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Aufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen

1

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

a
b
c
2

Wie ändert sich der Wert des Terms T(x)=11x\sf T\left(x\right)=1-\frac1x , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

3

Gegeben ist der Term T(a)=31a\sf T\left(a\right)=\frac3{1-a} .

a

Berechne T(4), T(–5) und T(12)\sf T\left(\frac12\right) .

b

Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

c

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

4

Gegeben ist der Bruchterm T(x)=1x1x+2\sf T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2} .

a

Gib die Definitionsmenge des Terms T(x)=1x1x+2\sf T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2} an.

b

Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

c

Berechne T(3).

5

Gegeben ist die Funktion h:  x1+xx2\sf h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}

a

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

b

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

6

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

a

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen y=x21+x\sf y=\frac{x-2}{1+x} und y=12x+1\sf y=-\frac12x+1 .

Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung x21+x=12x+1\sf \frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1 .

b

Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung x21+x=1\sf \frac{x-2}{1+x}=-1 .

7

Zeichne die Graphen zu den Termen f(x)=xx2\sf \mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2} und g(x)  =  13x\sf \mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit f(x)=3\sf \mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3 und die Schnittpunkte von f und g.

8

Gegeben ist die Funktion f:xf(x)=1x2+2\sf f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2 mit maximaler Definitionsmenge.

  1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

  2. Weise nach, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

  3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

  4. Für welche Werte von x unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion f um weniger als 1100\sf \frac1{100} vom Wert 2?

9

Zeichne die Graphen der Funktionen f:  x3x+2\sf f:\;x\mapsto\frac3{x+2} und f1:  x12x\sf f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

10

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift f:x2x2x+3\sf f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3} .

a

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

b

Berechne f(10), f(100), f(1000).

c

Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

d

Gib die Gleichungen der Asymptoten von  Gf\sf G_f an.

11

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für x±\sf \mathrm x\rightarrow\pm\infty . Skizziere den Graphen.

a
b
c
d
e
f
12

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

a
b
c
d
13

Spiegeln, verschieben, stauchen

Zeichne den Graphen der Funktion f(x)=3x\sf f(x)=\frac3x und bestimme damit die Graphen von g(x)=3x2\sf g(x)=-\frac3x-2 , h(x)=3x+1,5\sf h(x)=\frac3{x+1,5} und k(x)=1,5x\sf k(x)=\frac{1,5}x

14

Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion f(x)=4x2+32x2+162\sf f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2 berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).

Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

15

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

a
  • Der Graph von f\sf f berührt die x-Achse an der Stelle x=1\sf x=-1;

  • die Funktion f\sf f hat die Polstelle x=3\sf x=3.

b

Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x1=2\sf {\mathrm x}_1=2 und für x±\sf \mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5\sf \mathrm y=0,5

c

Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x1=1\sf {\mathrm x}_1=-1 und  x2=2\sf {\mathrm x}_2=2 und für x±\sf \mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5x1\sf \mathrm y=0,5\mathrm x-1

d

Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x1=2\sf {\mathrm x}_1=-2 , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für x±\sf \mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0\sf \mathrm y=0

e

Der Graph von f hat eine Polstelle bei x1=0\sf {\mathrm x}_1=0 und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für x±\sf \mathrm x\rightarrow\pm\infty hat der Graph die Asymptote y=0\sf \mathrm y=0 und bei x2=2\sf {\mathrm x}_2=2 befindet sich eine Nullstelle.

16

Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen der gegebenen Funktionen.

a
17

Bestimme die Schnittpunkte der angegebenen Graphen durch eine geeignete Zeichnung!

a

f(x)=1x\sf f\left(x\right)=\frac{1}{x} und y=4\sf y=4

b

f(x)=1x+31\sf f\left(x\right)=\frac{1}{x+3}-1 und g(x)=x\sf g(x)=-x

c

f(x)=1x+42\sf f\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2 und x=1\sf x=1


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