von .
↓ Setze ein.
↓ Berechne das Skalarprodukt
↓ Vereinfache
Da jetzt bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von .
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene in Normalenform auf, die durch den Punkt verläuft und die orthogonal zur Geraden liegt.
Wähle als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
.
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
↓ Multipliziere die Klammern aus.
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene , setze dazu die Koordinaten von in ein und berechne :
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Setze in die Gerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene in Normalenform auf, die durch den Punkt verläuft und die orthogonal zur Geraden liegt.
Wähle als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
.
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene , setze dazu die Koordinaten von in ein und berechne :
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Setze in die Gerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene in Normalenform auf, die durch den Punkt verläuft und die orthogonal zur Geraden liegt.
Wähle als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
.
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
↓ Multipliziere die Klammern aus.
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene , setze dazu die Koordinaten von in ein und berechne :
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Setze in die Gerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
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- 3
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt der Ebene gilt
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt der Ebene gilt
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt der Ebene gilt
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs () in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
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- 4
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene . Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt der Ebene gilt
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt der Ebene gilt
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von , und überein.
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
Stelle nun die Gleichung der Ebene in Hessenormalform auf.
Setze nun den Ortsvektor des Punktes in die Hessenormalform der Ebene ein, um den Abstand zu bestimmen.
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- 5
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade auf, die durch den
Punkt verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden ist der Normalenvektor der Ebene .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade auf, die durch den
Punkt verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene , orthogonalen Vektor zu erhalten.
Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Setze in die Hilfserade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade auf, die durch den Punkt verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden ist der Normalenvektor der Ebene .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Setze in die Hilfserade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.
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- 6
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:
wobei der Normalenvektor der Ebene, der Aufpunkt der Ebene und der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Forme 14 um.
↓ Kürze.
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,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: wobei der Normalenvektor der Ebene, der Aufpunkt der
Ebene und der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene .
Setze die Werte in die Formeln ein.
↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
↓ Fasse zusammen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: wobei
der Normalenvektor der Ebene, der Aufpunkt der
Ebene und der Ortsvektor des Punktes ist.
Finde zunächst einen Aufpunkt der Ebene , d.h. suche einen möglichst einfachen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt.
z. B.
Setze die Werte in die Formel ein.
↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
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- 7
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade verläuft und die orthogonal zur Geraden liegt.
Wähle als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Gerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
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- 8
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene in Parameterform auf, die die
Gerade enthält und die parallel zur Geraden verläuft.
D.h. der Aufpunkt der Geraden ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Hilfsebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also .
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,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene in Parameterform auf, die die
Gerade enthält und die parallel zur Geraden verläuft.
D.h. der Aufpunkt der Geraden ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt (Koordinatenursprung!) der Geraden verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Hilfsebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene in Parameterform auf, die die
Gerade enthält und die parallel zur Geraden verläuft.
D.h. der Aufpunkt der Geraden ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Hilfsebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
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- 9
Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen
Lösung mit Hessescher Normalenform
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit multipliziert wird.
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft () kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes von der Ebene bestimmt werden.
Setze in ein:
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
,
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
↓ Vereinfache.
↓ Berechne das Skalarprodukt.
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
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,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit multipliziert wird.
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft () kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes von der Ebene bestimmt werden.
Setze in ein:
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
,
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
Stelle nun eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
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- 10
Berechne den Abstand der beiden Ebenen.
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden auf, die durch den Aufpunkt der Ebene verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
↓ Vereinfache.
↓ Berechne das Skalarprodukt.
↓ Multipliziere die Klammer aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
↓ Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
↓ Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Berechne den Normalenvektor der Ebene , um sie zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
Stelle eine nun Hilfsgeraden auf, die durch den Aufpunkt
der Ebene verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene .
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach v auf.
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
,
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden auf, die durch den Aufpunkt der Ebene verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
↓ Vereinfache.
↓ Berechne das Skalarprodukt.
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
↓ Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
↓ Hast du eine Frage oder Feedback?
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