Aufgaben zum Berechnen von Abständen

1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
1. $A (5 | - 2) B (3 | 6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
  $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
  $d = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(6 - (- 2))}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 2)}^{2} + 8^{2}}$
  $d = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$
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2. $A (2 | - 2 | 1)$ , $B (4 | - 4 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ ein.
  $d = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(- 4 - (- 2))}^{2} + {(2 - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}$
  $= \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
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3. $A (- 1 | - 2 | 2)$ , $B (- 2 | - 4 | 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(- 2 - (- 1))}^{2} + {(- 4 - (- 2))}^{2} + {(4 - 2)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}$
  $= \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
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4. $A (6 | 0 | 1)$ , $B (1 | 0 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(1 - 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 5)}^{2} + 0^{2} + 0^{2}}$
  $= \sqrt{25} = 5$
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5. $A (8 | 9 | 10)$ , $B (2 | 6 | 8)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(2 - 8)}^{2} + {(6 - 9)}^{2} + {(8 - 10)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$
  $= \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$
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6. $A (0 | 0 | 6)$ , $B (0 | 0 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(6 - 0)}^{2}}$
  $= \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 6^{2}}$
  $= \sqrt{36} = 6$
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7. $A (37 | 21 | 5)$ , $B (13 | 14 | 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(13 - 37)}^{2} + {(14 - 21)}^{2} + {(5 - 5)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 24)}^{2} + {(- 7)}^{2} + 0^{2}}$
  $= \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$
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8. $A (1 | 2 | 1)$ , $B (2 | 3 | - 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 3)}^{2}}$
  $= \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$
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9. $A (4 | - 3 | 1)$ , $B (- 2 | - 2 | - 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(- 2 - 4)}^{2} + {(- 2 - (- 3))}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(1)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$
  $= \sqrt{36 + 1 + 9} = \sqrt{46}$
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10. $A (7 | 3 | 4)$ , $B (0 | - 4 | - 7)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(0 - 7)}^{2} + {(- 4 - 3)}^{2} + {(- 7 - 4)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 11)}^{2}}$
  $= \sqrt{49 + 49 + 121} = \sqrt{219}$
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11. $A (13 | 17 | 6)$ , $B (35 | 20 | 14)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})}$ ein.
  $d = \sqrt{{(35 - 13)}^{2} + {(20 - 17)}^{2} + {(14 - 6)}^{2}}$
  $= \sqrt{22^{2} + 3^{2} + 8^{2}}$
  $= \sqrt{484 + 9 + 64} = \sqrt{557}$
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12. $A (3 | - 2 | - 1 | 4)$ , $B (- 1 | - 6 | 3 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
  $d = \sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(- 6 - (- 2))}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2} + {(0 - 4)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 4^{2} + {(- 4)}^{2}}$
  $= \sqrt{16 + 16 + 16 + 16} = \sqrt{64} = 8$
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Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.

$P (1 | - 3 | - 3)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

$P (5 | 0 | 0)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$2 \cdot (x_{1} - 5) + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$2 x_{1} - 10 + x_{2} + x_{3}$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$2 \cdot (1 + 2 λ) + (1 + λ) + (1 + λ) - 10$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$2 + 4 λ + 1 + λ + 1 + λ - 10$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$6 λ - 6$ $=$ $0$ $+ 6$
$6 λ$ $=$ $6$ $: 6$
$λ$ $=$ $1$
Setze $λ = 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$
$= \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$
$= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$
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$P (- 2 | 3 | 10)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 10 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$(- 4) \cdot (x_{1} + 2) + 3 \cdot (x_{2} - 3) + 2 \cdot (x_{3} - 10)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 x_{1} - 8 + 3 x_{2} - 9 + 2 x_{3} - 20$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$- 4 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} - 37$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$- 4 \cdot (1 - 4 λ) + 3 \cdot (2 + 3 λ) + 2 \cdot (3 + 2 λ) - 37$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 + 16 λ + 6 + 9 λ + 6 + 4 λ - 37$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$29 λ - 29$ $=$ $0$ $+ 29$
$29 λ$ $=$ $29$ $: 29$
$λ$ $=$ $1$
Setze $λ = 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{(- 3 - (- 2))^{2} + (5 - 3)^{2} + (5 - 10)^{2}}$
$= \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 5)}^{2}}$
$= \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$
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$P (5 | - 1 | - 2,5)$ , $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
$\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
$H : (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ - 2,5 \end{array})] = 0$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
$3 \cdot (x_{2} + 1) - 2 \cdot (x_{3} + 2,5)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$3 x_{2} + 3 - 2 x_{3} - 5$ $=$ $0$
Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ , setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $λ$ :
$3 \cdot (- 6 + 3 λ) - 2 \cdot (3 + - 2 λ) - 2$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$- 18 + 9 λ - 6 + 4 λ - 2$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$- 26 + 13 λ$ $=$ $0$ $+ 26$
$13 λ$ $=$ $26$ $: 13$
$λ$ $=$ $2$
Setze $λ = 2$ in die Gerade $g$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
$\vec{L} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
$d (P; L) = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - (- 2,5))}^{2}}$
$= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + {1,5}^{2}}$
$= \sqrt{4 + 1 + 2,25} = \sqrt{7,25}$
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3
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
1. $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$
  
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{3}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (- 1) | = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$
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2. $E : 4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8 = 0$
  
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(5)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$
  $= \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (4 x_{1} + 5 x_{2} - 3 x_{3} - 8) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (- 8) | = \frac{8}{\sqrt{50}} \approx 1,131$
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3. $E : x_{2} - x_{3} + 2 = 0$
  
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
  $HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{2} - x_{3} + 2) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$
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4. $E : x_{1} - x_{3} + 2 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
  $HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} - x_{3} + 2) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 | = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1,414$
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5. $E : 18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 18 \\ - 13 \\ 7 \end{array}) | = \sqrt{18^{2} + {(- 13)}^{2} + 7^{2}}$
  $= \sqrt{364 + 169 + 49} = \sqrt{542}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (18 x_{1} - 13 x_{2} + 7 x_{3} - 22) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{542}} \cdot (- 22) | = \frac{22}{\sqrt{542}} \approx 0,945$
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6. $E : 2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 8^{2} + {(- 5)}^{2}}$
  $= \sqrt{4 + 64 + 25} = \sqrt{93}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
  $HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot (2 x_{1} + 8 x_{2} - 5 x_{3} + 10) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | - \frac{1}{\sqrt{93}} \cdot 10 | = \frac{10}{\sqrt{93}} \approx 1,037$
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7. $E : 12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \\ 5 \end{array}) | = \sqrt{12^{2} + 2^{2} + 5^{2}}$
  $= \sqrt{144 + 4 + 25} = \sqrt{173}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (12 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} - 31) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{173}} \cdot (- 31) | = \frac{31}{\sqrt{173}} \approx 2,357$
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8. $E : 100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
  Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 100 \\ - 13 \\ 43 \end{array}) | = \sqrt{100^{2} + {(- 13)}^{2} + 43^{2}}$
  $= \sqrt{10000 + 169 + 1849} = \sqrt{12018}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (100 x_{1} - 13 x_{2} + 43 x_{3} - 126) = 0$
  Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\vec{0}$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | \frac{1}{\sqrt{12018}} \cdot (- 126) | = \frac{126}{\sqrt{12018}} \approx 1,149$
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4
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.
1. $P (4 | 3 | 1)$ , $E : 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 |$
  $=$ $\frac{8}{\sqrt{14}}$
  $\approx$ $2,138$
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2. $P (- 1 | 1 | 0)$ , $E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ . Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) |$
  $=$ $\frac{2}{\sqrt{6}}$
  $\approx$ $0,816$
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3. $P (1 | 8 | 5)$ , $E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) |$
  $=$ $| \frac{1}{3} \cdot (- 3) |$
  $=$ $\frac{3}{3}$
  $=$ $1$
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4. $P (0 | 8 | 1 5)$ , $E : 4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) |$
  $=$ $\frac{11}{\sqrt{26}}$
  $\approx$ $2,157$
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5. $P (2 | - 1 | 3)$ , $E : 5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 |$
  $=$ $\frac{11}{\sqrt{27}}$
  $\approx$ $2,117$
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6. $P (7 | 8 | 9)$ , $E : x_{1} + x_{2} + 3 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
  Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 3$
  $HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} + x_{2} + 3) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) |$
  $=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 |$
  $=$ $\frac{18}{\sqrt{2}}$
  $=$ $9 \sqrt{2}$
  $\approx$ $12,728$
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7. $P (5 | - 4 | 6)$ , $E : x_{3} + 2 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
  Der Normalenvektor ist bereits normiert.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2}} = 1$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
  $HNF (E) : - 1 \cdot (x_{3} + 2) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E) = | - 1 \cdot (6 + 2) | = 8$
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8. $P (1 | 3 | 3)$ , $E : 10 x_{1} - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{10^{2} + {(- 7)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{100 + 49 + 4} = \sqrt{153}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 x_{1} + - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 |$
  $=$ $\frac{10}{\sqrt{153}}$
  $\approx$ $0,808$
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9. $P (2 | 0 | 7)$ , $E : 8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3} = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{8^{2} + 3^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{64 + 9 + 25} = \sqrt{98}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3}) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 |$
  $=$ $\frac{19}{\sqrt{98}}$
  $\approx$ $1,919$
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10. $P (100 | 200 | 50)$ , $E : 9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
  Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
  Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array})$
  Berechne den Betrag des Normalenvektors.
  $\begin{array}{l} | \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array}) | = \sqrt{9^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 7)}^{2}} \\ = \sqrt{81 + 16 + 49} = \sqrt{146} \end{array}$
  Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
  $HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11) = 0$
  Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
  $d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) |$
  $=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) |$
  $=$ $\frac{261}{\sqrt{146}}$
  $\approx$ $21,601$
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5
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
1. $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ , $P (3 | - 1 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
  Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den
  Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
  Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ .
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$
  Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
  Berechne das Skalarprodukt.
  $3 + λ - 1 + (- 2) \cdot (- 1 - 2 λ - 2) + 3 \cdot (2 + 3 λ) = 0$
  $3 + λ - 1 + 2 + 4 λ + 4 + 6 + 9 λ = 0$
  $14 λ + 14 = 0$
  Löse nach $λ$ auf.
  $λ = - 1$
  Setze $λ = - 1$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
  $\vec{L} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
  $d (P; L) = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(1 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}}$
  $= \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$
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2. $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $P (1 | - 3 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
  Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den
  Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
  Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene $E$ , orthogonalen Vektor zu erhalten.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
  Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
  Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
  $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$
  Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
  Berechne das Skalarprodukt.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$
  $2 \cdot (1 + 2 σ - 1) + (- 5) \cdot (- 3 - 5 σ - 1) + 1 + σ - 1 = 0$
  $2 + 4 σ - 2 + 15 + 25 σ + 5 + 1 + σ - 1 = 0$
  $30 σ + 20 = 0$
  $σ = - \frac{2}{3}$
  Setze $σ = - \frac{2}{3}$ in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
  $\vec{L} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{2}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array})$
  Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
  $d (P; L) = \sqrt{{(- \frac{1}{3} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{3} - (- 3))}^{2} + {(\frac{1}{3} - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(- \frac{4}{3})}^{2} + {(\frac{10}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$
  $= \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{100}{9} + \frac{4}{9}}$
  $= \sqrt{\frac{120}{9}} = 2 \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{20}{\sqrt{30}}$
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3. $E : (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 27 = 0$ , $P (2 | - 4 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
  Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
  Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ .
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array})$
  Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.
  $(\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array})] + 27 = 0$
  Berechne das Skalarprodukt.
  $- 3 \cdot (2 - 3 λ) + 2 \cdot (- 4 + 2 λ) + (- 6) \cdot (1 - 6 λ) + 27 = 0$
  $- 6 + 9 λ - 8 + 4 λ - 6 + 36 λ + 27 = 0$
  $49 λ + 7 = 0$
  $λ = - \frac{1}{7}$
  Setze $λ = - \frac{1}{7}$ in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.
  $\vec{L} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{1}{7}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{17}{7} \\ - \frac{30}{7} \\ \frac{13}{7} \end{array})$
  Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$ .
  $d (P; L) = \sqrt{{(\frac{17}{7} - 2)}^{2} + {(- \frac{30}{7} - (- 4))}^{2} + {(\frac{13}{7} - 1)}^{2}}$
  $= \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{2}{7})}^{2} + {(\frac{6}{7})}^{2}}$
  $= \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{4}{49} + \frac{36}{49}} = 1$
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Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ , $P (3 | - 1 | 2)$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $P (1 | - 3 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: $d = | \frac{\vec{n} \circ [\vec{p} - \vec{a}]}{| \vec{n} |} |,$ wobei $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene, $\vec{a}$ der Aufpunkt der
Ebene und $\vec{p}$ der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene $E$ .
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
Setze die Werte in die Formeln ein.
$d$ $=$ $| \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) |} |$
↓
Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
$=$ $| \frac{(- 5) \cdot (- 3 - 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} |$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $| \frac{20}{\sqrt{4 + 25 + 1}} |$
$=$ $| \frac{20}{\sqrt{30}} |$
$=$ $\frac{20}{\sqrt{30}}$
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$E : (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 27 = 0$ , $P (2 | - 4 | 1)$

7
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.
1. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
  Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade $h$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.
  $\Rightarrow \vec{n_{H}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
  Wähle $\vec{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: $H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P}) = 0$ .
  $H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$ $=$ $0$
  $H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$ $=$ $0$
  $H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$ $=$ $0$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$ $=$ $0$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$ $=$ $0$
  Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
  $(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$ $=$ $0$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$ $=$ $0$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $6 + 6 λ$ $=$ $0$
  ↓
  Löse nach $λ$ auf.
  $λ$ $=$ $- 1$
  Setze $λ = - 1$ in die Gerade $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
  $\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $S$ .
  $d (P; S)$ $=$ $\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
  $=$ $\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
  $=$ $\sqrt{2}$
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Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um .
$H : (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
$H : - 8 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} + 9 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ (Koordinatenursprung!) der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $64 σ + σ + 16 σ + 9$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $9 + 81 σ$ $- 9$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$- 9$ $=$ $81 σ$ $: 81$
$- \frac{1}{9}$ $=$ $σ$
Setze $σ = - \frac{1}{9}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = - \frac{1}{9} \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{9} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{4}{9} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
$=$ $\sqrt{\frac{81}{81}}$
$=$ $1$
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$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die
Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.
D.h. der Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
$H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.
$H : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 4 \end{array})] = 0$
$H : - 3 x_{1} - 5 x_{2} - 4 x_{3} + 39 = 0$
Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .
$0$ $=$ $- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$ $=$ $- 48 + 50 σ$ $+ 48$
↓
Löse nach $σ$ auf.
$48$ $=$ $50 σ$ $: 50$
$\frac{24}{25}$ $=$ $σ$
Setze $σ = \frac{24}{25}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 13 \end{array}) + \frac{24}{25} \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{53}{25} \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{229}{25} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1152}{25}}$
$=$ $\frac{24 \sqrt{2}}{5}$
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Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\frac{1}{| \vec{n} |}$ multipliziert wird.
$| \vec{n} | = \sqrt{(- 5)^{2} + (- 4)^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{50}$
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft ( $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ ) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes $A$ von der Ebene bestimmt werden.
$\vec{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
Setze $\vec{O A}$ in $E_{H N F}$ ein:
$\begin{aligned} d (A; E) = & | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (5 - 4 + 0) | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} | \\ = & \frac{1}{\sqrt{50}} \end{aligned}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$ .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array}) = \vec{a} + σ \cdot \vec{v}$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
$E : - 5 x_{1} - 4 x_{2} - 3 x_{3} + 5 = 0$
Stelle nun eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .
$0$ $=$ $- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $1 + 50 τ$ $- 1$
↓
Löse nach $τ$ auf.
$- 1$ $=$ $50 τ$ $: 50$
$τ$ $=$ $- \frac{1}{50}$
Setze $τ = - \frac{1}{50}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + (- \frac{1}{50}) \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{11}{10} \\ \frac{52}{25} \\ - \frac{147}{50} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .
$d (A; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{50}}$
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .
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Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

$E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ , $E : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$(- 1) \cdot (x_{1} - 1) + 3 \cdot (x_{2} + 3) + 1 \cdot (x_{3} + 3)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- x_{1} + 1 + 3 x_{2} + 9 + x_{3} + 3$	$=$	$0$

$- (2 - λ) + 3 \cdot (1 + 3 λ) + (- 3 + λ) + 13$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 2 + λ + 3 + 9 λ - 3 + λ + 13$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$11 λ + 11$	$=$	$0$	$- 11$
$11 λ$	$=$	$- 11$	$: 11$
$λ$	$=$	$- 1$

$\vec{P - (\vec{A} + λ \cdot \vec{n})} \circ \vec{n}$	$=$	$0$
	↓	Setze ein.
$[\begin{array}{c} (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) \end{array} - λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt
$(1 - 2 + λ) \cdot (- 1) + (- 3 - 1 - 3 λ) \cdot 3 + (- 3 + 3 - λ) \cdot 1$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache
$1 - λ - 12 - 9 λ - λ$	$=$	$0$
$11 λ + 11$	$=$	$0$	$- 11$
$11 λ$	$=$	$- 11$	$: 11$
$λ$	$=$	$- 1$

$2 \cdot (x_{1} - 5) + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 x_{1} - 10 + x_{2} + x_{3}$	$=$	$0$

$2 \cdot (1 + 2 λ) + (1 + λ) + (1 + λ) - 10$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 + 4 λ + 1 + λ + 1 + λ - 10$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 λ - 6$	$=$	$0$	$+ 6$
$6 λ$	$=$	$6$	$: 6$
$λ$	$=$	$1$

$(- 4) \cdot (x_{1} + 2) + 3 \cdot (x_{2} - 3) + 2 \cdot (x_{3} - 10)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 x_{1} - 8 + 3 x_{2} - 9 + 2 x_{3} - 20$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 4 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} - 37$	$=$	$0$

$- 4 \cdot (1 - 4 λ) + 3 \cdot (2 + 3 λ) + 2 \cdot (3 + 2 λ) - 37$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 4 + 16 λ + 6 + 9 λ + 6 + 4 λ - 37$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$29 λ - 29$	$=$	$0$	$+ 29$
$29 λ$	$=$	$29$	$: 29$
$λ$	$=$	$1$

$3 \cdot (x_{2} + 1) - 2 \cdot (x_{3} + 2,5)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 x_{2} + 3 - 2 x_{3} - 5$	$=$	$0$

$3 \cdot (- 6 + 3 λ) - 2 \cdot (3 + - 2 λ) - 2$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 18 + 9 λ - 6 + 4 λ - 2$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 26 + 13 λ$	$=$	$0$	$+ 26$
$13 λ$	$=$	$26$	$: 13$
$λ$	$=$	$2$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 \|$
	$=$	$\frac{8}{\sqrt{14}}$
	$\approx$	$2,138$

$d (P; S)$	$=$	$\sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(0 - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$
	$=$	$\sqrt{2}$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(5 - 14)}^{2} + {(- 2 - 4)}^{2} + {(- 4 - 3)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{81 + 36 + 49}$
	$=$	$\sqrt{166}$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + \frac{16}{81}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{81}{81}}$
	$=$	$1$

$0$	$=$	$- 3 \cdot (5 - 3 σ) - 5 \cdot (4 - 5 σ) + (- 4) \cdot (13 - 4 σ) + 39$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 15 + 9 σ - 20 + 25 σ - 52 + 16 σ + 39$
$0$	$=$	$- 48 + 50 σ$	$+ 48$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$48$	$=$	$50 σ$	$: 50$
$\frac{24}{25}$	$=$	$σ$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) \|$
	$=$	$\frac{2}{\sqrt{6}}$
	$\approx$	$0,816$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (- 3) \|$
	$=$	$\frac{3}{3}$
	$=$	$1$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{26}}$
	$\approx$	$2,157$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{27}}$
	$\approx$	$2,117$

$d (0; E)$	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) \|$
	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 \|$
	$=$	$\frac{18}{\sqrt{2}}$
	$=$	$9 \sqrt{2}$
	$\approx$	$12,728$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 \|$
	$=$	$\frac{10}{\sqrt{153}}$
	$\approx$	$0,808$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 \|$
	$=$	$\frac{19}{\sqrt{98}}$
	$\approx$	$1,919$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) \|$
	$=$	$\frac{261}{\sqrt{146}}$
	$\approx$	$21,601$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \|} \|$
	$=$	$\| \frac{3 - 1 + (- 2) \cdot (- 1 - 2) + 3 \cdot 2}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{1 + 4 + 9}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{14}{\sqrt{14}} \|$
	$=$	$\frac{14}{\sqrt{14}}$
	↓	Forme 14 um.
	$=$	$\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\sqrt{14}$

$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{(- 5) \cdot (- 3 - 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{4 + 25 + 1}} \|$
	$=$	$\| \frac{20}{\sqrt{30}} \|$
	$=$	$\frac{20}{\sqrt{30}}$

Aufgaben zum Berechnen von Abständen

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Alternative Lösung

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Lösung mit Hessescher Normalenform

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

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$d$	$=$	$\| \frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 9 \\ 0 \\ 0 \end{array})]}{\| (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) \|} \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\| \frac{- 3 \cdot (2 - 9) + 2 \cdot (- 4) + (- 6) \cdot 1}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + {(- 6)}^{2}}} \|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\| \frac{21 - 8 - 6}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{7}{\sqrt{49}} \|$
	$=$	$\frac{7}{7}$
	$=$	$1$

$H : \vec{n_{H}} \circ (\vec{x} - \vec{P})$	$=$	$0$
$H : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$H : x_{1} - 1 + (- 2) \cdot (x_{2} - 3) + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$H : x_{1} - 1 - 2 x_{2} + 6 + x_{3} + 1$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$H : x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 6$	$=$	$0$

$(1 + λ) + (- 2) \cdot (1 - 2 λ) + (1 + λ) + 6$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$1 + λ - 2 + 4 λ + 1 + λ + 6$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 + 6 λ$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $λ$ auf.
$λ$	$=$	$- 1$

$0$	$=$	$- 9 \cdot (14 - 9 σ) + (- 6) \cdot (4 - 6 σ) + (- 7) \cdot (3 - 7 σ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 126 + 81 σ - 24 + 36 σ - 21 + 49 σ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$- 166 + 166 σ$	$+ 166$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$166$	$=$	$166 σ$	$: 166$
$1$	$=$	$σ$

$0$	$=$	$- 8 \cdot (- 8 σ) + (- 1) \cdot (- σ) + (- 4) \cdot (- 4 σ) + 9$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$64 σ + σ + 16 σ + 9$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$9 + 81 σ$	$- 9$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$- 9$	$=$	$81 σ$	$: 81$
$- \frac{1}{9}$	$=$	$σ$

$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{53}{25} - 5)}^{2} + {(- \frac{4}{5} - 4)}^{2} + {(\frac{229}{25} - 13)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{72}{25})}^{2} + {(- \frac{24}{5})}^{2} + {(- \frac{96}{25})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{5184}{625} + \frac{576}{25} + \frac{9216}{625}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1152}{25}}$
	$=$	$\frac{24 \sqrt{2}}{5}$

$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})]$
	↓	Vereinfache.
$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})]$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$0$	$=$	$3 + μ + (- 1) \cdot (2 - μ) + (- 3) \cdot (- 3 μ)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$3 + μ - 2 + μ + 9 μ$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 11 μ$	$- 1$
	↓	Löse nach $μ$ auf.
$- 1$	$=$	$11 μ$	$: 11$
$μ$	$=$	$- \frac{1}{11}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{32}{11} - 3)}^{2} + {(\frac{12}{11} - 1)}^{2} + {(- \frac{8}{11} - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{3}{11})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{121} + \frac{1}{121} + \frac{9}{121}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{11}{121}}$
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{11}}$

$0$	$=$	$- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 50 τ$	$- 1$
	↓	Löse nach $τ$ auf.
$- 1$	$=$	$50 τ$	$: 50$
$τ$	$=$	$- \frac{1}{50}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{50}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{10}$