Aufgaben

Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion %%f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2%% berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).

Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:

$$f(2)=\frac{4\cdot4+32}{4+16}-2=0,4$$

Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

Wie ändert sich der Wert des Terms %%T\left(x\right)=1-\frac1x%% , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

 

Termen umformen

 

für x %%\frac1{100}%% %%\frac1{10}%% 1 100 1000
%%T\left(x\right)=1-\frac1x%% siehe 1) siehe 2) siehe 3) siehe 4) siehe 5)
  -99 -9 0 0,99 0,999

 

1)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=\frac1{100}%% einsetzen.

%%=1-\frac1{\frac1{100}}=%%

Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

%%=1-1\cdot\frac{100}1=%%

 

%%=1-100=%%

 

%%=-99%%

 

 

 

2)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=\frac1{10}%% einsetzen.

%%=1-\frac1{\frac1{10}}=%%

Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

%%=1-1\cdot\frac{10}1=%%

 

%%=1-10=%%

 

%%=-9%%

 

 

 

3)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=1%% einsetzen.

%%=1-\frac11=0%%

 

 

 

4)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=100%% einsetzen.

%%=1-\frac1{100}=%%

Hauptnenner bilden. auf 100 im Nenner erweitern.

%%=\frac{100}{100}-\frac1{100}=%%

 

%%=\frac{99}{100}=0,99%%

 

 

 

5)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

x=1000 einsetzen.

%%=1-\frac1{1000}=%%

Hauptnenner bilden. auf 1000 im Nenner erweitern.

%%=\frac{1000}{1000}-\frac1{1000}=%%

 

%%=\frac{999}{1000}=0,999%%

 

 

Für %%0

Für %%x=1%% ist %%T(x)%% gleich 0. 

Für %%x>1%% ist %%T\left(x\right)%% größer als 0 und nähert sich 1 an.

 

 

Gegeben ist der Term %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%% .

Berechne T(4), T(–5) und %%T\left(\frac12\right)%% .

gebrochenrationale Funktionen

T(4)

 

  %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

4 für a einsetzen.

 %%T(4)=\frac3{1-4}=%%

         %%=\frac3{-3}=%%

          %%=-1%%

 

 

 

T(-5)

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

-5 für a einsetzen.

%%T(-5)=\frac3{1-\left(-5\right)}=%%

            %%=\frac36=%%

             %%=\frac12%%

 

 

 

%%T\left(\frac12\right)%%

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

%%\frac12%% für a einsetzen.

%%T\left(\frac12\right)=\frac3{1-\frac12}=%%

              %%=\frac3{\frac12}=%%

Die 2 lässt sich in den Zähler des Bruchs schreiben (siehe Division ).

              %%=\frac{3\cdot2}1=%%

 

              %%=6%%

 

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

Einfache gebrochenrationale Funktionen

%%T(a)=\frac3{1-a}%%

"a" muss sich immer weiter von a < 1 an 1 annähern, damit sich möglichst große Werte ergeben. Dadurch nähert der Nenner sich 0 an und lässt so den Termwert immer größer werden.

Antwort: Die Zahlen von "a" nähern sich auf dem Zahlenstrahl 1 an, sind aber immer kleiner 1.

Gegeben ist der Bruchterm %%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%% .

Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

Gebrochen-rationale Funktionen

%%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%%

           %%=\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac x{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac{x+2-x}{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac2{x^2+2x}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%T(x)=\frac2{x^2+2x}%%

 

Gegeben ist die Funktion %%h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}%%

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Ermitteln von Funktionswerten

   %%h(x)=\frac{1+x}{x-2}%%

Den Funktionsterm gleich 4 setzen!

%%\frac{1+x}{x-2}=4%%

%%\vert\;\cdot(x-2)%%

  %%1+x=(x-2)\cdot4%%

  %%1+x=4x-8%%

%%\left|{-4x\;-1}\right.%%

%%x-4x=-8-1%%

 

   %%-3x=-9%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

         %%x=3%%

 

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

 

Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen %%y=\frac{x-2}{1+x}%% und %%y=-\frac12x+1%% .

Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung %%\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1%% .

Zeichne die Graphen zu den Termen  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x%%  in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3%%  und die Schnittpunkte von f und g.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

%%f(x)=\dfrac{x}{x-2}%%

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. %%\rightarrow%% Setze %%\mathrm z\left(\mathrm x\right)=0%%

%%\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0%%

Der Graph hat bei %%x_N=0%% eine Nullstelle.

x-Wert mit  %%f(x)=-3%%

Setze %%f(x)=-3%%

%%\frac{x}{x-2}=-3%%

%%\left|\cdot\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%\mathrm x=-3\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren

%%\mathrm x=-3\mathrm x+6%%

%%\left|+3\mathrm x\right.%%

%%4\mathrm x=6%%

%%\left|:4\right.%%

%%x=\frac64%%

%%\mathrm x=1,5%%

Für %%x=1,5%% nimmt die Funktion den Wert %%-3%% an.

Bestimmung der Schnittpunkte

%%f(x)= \dfrac{x}{x-2}%% , %%g(x)=\dfrac x3%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% und %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}=\frac{\mathrm x}3%%

%%\left|\cdot3\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%3\mathrm x=\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%3\mathrm x=\mathrm x^2-2\mathrm x%%

%%\left|-3\mathrm x\right.%%

%%\mathrm x^2-5\mathrm x=0%%

Klammere x aus.

%%\mathrm x\left(\mathrm x-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%{\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5%%

Setze  %%{\mathrm x}_{\mathrm S2}%%  in eine der beiden Funktionen ein.

%%{\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0/0\right)\;\;\;\;\;{\mathrm S}_2\left(5/\frac53\right)%%

In der Definitionsmenge von %%f(x)%% muss nur %%2%% ausgenommen werden, bei %%g(x)%% sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: %%L=\{0,5\}%%

Gegeben ist die Funktion %%f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%   mit maximaler Definitionsmenge.

  1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

  2. Weise nach, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur
    y-Achse ist.

  3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

  4. Für welche Werte von x unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion f um weniger als  %%\frac1{100}%% vom Wert 2?

Teilaufgabe a)

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.

  %%\Rightarrow%%   %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

 

Teilaufgabe b

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Ersetze x durch -x.

%%f\left(-x\right)=\frac1{\left(-x\right)^2}+2%%

 

            %%=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)%%

 

Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .

 

Teilaufgabe c

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/943.xml

 

Teilaufgabe d

%%\left|f\left(x\right)-2\right|< \frac {1}{100}%%

%%f\left(x\right)%% einsetzen.

%%\left|\frac1{x^2}+2-2\right| < \frac{1}{100}%%

Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des %%x^2%% immer positiv ist.

%%\frac1{x^2} < \frac{1}{100}%%

%%\left|{\cdot x^2\;\cdot100}\right.%%

%%100 < x^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\sqrt{100} < x%%

Wurzel ziehen .

Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungen.

%%\ \ \ 10 < x%%
%%-10 >x%%

Die gesamte Lösung sind beide Lösungen vereinigt.

%%x<-10%% oder %%x>10%%

 

Zeichne die Graphen der Funktionen %%f:\;x\mapsto\frac3{x+2}%% und %%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Zeichnung

%%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%%%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Schnittpunkt A bei (1/1)

Geogebra File: /uploads/legacy/2710_UvQn0LETgM.xml

Rechnung

 

 

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme

%%\frac3{2+x}=\frac1{2-x}%%

%%3\cdot(2-x)=1\cdot(2+x)%%

%%6-3x=2+x%%

nach %%x%% auflösen

%%4=4x%%

%%\vert\;:\;4%%

%%x=1%%

 

  %%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%

Einsetzen von x in einen der Funktionsterme

%%y=\frac1{2-1}=\frac11=1%%

 

Schnittpunkt bei %%(1/1)%%

 

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift %%f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3}%% .

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Berechne f(10), f(100), f(1000).

Berechnen von Funktionswerten

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 10

%%f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0,869%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 100

%%f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0,985%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 1000

%%f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0,999%%

 

Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

Gib die Gleichungen der Asymptoten von  %%G_f%% an.

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% . Skizziere den Graphen.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0,2\mathrm x^2-1}%%

%%f(x)= \dfrac{2-x}{0,2x^2-1}%%

Untersuche, wann der Nenner null wird.

%%0,2\mathrm x^2-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\;\left|:0,2\right.\right.%%

%%\mathrm x^2=5%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm\sqrt5%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}%%

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty%%

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2+\sqrt5}{0^-}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu %%\mathrm x^2%% aus)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0,2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}%%

                   %%=\frac{0\pm0}{0,2-0}=0%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7503_aYUw4l9QCh.xml

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionlücken, indem zu schaust, wann der nenner 0 wird.

%%1-\mathrm x=0%%

%%\left|+\mathrm x\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=1%%

Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)="\frac{-1,5}{0^+}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote .

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

       %%=-0,5\mathrm x-0,5+\frac{1,5}{\mathrm x-1}%%

Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

%%\Rightarrow\;\;%% Asymptote: %%\mathrm y=-0,5\mathrm x-0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7509_PpKtdW5Kn6.xml

%%\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}%%

Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

Nenner: %%\mathrm x^2+1%% wird nie 0

%%\Rightarrow\;\;%% keine Definitionslücke

Bestimme den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}%%

Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.

%%\Rightarrow%% Die Funktion hat eine schräge Asymptote.

Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)

Asymptote:  %%\mathrm y=\mathrm x-1%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7515_qCNVayIb9d.xml

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

%%2\mathrm x-4=0%%

%%\left|+4\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=2%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=0%%

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen

       %%=\frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}%%

Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

      %%=-\mathrm x+0,5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

%%\Rightarrow%%   Asymptote: %%\mathrm y=-\mathrm x+0,5%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)="\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"=-\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)="\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"=+\infty%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

%%\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird

%%\mathrm x^2-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%\mathrm x^2=4%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm2%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm m=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-2\;;\;2\right\}%%

Bestimme die beiden Grenzwerte (von links und von rechts) an der 1.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"=-\infty%%

Bestimme die beiden Grenzwerte an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen. (Bestimme den Grenzwert im Unendlichen)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Klammere %%\mathrm x^2%% im Zähler und im Nenner aus.

                   %%=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0,5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}%%

Berechne den Grenzwert

                  %%=\frac{0\pm0+0,5}{1-0}=0,5%%

Was bedeutet das für das Verhalten im Unendlichen?

%%\Rightarrow%%   Beidseitige Asymptote bei %%\mathrm y=0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7523_f7BjDKngwW.xml

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}%%

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{\mathrm x\cdot\left(2\mathrm x-1\right)}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird.

%%\mathrm x\left(2\mathrm x-1\right)=0%%

Betrachte die beiden Faktoren getrennt

%%\Rightarrow\;\mathrm x=0%%

%%\Rightarrow\;2\mathrm x-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

                 %%\mathrm x=\frac12%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm n=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;0,5\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1.DEfinitionslücke. Bestimme dazu die beiden Grenzwerte, die sich von unten bzw. oben an diese annähern.

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0,5}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0,125+2-2}{0,5\cdot0^+}"=+\infty%%

Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote, die das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

Bestimme also die schräge Asymptote .

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}%%

Forme den Term mit Polynomdivision um.

        %%=0,5\mathrm x+0,25\;+\frac{4,25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab und gib sie an.

%%\Rightarrow%%   Asymptote bei %%\mathrm y=0,5\mathrm x%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7525_nweD27vnZ5.xml

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

$$y=\frac{2x}{x+3}$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Setzte den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

%%x+3=0%%

|-3

%%x=-3%%

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

x

-4

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

8

-4

-1

0

0,5

%%\frac 45%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph einer gebrochen rationalen Funktion

$$y=-\frac2x+\frac32$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Bringe alles auf einen Nenner.

%%f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}%%

Lese die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= %%\dfrac 32%%

Wertetabelle

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

2

%%\frac {10}{6}%%

1,5

3,5

-0,5

0,5

%%\frac {2}{10}%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph mit einer gebrochen-rationalen Funktion

Spiegeln, verschieben, stauchen

Zeichne den Graphen der Funktion %%f(x)=\frac3x%% und bestimme damit die Graphen von %%g(x)=-\frac3x-2%% , %%h(x)=\frac3{x+1,5}%% und %%k(x)=\frac{1,5}x%%

  • %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}%%

Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein.
Bsp.: %%\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5391_p3pwAagN1e.xml

  • %%g(x)=-\frac3x-2%%

%%g(x)=-\frac3x-2%%    %%\rightarrow%% Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5393_SjsykLLL6M.xml

  • %%h(x)=\dfrac {3}{x+1,5}%%

Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.

Plot der Funktion h

  • %%k(x)=\frac{1,5}{x}%%

Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.

Plot der Funktion k

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

  • Der Graph von %%f%% berührt die x-Achse an der Stelle %%x=-1%%;
  • die Funktion %%f%% hat die Polstelle %%x=3%%.

Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei %%x=-1%% berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.

%%f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}%%

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei %%x=3%% geben.

%%f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}%%

Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5%%

Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf

  %%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}%%

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

%%\Rightarrow%%   Funktion bei 2 nicht definiert

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5). D. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

  %%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{0,5\cdot\mathrm x^2}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

 Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

 Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7469_IcDX9l4Fej.xml

Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-1%% und  %%{\mathrm x}_2=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5\mathrm x-1%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=%%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

%%{\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%0,5\mathrm x-1%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Zeichne eine Skizze der Funktion

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7475_tecuEwo62s.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-2%% , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

%%\Rightarrow%% auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}%%

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7477_7NLeK9E6yH.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle bei %%{\mathrm x}_1=0%% und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% hat der Graph die Asymptote %%\mathrm y=0%% und bei %%{\mathrm x}_2=2%% befindet sich eine Nullstelle.

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow%% bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%\mathrm y=0%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}%%

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7481_6m54KE83kD.xml

Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen der gegebenen Funktionen.

%%f(x)= \dfrac {(2-x)} {(x+3) (x-3)}%%

Nullstellen- und Definitionsmengenbestimmung bei gebrochen rationale Funktionen

Um die Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst nur der Zähler bestrachtet.

%%f(x)= \dfrac {\color{#ff6600}{(2-x)}} {(x+3) (x-3)}%%

Setze den Zähler Null.

%%\color{#ff6600}{(2-x)} = 0%%

Du kannst die Klammer hier weglassen.

%%{2-x} = 0%%

Rechne auf beiden Seiten %%-2%%.

%%2-x-2=0-2%%

Fasse zusammen.

%%-x =-2%%

Multipliziere mit %%-1%%.

%%x=2%%

Die einfache Nullstelle der Funktion %%f(x)%% ist bei %%x=2%%

Um die Definotionsmenge zu bestimmen wird zunächst nur der Nenner betrachtet.

%%f(x)= \dfrac {(2-x)} {\color{#660099}{(x+3) (x-3)}}%%

Setze den Nenner Null.

%%{\color{#660099}{(x+3) (x-3)}} = 0%%

Betrachte jede Klammer für sich und setze sie Null.

Dabei kannst du jeweils die Klammern weg lassen.

%%x+3 = 0%%

Rechne auf beiden Seiten %%-3%%

%%x+3-3 = 0-3%%

Fasse zusammen.

%%x=-3%%

Wiederhole dies für die andere Klammer.

%%x-3=0%%

%%x-3+3=0+3%%

%%x=3%%

Die Definitionsmenge beschreibt den Bereich in welchem die Funktion sich abbilden lässt. Die vorher ausgerechneten X-Werte %%(x=3%% und %%x=-3)%% zeigen die Stellen der Funktion, die nicht definiert sind, da der Nenner hier Null werden würde. Man nennt dies eine Definietionslücke.

Für alle anderen Werte ist der Nenner ungleich Null.

Deswegen ist die Defitionsmenge: %%\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}%%

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