Aufgaben zum Berechnen von Abständen
- 1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
A(5∣−2)B(3 ∣6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
d=(3−5)2+(6−(−2))2
=(−2)2+82
d=4+64=68
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(2∣−2∣1), B(4∣−4∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2ein.
d=(4−2)2+(−4−(−2))2+(2−1)2
d=22+(−2)2+12
d=4+4+1=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(−1∣−2∣2), B(−2∣−4∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−(−1))2+(−4−(−2))2+(4−2)2
d=(−1)2+(−2)2+22
d=1+4+4=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(6∣0∣1), B(1∣0∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(1−6)2+(0−0)2+(1−1)2
d=(−5)2+02+02
d=25=5
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(8∣9∣10), B(2∣6∣8)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−8)2+(6−9)2+(8−10)2
d=(−6)2+(−3)2+(−2)2
d=36+9+4=49=7
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(0∣0∣6), B(0∣0∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−0)2+(0−0)2+(6−0)2
d=02+02+62
d=36=6
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(37∣21∣5), B(13∣14∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(13−37)2+(14−21)2+(5−5)2
d=(−24)2+(−7)2+02
d=576+49=625=25
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(1∣2∣1), B(2∣3∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−1)2+(3−2)2+(−2−1)2
d=12+12+(−3)2
d=1+1+9=11
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(4∣−3∣1), B(−2∣−2∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−4)2+(−2−(−3))2+(−2−1)2
d=(−6)2+(1)2+(−3)2
d=36+1+9=46
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A(7∣3∣4), B(0∣−4∣−7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−7)2+(−4−3)2+(−7−4)2
d=(−7)2+(−7)2+(−11)2
d=49+49+121=219
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(13∣17∣6), B(35∣20∣14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(35−13)2+(20−17)2+(14−6)2
d=222+32+82
d=484+9+64=557
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A(3∣−2∣−1∣4), B(−1∣−6∣3∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
d=(−1−3)2+(−6−(−2))2+(3−(−1))2+(0−4)2
d=(−4)2+(−4)2+42+(−4)2
d=16+16+16+16=64=8
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- 2
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.
P(1∣−3∣−3), g:x=21−3+λ⋅−131
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−131
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: H:nH∘(x−P)=0.
H:−131∘x1x2x3−1−3−3=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−1)⋅(x1−1)+3⋅(x2+3)+1⋅(x3+3) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−x1+1+3x2+9+x3+3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−(2−λ)+3⋅(1+3λ)+(−3+λ)+13 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−2+λ+3+9λ−3+λ+13 = 0 ↓ Fasse zusammen.
11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Setze λ=−1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=21−3+(−1)⋅−131=3−2−4
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−1)2+(−2−(−3))2+(−4−(−3))2
=22+12+(−1)2
=4+1+1=6
Alternative Lösung
Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.
LP∘n=0LP ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, n ist der Richtungsvektor von g. L wird nun durch die Geradengleichung von g ersetzt, da L ein Punkt auf g sein soll. A ist der Aufpunkt von g.
P−(A+λ⋅n)∘n = 0 ↓ Setze ein.
1−3−3−21−3−λ⋅−131∘−131 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt
(1−2+λ)⋅(−1)+(−3−1−3λ)⋅3+(−3+3−λ)⋅1 = 0 ↓ Vereinfache
1−λ−12−9λ−λ = 0 11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Da jetzt λ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du λ=−1 in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von LP.
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P(5∣0∣0), g:x=111+λ⋅211
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=211
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:211∘x1x2x3−500=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
2⋅(x1−5)+1⋅x2+1⋅x3 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2x1−10+x2+x3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
2⋅(1+2λ)+(1+λ)+(1+λ)−10 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2+4λ+1+λ+1+λ−10 = 0 ↓ Fasse zusammen.
6λ−6 = 0 +6 6λ = 6 :6 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=111+1⋅211=322
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+22+22
=22+22+22
=4+4+4=12=23
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P(−2∣3∣10), g:x=123+λ⋅−432
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−432
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:−432∘x1x2x3−−2310=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−4)⋅(x1+2)+3⋅(x2−3)+2⋅(x3−10) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4x1−8+3x2−9+2x3−20 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−4x1+3x2−2x3−37 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−4⋅(1−4λ)+3⋅(2+3λ)+2⋅(3+2λ)−37 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4+16λ+6+9λ+6+4λ−37 = 0 ↓ Fasse zusammen.
29λ−29 = 0 +29 29λ = 29 :29 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=123+1⋅−432=−355
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(−3−(−2))2+(5−3)2+(5−10)2
=(−1)2+22+(−5)2
=1+4+25=30
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P(5∣−1∣−2,5), g:x=3−63+λ⋅03−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=03−2
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:03−2∘x1x2x3−5−1−2,5=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
3⋅(x2+1)−2⋅(x3+2,5) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
3x2+3−2x3−5 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
3⋅(−6+3λ)−2⋅(3+−2λ)−2 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−18+9λ−6+4λ−2 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−26+13λ = 0 +26 13λ = 26 :13 λ = 2 Setze λ=2 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=3−63+2⋅03−2=30−1
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+(0−(−1))2+(−1−(−2,5))2
=22+12+1,52
=4+1+2,25=7,25
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- 3
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
E:x1+x2−x3−1=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=11−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=11−1=12+12+(−1)2=3
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):31⋅(x1+x2−x3−1)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=31⋅(−1)=31≈0,577
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:4x1+5x2−3x3−8=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=45−3
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=45−3=42+(5)2+(−3)2
=16+25+9=50
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):501⋅(4x1+5x2−3x3−8)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=501⋅(−8)=508≈1,131
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x2−x3+2=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=01−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=01−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x2−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x1−x3+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=10−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=10−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x1−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:18x1−13x2+7x3−22=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=18−137
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=18−137=182+(−13)2+72
=364+169+49=542
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):5421⋅(18x1−13x2+7x3−22)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=5421⋅(−22)=54222≈0,945
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:2x1+8x2−5x3+10=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=28−5
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=28−5=22+82+(−5)2
=4+64+25=93
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−931⋅(2x1+8x2−5x3+10)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−931⋅10=9310≈1,037
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:12x1+2x2+5x3−31=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=1225
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=1225=122+22+52
=144+4+25=173
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1731⋅(12x1+2x2+5x3−31)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=1731⋅(−31)=17331≈2,357
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:100x1−13x2+43x3−126=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=100−1343
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=100−1343=1002+(−13)2+432
=10000+169+1849=12018
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):120181⋅(100x1−13x2+43x3−126)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=120181⋅(−126)=12018126≈1,149
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- 4
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.
P(4∣3∣1), E:3x1+x2−2x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=31−2
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=31−2=32+12+(−2)2=9+1+4=14
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):141⋅(3x1+x2−2x3−5)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 141⋅(3⋅4+3−2⋅1−5) = 141⋅8 = 148 ≈ 2,138 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−1∣1∣0), E:x1+2x2−x3−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E. Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=12−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=12−1=12+22+(−1)2=1+4+1=6
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):61⋅(x1+2x2−x3−3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 61⋅(−1+2−3) = 61⋅(−2) = 62 ≈ 0,816 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(1∣8∣5), E:2x1−x2+2x3−7=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=2−12
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=2−12=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):31⋅(2x1−x2+2x3−7)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene HNF(E):31⋅(2x1−x2+2x3−7)=0 ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 31⋅(2−8+2⋅5−7) = 31⋅(−3) = 33 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(0∣8∣15), E:4x1−3x2+x3−2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3überein.
n=4−31
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=4−31=42+(−3)2+12=16+9+1=26
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):261⋅(4x1−3x2+x3−2)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 261⋅(−3⋅8+15−2) = 261⋅(−11) = 2611 ≈ 2,157 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(2∣−1∣3), E:5x1+x2+x3−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=511
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=511=52+12+12=25+1+1=27
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):271⋅(5x1+x2+x3−1)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 271⋅(5⋅2−1+3−1) = 271⋅11 = 2711 ≈ 2,117 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(7∣8∣9), E:x1+x2+3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3überein.
n=110
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=110=12+12=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−3
HNF(E):−21⋅(x1+x2+3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = −21⋅(7+8+3) = −21⋅18 = 218 = 92 ≈ 12,728 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(5∣−4∣6), E:x3+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=001
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
n=001=12=1
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−1⋅(x3+2)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=∣−1⋅(6+2)∣=8
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(1∣3∣3), E:10x1−7x2+2x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=10−72
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=10−72=102+(−7)2+22=100+49+4=153
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1531⋅(10x1+−7x2+2x3−5)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 1531⋅(10−7⋅3+2⋅3−5) = 1531⋅10 = 15310 ≈ 0,808 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(2∣0∣7), E:8x1+3x2−5x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=83−5
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=83−5=82+32+(−5)2=64+9+25=98
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):981⋅(8x1+3x2−5x3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 981⋅(8⋅2−5⋅7) = 981⋅−19 = 9819 ≈ 1,919 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(100∣200∣50), E:9x1−4x2−7x3−11=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=9−4−7
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=9−4−7=92+(−4)2+(−7)2=81+16+49=146
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1461⋅(9x1−4x2−7x3−11)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 1461⋅(9⋅100−4⋅200−7⋅50−11) = 1461⋅(−261) = 146261 ≈ 21,601 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
E:1−23∘x−120=0, P(3∣−1∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den
Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h ist der Normalenvektor der Ebene E.
h:x=3−12+λ⋅1−23
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
1−23∘3−12+λ⋅1−23−120=0
Berechne das Skalarprodukt.
3+λ−1+(−2)⋅(−1−2λ−2)+3⋅(2+3λ)=0
3+λ−1+2+4λ+4+6+9λ=0
14λ+14=0
Löse nach λ auf.
λ=−1
Setze λ=−1 in die Hilfsgerade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=3−12+(−1)⋅1−23=21−1
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(2−3)2+(1−(−1))2+(−1−2)2
=(−1)2+22+(−3)2
=1+4+9=14
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E:X=111+λ⋅211+μ⋅113, P(1∣−3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den
Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene E, orthogonalen Vektor zu erhalten.
211×113=2−51
Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
h:x=1−31+σ⋅2−51
Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
E:2−51∘x−111=0
Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
2−51∘1−31+σ⋅2−51−111=0
2⋅(1+2σ−1)+(−5)⋅(−3−5σ−1)+1+σ−1=0
2+4σ−2+15+25σ+5+1+σ−1=0
30σ+20=0
σ=−32
Setze σ=−32 in die Hilfserade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=1−31+(−32)⋅2−51=−313131
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(−31−1)2+(31−(−3))2+(31−1)2
=(−34)2+(310)2+(−32)2
=916+9100+94
=9120=2310=3020
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E:−32−6∘x+27=0 , P(2∣−4∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h ist der Normalenvektor der Ebene E.
h:x=2−41+λ⋅−32−6
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.
−32−6∘2−41+λ⋅−32−6+27=0
Berechne das Skalarprodukt.
−3⋅(2−3λ)+2⋅(−4+2λ)+(−6)⋅(1−6λ)+27=0
−6+9λ−8+4λ−6+36λ+27=0
49λ+7=0
λ=−71
Setze λ=−71 in die Hilfserade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=2−41+(−71)⋅−32−6=717−730713
Berechne den Abstand der Punkte P und L .
d(P;L)=(717−2)2+(−730−(−4))2+(713−1)2
=(73)2+(−72)2+(76)2
=499+494+4936=1
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- 6
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.
E:1−23∘x−120=0, P(3∣−1∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:
d=nn∘[p−a],wobei n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
d = 1−231−23∘3−12−120 = 12+(−2)2+323−1+(−2)⋅(−1−2)+3⋅2 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
= 1+4+92+6+6 ↓ Fasse zusammen.
= 1414 = 1414 ↓ Forme 14 um.
= 1414⋅14 ↓ Kürze.
= 14 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:111+λ⋅211+μ⋅113, P(1∣−3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: d=∣n∣n∘[p−a], wobei n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der
Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene E.
211×113=2−51
Setze die Werte in die Formeln ein.
d = 2−512−51∘1−31−111 ↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
= 22+(−5)2+12(−5)⋅(−3−1) ↓ Fasse zusammen.
= 4+25+120 = 3020 = 3020 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:−32−6∘x+27=0, P(2∣−4∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: d=∣n∣n∘[p−a], wobei
n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der
Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Finde zunächst einen Aufpunkt a der Ebene E, d.h. suche einen möglichst einfachen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt.
z. B. a=900
Setze die Werte in die Formel ein.
d = −32−6−32−6∘2−41−900 ↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
= (−3)2+22+(−6)2−3⋅(2−9)+2⋅(−4)+(−6)⋅1 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
= 9+4+3621−8−6 ↓ Fasse zusammen.
= 497 = 77 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 7
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.
g:x=111+λ⋅1−21, h:x=13−1+μ⋅−24−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade h verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=1−21Wähle P=13−1 als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: H:nH∘(x−P)=0 .
H:nH∘(x−P) = 0 H:1−21∘x1x2x3−13−1 = 0 H:x1−1+(−2)⋅(x2−3)+x3+1 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
H:x1−1−2x2+6+x3+1 = 0 ↓ Fasse zusammen.
H:x1−2x2+x3+6 = 0 Bestimme den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsebene H.
(1+λ)+(−2)⋅(1−2λ)+(1+λ)+6 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
1+λ−2+4λ+1+λ+6 = 0 ↓ Fasse zusammen.
6+6λ = 0 ↓ Löse nach λ auf.
λ = −1 Setze λ=−1 in die Gerade g ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
S=111+(−1)⋅1−21=030
Berechne den Abstand der Punkte P und S.
d(P;S) = (0−1)2+(3−3)2+(0−(−1))2 = (−1)2+12 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 8
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.
g:x=1−32+λ⋅12−3 , h:x=1443+μ⋅2−30
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=1−32+λ⋅12−3+μ⋅2−30
H:−9−6−7∘x−1−32=0
H:−9x1−6x2−7x3+5=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt c der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=1443+σ⋅−9−6−7
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden k mit der Hilfsebene H.
0 = −9⋅(14−9σ)+(−6)⋅(4−6σ)+(−7)⋅(3−7σ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −126+81σ−24+36σ−21+49σ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = −166+166σ +166 ↓ Löse nach σ auf.
166 = 166σ :166 1 = σ Setze σ=1 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=1443+1⋅−9−6−7=5−2−4
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (5−14)2+(−2−4)2+(−4−3)2 = (−9)2+(−6)2+(−7)2 = 81+36+49 = 166 Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also 166.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=110+λ⋅14−3, h:x=000+μ⋅10−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=100+λ⋅14−3+μ⋅10−2
H:−8−1−4∘x−110=0
H:−8x1−x2−4x3+9=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt a(Koordinatenursprung!) der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=000+σ⋅−8−1−4
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Hilfsebene H.
0 = −8⋅(−8σ)+(−1)⋅(−σ)+(−4)⋅(−4σ)+9 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 64σ+σ+16σ+9 ↓ Fasse zusammen.
0 = 9+81σ −9 ↓ Löse nach σ auf.
−9 = 81σ :81 −91 = σ Setze σ=−91 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=−91⋅−8−1−4=989194
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (98)2+(91)2+(94)2 = 8164+811+8116 = 8181 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=614+λ⋅−311, h:x=5413+μ⋅11−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=614+λ⋅−311+μ⋅11−2
H:−3−5−4∘x−614=0
H:−3x1−5x2−4x3+39=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt a der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=5413+σ⋅−3−5−4
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Hilfsebene H.
0 = −3⋅(5−3σ)−5⋅(4−5σ)+(−4)⋅(13−4σ)+39 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −15+9σ−20+25σ−52+16σ+39 0 = −48+50σ +48 ↓ Löse nach σ auf.
48 = 50σ :50 2524 = σ Setze σ=2524 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=5413+2524⋅−3−5−4=2553−5425229
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (2553−5)2+(−54−4)2+(25229−13)2 = (−2572)2+(−524)2+(−2596)2 = 6255184+25576+6259216 = 251152 = 5242 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 9
Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.
E:1−1−3∘x−0−1−1=0
g:x=31−1+λ⋅1−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen
Lösung mit Hessescher Normalenform
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=12+(−1)2+(−3)2=11
EHNF:111⋅1−1−3∘x−0−1−1=0
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=31−1
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====111⋅1−1−3∘31−1−0−1−11111−1−3∘320111(3−2+0)111111
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:1−1−3∘x−0−1−1=0,
g:x=31−1+λ⋅1−21=a+λv
h:x=31−1+μ⋅1−1−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
0 = 1−1−3∘31−1+μ⋅1−1−3−0−1−1 ↓ Vereinfache.
0 = 1−1−3∘320+μ⋅1−1−3 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
0 = 3+μ+(−1)⋅(2−μ)+(−3)⋅(−3μ) ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 3+μ−2+μ+9μ ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+11μ −1 ↓ Löse nach μ auf.
−1 = 11μ :11 μ = −111 Setze μ=−111 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=31−1+(−111)⋅1−1−3=11321112−118
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A;S) = (1132−3)2+(1112−1)2+(−118−(−1))2 = (−111)2+(111)2+(113)2 = 1211+1211+1219 = 12111 = 111 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=(−5)2+(−4)2+(−3)2=50
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=12−3
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====501⋅−5−4−3∘12−3−21−3501−5−4−3∘−110501(5−4+0)501501
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 501=102.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47=a+σ⋅v
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
E:−5x1−4x2−3x3+5=0
Stelle nun eine Hilfsgerade h auf, die durch den Aufpunkt a der Geraden g verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade h.
h:x=12−3+τ⋅−5−4−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E.
0 = −5⋅(1−5τ)+(−4)⋅(2−4τ)+(−3)⋅(−3−3τ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −5+25τ−8+16τ+9+9τ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+50τ −1 ↓ Löse nach τ auf.
−1 = 50τ :50 τ = −501 Setze τ=−501 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=12−3+(−501)⋅−5−4−3=10112552−50147
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A; S) = (1011−1)2+(2552−2)2+(−50147−(−3))2 = (101)2+(252)2+(503)2 = 1001+6254+25009 = 501 = 102 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 102.
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- 10
Berechne den Abstand der beiden Ebenen.
E:−236∘x−012=0, F:x=142+λ⋅320+μ⋅0−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=142+σ⋅−236
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
−236∘142+σ⋅−236−012 = 0 ↓ Vereinfache.
−236∘130+σ⋅−236 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
−2⋅(1−2σ)+3⋅(3+3σ)+6⋅(6σ) = 0 ↓ Multipliziere die Klammer aus.
−2+4σ+9+9σ+36σ = 0 ↓ Fasse zusammen.
7+49σ = 0 ↓ Löse nach σ auf.
σ = −71 ↓ Setze σ=−71 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=142+(−71)⋅−236 = 7972578 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(A2;S) = (79−1)2+(725−4)2+(78−2)2 = (72)2+(−73)2+(−76)2 = 494+499+4936 = 4949 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=−122+λ⋅10−2+μ⋅2−13, F:x=3−1−2+σ⋅3−11+τ⋅1−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Berechne den Normalenvektor der Ebene E, um sie zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
nE=10−2×2−13=−2−7−1
⇒E:−2−7−1∘x−−122=0
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
E:−2x1−7x2−x3+14=0
Stelle eine nun Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a
der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=3−1−2+ν⋅−2−7−1
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E.
−2⋅(3−2ν)+(−7)⋅(−1−7ν)+(−1)⋅(−2−ν)+14 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−6+4ν+7+49ν+2+ν+14 = 0 ↓ Fasse zusammen.
17+54v = 0 ↓ Löse nach v auf.
v = −5417 Setze ν=−5417 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S = 3−1−2+(−5417)⋅−2−7−1 = 27985465−5491 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (2798−3)2+(5465−(−1))2+(−5491−(−2))2 = (2717)2+(54119)2+(5417)2 = 729289+291614161+2916289 = 54289 = 3617 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:2−35∘x−0−1−1=0, E:−46−10∘x−120=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=120+λ⋅2−35
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
2−35∘120+λ⋅2−35−0−1−1 = 0 ↓ Vereinfache.
2−35∘131+λ⋅2−35 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
2⋅(1+2λ)+(−3)⋅(3−3λ)+5⋅(1+5λ) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2+4λ−9+9λ+5+25λ = 0 ↓ Fasse zusammen.
−2+38λ = 0 ↓ Löse nach λ auf.
λ = 191 ↓ Setze λ=191 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S = 120+191⋅2−35=19211935195 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (1921−1)2+(1935−2)2+(195)2 = (192)2+(−193)2+(195)2 = 3614+3619+36125 = 36138 = 192 = 382 Hast du eine Frage oder Feedback?
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