Aufgaben zur Kurvendiskussion
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Es ist folgende Funktion gegeben:
In den Teilaufgaben findest du alles, was du für diese Funktion berechnen könntest.
Suche dir das heraus, was du üben möchtest.
Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.
Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.
Bestimme den Definitionsbereich und die Art der Definitionslücken.
Vereinfache die Funktionsgleichung.
Berechne die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
Setze die Funktion - wenn möglich - stetig zu einer Funktion fort.
Bestimme die Asymptoten.
Bestimme die Nullstellen.
Bestimme die Extrempunkte.
Bestimme das Monotonieverhalten.
Berechne die Wendepunkte.
Bestimme das Krümmungsverhalten.
Berechne den Wertebereich.
Zeichne den Graph.
Überprüfe das Symmetrieverhalten.
Bestimme die Tangente zur Funktion am allgemeinen Punkt .
Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von mit dem Funktionsgraphen von der Funktion
Berechne die Stammfunktion.
Bestimme die Größe der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion , der x-Achse und den Geraden und .
Bestimme die Größe der Fläche die der Graph der stetigen Funktion mit dem Graphen der Tangente von am Punkt einschließt.
Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks
Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.
Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis üben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.
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Es ist folgende Funktionenschar gegeben:
In den Teilaufgaben findest du vieles, das du für diese Funktion berechnen kannst.
Suche dir heraus, was du üben möchtest.
Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in späteren Aufgaben auf Ergebnisse von früher zurückgegriffen.
Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.
Definitionsbereich bestimmen
Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.
Asymptoten bestimmen
Nullstellen bestimmen
Symmetrieverhalten überprüfen
Monotonieverhalten bestimmen
Krümmungsverhalten bestimmen
Extremwerte bestimmen
Wertebereich bestimmen
Tangente bestimmen:
Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von , die für auch durch den Punkt geht und für durch den Punkt .
Stammfunktion I:
Zeige, dass
eine Stammfunktion von für ist.
Stammfunktion II:
Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von .
Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.
Für alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.
Flächenberechnung I:
Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.
Flächenberechnung II:
Berechne die Fläche die von der x-Achse, den Geraden und dem Graphen von eingeschlossen wird.
Graphen zeichnen:
Zeichne folgende Graphen für in ein oder mehrere Koordinatensysteme:
mit seinen Asymptoten und
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