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Aufgaben

Teil 1 Image Title

Teilaufgabe a)

$$f\left(x\right)=\sqrt{3x+9}$$

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist in %%\mathbb{R}%% nicht definiert. Um die Definitionsmenge der Wurzelfunktion zu ermitteln, setze den Term unter der Wurzel gleich Null bzw berechne wann er größer oder gleich Null ist.

$$3x+9\geq0$$

Löse die Gleichung nach x auf.

$$3x\geq-9$$

$$\left|:3\right.$$

$$x\geq-3$$

Der Definitionsbereich beinhaltet alle Zahlen, die größer oder gleich -3 sind.

$$\mathbb{D}=\lbrack-3;\infty\lbrack$$

$$\sqrt{3x+9}=0$$

Die Wurzel wird für Null wenn unter der Wurzel Null steht.

$$3x+9=0$$

%%|-9%%

$$3x=-9$$

%%|:3%%

$$x=-3$$

%%N(-3\vert0)%%

Teilaufgabe b)

$$g:y=mx+t\;\;;\;P\left(0\vert3\right)$$

Um die Tangentengleichung aufzustellen, bestimme zuerst die Steigung %%m%% an der Stelle 0 mit der ersten Ableitung

$$f'\left(x\right)=\sqrt{3x+9}$$

Wende zum Ableiten die Kettenregel an.

$$f'\left(x\right)=\frac1{2\cdot\sqrt{3x+9}}\cdot3$$

Setze für x Null ein, um die Steigung an der Stelle Null zu berechnen.

$$f'\left(0\right)=\frac1{2\cdot\sqrt{3\cdot0+9}}\cdot3$$

Vereinfache.

$$f'\left(0\right)=\frac1{2\cdot3}\cdot3$$

Vereinfache.

$$f'\left(0\right)=\frac{1}{2}$$

$$m=\frac12$$

Setze die Steigung in die Geradengleichung von g ein.

$$g:y=\frac12x+t$$

Um t herauszufinden, setze den Punkt %%P(0|3)%% in g ein.

$$3=\frac12 \cdot 0+t$$

Vereinfache.

$$3=t$$

$$g:y=\frac12x+3$$

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Teilaufgabe a)

%%\mathbb{W}=\lbrack2;+\infty\lbrack%%

Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutig bestimmte Lösung, sondern etliche mögliche Lösungen. Hilfreich ist die Kenntnis über die Bedeutung der Wertemenge und die Eigenschaften der verschiedenen Typen von Funktionen.

Hier ist eine Funktion gesucht, für die alle Werte größer oder gleich 2 als y-Werte herauskommen.

Dies erfüllt zum Beispiel eine nach oben geöffnete verschobene Parabel.

$$f\left(x\right)=x^2+2$$

Teilaufgabe b)

%%\mathbb{W}=\lbrack-2;+2\rbrack%%

Die Sinus- oder Kosinusfunktionen besitzen zum Beispiel solche Wertemengen.

$$f\left(x\right)=2\sin\left(x\right)$$

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$$\left(\ln\left(x\right)-1\right)\cdot\left(e^x-2\right)\cdot\left(\frac1x-3\right)=0$$

Die Gleichung wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

Setze zunächst den ersten Faktor gleich 0.

$$\ln\left(x\right)-1=0$$

$$\left|+1\right.$$

$$\ln\left(x\right)=1$$

Kehre den Logarithmus um.

$$x=e^1=e$$

Damit erhältst du die erste Nullstelle %%x_1%%:

$$x_1=e$$

Um nach weiteren Nullstellen zu suchen, setze nun den zweiten Faktor Null.

$$e^x -2 =0$$

$$\left|+2\right.$$

$$e^x=2$$

Wende den Logarithmus an.

$$x=\ln\left(2\right)$$

Damit erhältst du die weitere Nullstelle %%x_2%%:

$$x_2=\ln\left(2\right)$$

Setze dann noch den letzten Faktor gleich 0.

$$\frac1x-3=0$$

$$\left|+3\right.$$

$$\frac1x=3$$

$$\left|\cdot x \quad \left|:3\right.\right.$$

$$\frac13=x$$

Damit hast du die dritte Nullstelle erhalten:

$$x_3=\frac13$$

Sind %%x_1%%, %%x_2%% und %%x_3%% die Lösungen?

Zuletzt musst du noch überprüfen, ob %%x_1%%, %%x_2%% und %%x_3%% alle in der Definitionsmenge der Gleichung enthalten sind.

Dazu muss du dir die Definitionsmenge der Gleichung überlegen:

  • Der Logarithmus darf nur Zahlen, die größer als 0 sind, angewendet werden
  • Im Nenner eines Bruches darf keine 0 stehen

$$\mathbb D =\mathbb R^+$$

Alle drei Lösungen sind in der Definitionsmenge %%\mathbb{R}^+%%

Die angegebene Gleichung hat die Lösungen $$x_1=e$$

$$x_2=\ln\left(2\right)$$

$$x_3=\frac13$$

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Teil 2 Image Title

Teilaufgabe a)

$$f\left(x\right)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Setze für %%x%%, in die Funktion %%-x%% ein.

$$f\left(-x\right)=2(-x)\cdot e^{-0,5(-x)^2}$$

Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.

$$f\left(-x\right)=-2x\cdot e^{-0,5(x)^2}=-f\left(x\right)$$

Bestimmte den Grenzwert gegen %%+\infty%% .

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Forme die Potenz um.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{e^{0,5x^2}}$$

Der Zähler geht gegen %%+\infty%%.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0,5x^2}}_{+\infty}}$$

Der Nenner geht ebenfalls %%+\infty%%. Jedoch wegen der e-Funktion wächst der Nenner viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen Null.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0,5x^2}}_{+\infty}}=0$$

Teilaufgabe b)

%%f'\left(x\right)=\left(2x\cdot e^{-0,5x^2}\right)'%%

Bilde die erste Ableitung. Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.

%%f'\left(x\right)=2\cdot e^{-0,5x^2}+2x\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(-x)%%

Faktorisiere um auf das Zwischenergebnis zu kommen.

$$f'\left(x\right)=2\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(1-x^2)$$

Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.

$$0=2\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(1-x^2)$$

Da die e-Funktion keine Nullstellen hat muss nur der zweite Faktor Null werden.

$$0=1-x^2$$

$$\left|+x^2\right.$$

$$x^2=1$$

Ziehe die Wurzel.

$$x_{1,2}=\pm\sqrt1$$

Setze in %%f(x)%% ein

%%H\left(1\vert2\cdot1\cdot e^{-0,5\cdot1^2}\right)=H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}\right)%%

%%T\left(-1\vert2\cdot(-1)\cdot e^{-0,5\cdot(-1)^2}\right)=T\left(-1\vert-\frac2{\sqrt e}\right)%%

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

%%m_s%% von %%f%% im Intervall %%[-0,5;0,5]%%

Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechen.

%%m_s=\frac{f\left(0,5\right)-f(-0,5)}{0,5-(-0,5)}%%

Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.

%%m_s\approx1,76%%

%%m_T=?%%

Um die lokale Änderungsrate zu berechnen, setze 0 in die Ableitung %%f'%% ein.

$$f'\left(0\right)=2\cdot e^{-0,5\cdot0^2}\cdot(1-0^2)$$

Fasse zusammen.

$$m_T=2$$

Berechne den prozentualen Anteil.

$$\frac{m_S}{m_T}=\frac{1,765}2=0,882\;\;\widehat{=\;}\;88,2\%$$

Daher ist die prozentuale Abweichung %%100\%-88,2\%=11,8\% %%.

Teilaufgabe d)

$$f\left(x\right)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$ $$A(u)=2-2e^{-0,5\cdot u^2}$$

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und eines Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall %%[0;u]%% berechnen und hierfür die Stammfunktion von %%f_{(x)}%% heraus finden.Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt ob %%A(u)%% diese Fläche beschreibt ist es ausreichend nachzuweisen ob die angegebene Funktion %%A(u)%% tatsächlich die Stammfunktion %%F(u)%% von der Funktion %%f(u)%% ist.

Leite die Funktion %%A(u)%% ab.

$$A(u)'=\left(2-2e^{-0,5\cdot u^2}\right)'$$

Wende die Kettenregel an

$$=-2e^{-0,5\cdot u^2}\cdot-u$$

$$=2ue^{-0,5\cdot u^2}=f(u)$$

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;A(u)$$

Bestimmte den Grenzwert gegen %%+\infty%% .

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-2x\cdot e^{-0,5u^2}$$

Forme die Potenz um.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2x}{e^{0,5u^2}}$$

Der Bruch geht gegen %%0%%.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2x}{\underbrace{e^{0,5u^2}}_{+\infty}}$$

Somit geht die Funktion gegen 2.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\textstyle0\textstyle=\textstyle2$$

Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich %%2FE%%.

Teilaufgabe e)

$$h:y=\frac2{e^2}\cdot x$$ $$f(x)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

$$\frac2{e^2}\cdot x=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

$$\left|:2\right.$$

$$\frac1{e^2}\cdot x=x\cdot e^{-0,5x^2}$$

$$\left|-\frac x{e^2}\right.$$

$$0=x\cdot e^{-0,5x^2}-\frac x{e^2}$$

Faktorisiere die Gleichung.

$$0=x\cdot\left(e^{-0,5x^2}-\frac1{e^2}\right)$$

Der erste Faktor wird für %%x=0%% Null. Setzte den zweiten Faktor ebenfalls Null.

%%x_1=0;%% $$0=\frac1{e^{0,5x^2}}-\frac1{e^2}$$

Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers 2 werden da %%\frac1{e^2}-\frac1{e^2}=0%%.

$$\textstyle0,5x^2=2$$

$$\left|:0,5\right.$$

$$\textstyle x^2=4$$

Ziehe die Wurzel.

$$\textstyle x_{2,3}=\pm2$$

Zeichne die Gerade h.

Please don't use injections for images. Change >[...](...) to ![...](...)

Gesucht ist noch die Fläche %%B%%. Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade h im Intervall %%[0,2]%% mit der x-Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion f im Intervall %%[0,2]%% mit der x-Achse einschließt (%%A(u)%% aus Teilaufgabe (d)).

$$\boldsymbol B=A{(2)}-\int_0^2(h{(x)})\;dx$$

Finde die Stammfunktion von %%h_{(x)}%% heraus.

%%=2-2e^{-0,5\cdot2^2}-\left[\frac{x^2}{e^2}\right]_0^2%%

%%=2-2e^{-0,5\cdot2^2}-\left(\frac4{e^2}-\frac0{e^2}\right)%%

Fasse zusammen.

%%B=1,19\mathrm{FE}%%

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Teilaufgabe a)

Aus der Aufgabe 1: Teilaufgabe c hatten wir als Hochpunkt %%H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}\right)%%. Dieser wird in %%g_c%% nur um die Konstante C nach oben oder nach unten verschoben. Somit ergibt sich als neuen Hochpunkt: %%H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}+c\right)%%

Teilaufgabe b)

%%\alpha)%% %%g_c%% hat keine Nullstelle.

Der Grapf muss soweit nach oben oder nach unten verschoben werden, so dass der Hochpunkt bzw. Tiefpunkt unterhalb oder oberhalb von der x-Achse liegt. Image Title

Alle Werte größer%%\frac2{\sqrt e}%% oder kleiner %%-\frac2{\sqrt e}%%.

Z. B für %%C=3%%.

%%\beta)%% %%g_c%% hat eine Nullstelle.

Das wären die in der Zeichnung oben gezeigten Fälle wenn also %%C=\pm\frac2{\sqrt e}%% oder %%0%% ist.

Mögliche Lösung:

%%C=\frac2{\sqrt e}%%

%%\gamma)%% %%g_c%% hat zwei Nullstellen.

Nehme eine Zahl zwischen %%-\frac2{\sqrt e}%% und %%\frac2{\sqrt e}%% außer die Null

%%C=1%%

Teilaufgabe c)

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Die schraffierte Fläche kann durch %%\int_0^3f(x)\operatorname{d}x%% beschrieben werden und die untere Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen %%c%% und %%3%%.

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Teilaufgabe a)

Verschiebe den Graphen %%G_f%% um 1,4 nach oben.

Schaue bei %%y=2,1%% um den Zeitraum, in der die Geburtenrate mindestens 2,1 beträgt, herauszufinden.

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%%x_1=0,4\;\rightarrow0,4\cdot10=4%% %%\;\,\Rightarrow%% Ab dem Jahr 1959.

%%x_2=1,8\;\rightarrow1,8\cdot10=18%% %%\,\Rightarrow%% Bis zum Jahr 1973.

Teilaufgabe b)

$$\lim_{x\rightarrow\infty}2xe^{-0,5x^2}+1,4$$

Bestimmte den Grenzwert gegen %%+\infty%% .

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{\underbrace{e^{0,5x^2}}_{+\infty}}+1,4$$

Der Bruch geht gegen %%0%%.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;{\textstyle0}+1,4$$

Teilaufgabe c)

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