Aufgaben
Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion f(x)=4x2+32x2+162f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2 berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).
Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.
Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:
f(2)=44+324+162=0,4\displaystyle f(2)=\frac{4\cdot4+32}{4+16}-2=0,4
Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

Wie ändert sich der Wert des Terms T(x)=11xT\left(x\right)=1-\frac1x , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?


Termen umformen


für x 1100\frac1{100} 110\frac1{10} 1 100 1000
T(x)=11xT\left(x\right)=1-\frac1x siehe 1) siehe 2) siehe 3) siehe 4) siehe 5)
  -99 -9 0 0,99 0,999


1)


T(x)=11x=T\left(x\right)=1-\frac1x=
x=1100x=\frac1{100} einsetzen.
=111100==1-\frac1{\frac1{100}}=
Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.
=111001==1-1\cdot\frac{100}1=

=1100==1-100=

=99=-99




2)


T(x)=11x=T\left(x\right)=1-\frac1x=
x=110x=\frac1{10} einsetzen.
=11110==1-\frac1{\frac1{10}}=
Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.
=11101==1-1\cdot\frac{10}1=

=110==1-10=

=9=-9




3)


T(x)=11x=T\left(x\right)=1-\frac1x=
x=1x=1 einsetzen.
=111=0=1-\frac11=0




4)


T(x)=11x=T\left(x\right)=1-\frac1x=
x=100x=100 einsetzen.
=11100==1-\frac1{100}=
Hauptnenner bilden. auf 100 im Nenner erweitern.
=1001001100==\frac{100}{100}-\frac1{100}=

=99100=0,99=\frac{99}{100}=0,99




5)


T(x)=11x=T\left(x\right)=1-\frac1x=
x=1000 einsetzen.
=111000==1-\frac1{1000}=
Hauptnenner bilden. auf 1000 im Nenner erweitern.
=1000100011000==\frac{1000}{1000}-\frac1{1000}=

=9991000=0,999=\frac{999}{1000}=0,999


Für %%0
Für x=1x=1 ist T(x)T(x) gleich 0.
Für x>1x>1 ist T(x)T\left(x\right) größer als 0 und nähert sich 1 an.


Gegeben ist der Term %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%% .

Berechne T(4), T(–5) und %%T\left(\frac12\right)%% .

gebrochenrationale Funktionen

T(4)

 

  %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

4 für a einsetzen.

 %%T(4)=\frac3{1-4}=%%

         %%=\frac3{-3}=%%

          %%=-1%%

 

 

 

T(-5)

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

-5 für a einsetzen.

%%T(-5)=\frac3{1-\left(-5\right)}=%%

            %%=\frac36=%%

             %%=\frac12%%

 

 

 

%%T\left(\frac12\right)%%

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

%%\frac12%% für a einsetzen.

%%T\left(\frac12\right)=\frac3{1-\frac12}=%%

              %%=\frac3{\frac12}=%%

Die 2 lässt sich in den Zähler des Bruchs schreiben (siehe Division ).

              %%=\frac{3\cdot2}1=%%

 

              %%=6%%

 

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

Einfache gebrochenrationale Funktionen

%%T(a)=\frac3{1-a}%%

"a" muss sich immer weiter von a < 1 an 1 annähern, damit sich möglichst große Werte ergeben. Dadurch nähert der Nenner sich 0 an und lässt so den Termwert immer größer werden.

Antwort: Die Zahlen von "a" nähern sich auf dem Zahlenstrahl 1 an, sind aber immer kleiner 1.

Gegeben ist der Bruchterm %%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%% .

Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

Gebrochen-rationale Funktionen

%%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%%

           %%=\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac x{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac{x+2-x}{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac2{x^2+2x}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%T(x)=\frac2{x^2+2x}%%

 

Gegeben ist die Funktion %%h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}%%

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Ermitteln von Funktionswerten

   %%h(x)=\frac{1+x}{x-2}%%

Den Funktionsterm gleich 4 setzen!

%%\frac{1+x}{x-2}=4%%

%%\vert\;\cdot(x-2)%%

  %%1+x=(x-2)\cdot4%%

  %%1+x=4x-8%%

%%\left|{-4x\;-1}\right.%%

%%x-4x=-8-1%%

 

   %%-3x=-9%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

         %%x=3%%

 

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

 

Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen y=x21+xy=\frac{x-2}{1+x} und y=12x+1y=-\frac12x+1 .
Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung x21+x=12x+1\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1 .

Zeichne die Graphen zu den Termen  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x%%  in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3%%  und die Schnittpunkte von f und g.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

%%f(x)=\dfrac{x}{x-2}%%

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. %%\rightarrow%% Setze %%\mathrm z\left(\mathrm x\right)=0%%

%%\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0%%

Der Graph hat bei %%x_N=0%% eine Nullstelle.

x-Wert mit  %%f(x)=-3%%

Setze %%f(x)=-3%%

%%\frac{x}{x-2}=-3%%

%%\left|\cdot\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%\mathrm x=-3\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren

%%\mathrm x=-3\mathrm x+6%%

%%\left|+3\mathrm x\right.%%

%%4\mathrm x=6%%

%%\left|:4\right.%%

%%x=\frac64%%

%%\mathrm x=1,5%%

Für %%x=1,5%% nimmt die Funktion den Wert %%-3%% an.

Bestimmung der Schnittpunkte

%%f(x)= \dfrac{x}{x-2}%% , %%g(x)=\dfrac x3%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% und %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}=\frac{\mathrm x}3%%

%%\left|\cdot3\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%3\mathrm x=\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%3\mathrm x=\mathrm x^2-2\mathrm x%%

%%\left|-3\mathrm x\right.%%

%%\mathrm x^2-5\mathrm x=0%%

Klammere x aus.

%%\mathrm x\left(\mathrm x-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%{\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5%%

Setze  %%{\mathrm x}_{\mathrm S2}%%  in eine der beiden Funktionen ein.

%%{\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0/0\right)\;\;\;\;\;{\mathrm S}_2\left(5/\frac53\right)%%

In der Definitionsmenge von %%f(x)%% muss nur %%2%% ausgenommen werden, bei %%g(x)%% sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: %%L=\{0,5\}%%

Gegeben ist die Funktion %%f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%   mit maximaler Definitionsmenge.

  1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

  2. Weise nach, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur
    y-Achse ist.

  3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

  4. Für welche Werte von x unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion f um weniger als  %%\frac1{100}%% vom Wert 2?

Teilaufgabe a)

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.

  %%\Rightarrow%%   %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

 

Teilaufgabe b

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Ersetze x durch -x.

%%f\left(-x\right)=\frac1{\left(-x\right)^2}+2%%

 

            %%=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)%%

 

Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .

 

Teilaufgabe c

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/943.xml

 

Teilaufgabe d

%%\left|f\left(x\right)-2\right|< \frac {1}{100}%%

%%f\left(x\right)%% einsetzen.

%%\left|\frac1{x^2}+2-2\right| < \frac{1}{100}%%

Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des %%x^2%% immer positiv ist.

%%\frac1{x^2} < \frac{1}{100}%%

%%\left|{\cdot x^2\;\cdot100}\right.%%

%%100 < x^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\sqrt{100} < x%%

Wurzel ziehen .

Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungen.

%%\ \ \ 10 < x%%
%%-10 >x%%

Die gesamte Lösung sind beide Lösungen vereinigt.

%%x<-10%% oder %%x>10%%

 

Zeichne die Graphen der Funktionen f:  x3x+2f:\;x\mapsto\frac3{x+2} und f1:  x12xf_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.
Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift f:x2x2x+3f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3} .
Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

f(x)=2x2x+3f(x)=\frac{2x}{2x+3}
Setze den Nenner gleich 0.
2x  +  3  =  02\cdot x\;+\;3\;=\;0
| -3
2x  =  32\cdot x\;=\;-3
  :2\vert\;:2
x=32x=-\frac32
Als Dezimalzahl schreiben
x=1,5x=-1,5
DfD_f = RR \  {1,5}\backslash\;\left\{-1,5\right\}
Berechne f(10), f(100), f(1000).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen

f(x)  =  2x2x+3f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}
Setze x=10x = 10, x=100x=100 und x=1000x=1000 ein.
f(10)  =  210210+3  0,869f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0,869
f(100)  =  21002100+3  0,985f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0,985
f(1000)  =  2100021000+3  0,999f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0,999
Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.
f(x)=2x2x+3f(x)=\frac{2x}{2x+3}
Df=R\{1,5}D_f=R\backslash\left\{-1,5\right\}

Nullstelle:   x=0\;x=0

%%x%%

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

%%f(x)%%

1,6

2

4

-2

0

0,4

0,57

0,67

0,73

 Zeichnung

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% . Skizziere den Graphen.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0,2\mathrm x^2-1}%%

%%f(x)= \dfrac{2-x}{0,2x^2-1}%%

Untersuche, wann der Nenner null wird.

%%0,2\mathrm x^2-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\;\left|:0,2\right.\right.%%

%%\mathrm x^2=5%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm\sqrt5%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}%%

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty%%

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2+\sqrt5}{0^-}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu %%\mathrm x^2%% aus)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0,2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}%%

                   %%=\frac{0\pm0}{0,2-0}=0%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7503_aYUw4l9QCh.xml

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionlücken, indem zu schaust, wann der nenner 0 wird.

%%1-\mathrm x=0%%

%%\left|+\mathrm x\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=1%%

Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)="\frac{-1,5}{0^+}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote .

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

       %%=-0,5\mathrm x-0,5+\frac{1,5}{\mathrm x-1}%%

Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

%%\Rightarrow\;\;%% Asymptote: %%\mathrm y=-0,5\mathrm x-0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7509_PpKtdW5Kn6.xml

%%\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}%%

Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

Nenner: %%\mathrm x^2+1%% wird nie 0

%%\Rightarrow\;\;%% keine Definitionslücke

Bestimme den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}%%

Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.

%%\Rightarrow%% Die Funktion hat eine schräge Asymptote.

Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)

Asymptote:  %%\mathrm y=\mathrm x-1%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7515_qCNVayIb9d.xml

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

%%2\mathrm x-4=0%%

%%\left|+4\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=2%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=0%%

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen

       %%=\frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}%%

Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

      %%=-\mathrm x+0,5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

%%\Rightarrow%%   Asymptote: %%\mathrm y=-\mathrm x+0,5%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)="\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"=-\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)="\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"=+\infty%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

%%\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird

%%\mathrm x^2-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%\mathrm x^2=4%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm2%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm m=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-2\;;\;2\right\}%%

Bestimme die beiden Grenzwerte (von links und von rechts) an der 1.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"=-\infty%%

Bestimme die beiden Grenzwerte an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen. (Bestimme den Grenzwert im Unendlichen)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Klammere %%\mathrm x^2%% im Zähler und im Nenner aus.

                   %%=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0,5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}%%

Berechne den Grenzwert

                  %%=\frac{0\pm0+0,5}{1-0}=0,5%%

Was bedeutet das für das Verhalten im Unendlichen?

%%\Rightarrow%%   Beidseitige Asymptote bei %%\mathrm y=0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7523_f7BjDKngwW.xml

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}%%

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{\mathrm x\cdot\left(2\mathrm x-1\right)}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird.

%%\mathrm x\left(2\mathrm x-1\right)=0%%

Betrachte die beiden Faktoren getrennt

%%\Rightarrow\;\mathrm x=0%%

%%\Rightarrow\;2\mathrm x-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

                 %%\mathrm x=\frac12%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm n=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;0,5\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1.DEfinitionslücke. Bestimme dazu die beiden Grenzwerte, die sich von unten bzw. oben an diese annähern.

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0,5}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0,125+2-2}{0,5\cdot0^+}"=+\infty%%

Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote, die das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

Bestimme also die schräge Asymptote .

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}%%

Forme den Term mit Polynomdivision um.

        %%=0,5\mathrm x+0,25\;+\frac{4,25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab und gib sie an.

%%\Rightarrow%%   Asymptote bei %%\mathrm y=0,5\mathrm x%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7525_nweD27vnZ5.xml

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

$$y=\frac{2x}{x+3}$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Setzte den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

%%x+3=0%%

|-3

%%x=-3%%

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

x

-4

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

8

-4

-1

0

0,5

%%\frac 45%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph einer gebrochen rationalen Funktion

$$y=-\frac2x+\frac32$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Bringe alles auf einen Nenner.

%%f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}%%

Lese die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= %%\dfrac 32%%

Wertetabelle

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

2

%%\frac {10}{6}%%

1,5

3,5

-0,5

0,5

%%\frac {2}{10}%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph mit einer gebrochen-rationalen Funktion

Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion f(x)=3xf(x)=\frac3x und bestimme damit die Graphen von g(x)=3x2g(x)=-\frac3x-2 , h(x)=3x+1,5h(x)=\frac3{x+1,5} und k(x)=1,5xk(x)=\frac{1,5}x
Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
  • Der Graph von ff berührt die x-Achse an der Stelle x=1x=-1;
  • die Funktion ff hat die Polstelle x=3x=3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei x=1x=-1 berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
f(x)=yz=(x+1)2zf(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}
Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei x=3x=3 geben.
f(x)=(x+1)2x3f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}
Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x1=2{\mathrm x}_1=2 und für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5\mathrm y=0,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=yz\frac yz
Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
f1(x)=1(x+1)(x2){\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei 0,5x10,5\mathrm x-1
    f(x)=0,5x1+1(x+1)(x2)\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}
Zeichne eine Skizze der Funktion
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7475_tecuEwo62s.xml
Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x1=2{\mathrm x}_1=-2 , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0\mathrm y=0
Der Graph von f hat eine Polstelle bei x1=0{\mathrm x}_1=0 und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty hat der Graph die Asymptote y=0\mathrm y=0 und bei x2=2{\mathrm x}_2=2 befindet sich eine Nullstelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = yz\frac yz
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
\Rightarrow bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
f(x)=1x2n\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei y=0\mathrm y=0
f(x)=1x4\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}
Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
    f(x)=x24x4\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7481_6m54KE83kD.xml
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