Aufgaben

Mila hat in ihrem Federmäppchen 10 bunte Stifte, für die sie eine Lieblingsanordnung hat.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stifte in Milas Lieblingsreihenfolge liegen, wenn ihr kleiner Bruder sie per Zufall hinlegt?

Foto Milas Lieblingsanordnung

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ereignis %%A%%: Milas Lieblingsreihenfolge

%%P(A)={?}%%

Da Milas Bruder die Stifte per Zufall hinlegt, sind alle Anordnungen gleich wahrscheinlich.
Verwende daher die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeiten.

$$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathit\Omega\right|}$$

In diese Formel setzt du $$\left|A\right|=1$$ ein, denn es gibt ja nur eine Lieblingsanordnung.

Überlege dir nun, was %%\left|\mathit\Omega\right|%% ist:
Für den ersten Platz sind 10 Stifte möglich, für den zweiten nur noch 9, für den dritten 8 usw.

$$\left|\mathit\Omega\right|=10\cdot9\cdot8\cdot…\cdot2\cdot1=10!$$

Gib 10! in deinen Taschenrechner ein.

$$\left|\mathit\Omega\right|=3\,628\,800$$

$$P(A)=\frac1{3\,628\,800}\approx2{,}76\cdot10^{-7}=2{,}76\cdot10^{-5}\,\%$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Milas Lieblingsreihenfolge per Zufall richtig hingelegt wird, liegt nur bei ungefähr 0,000 027 6 %!

Zwei Karten eines Bridgespiels (52 Karten) werden gleichzeitig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. "Beide Karten sind Karokarten"

  2. "Beide Karten sind Könige"

  3. "Pikdame, Karokönig"

Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Aufgabe geht es um das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

Teilaufgabe 1

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%13%% Karten Karo.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, Karo zu ziehen, %%\frac{13}{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac{12}{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}%%

%%=\frac3{51}%% %%\approx5{,}9\,\% %%

Teilaufgabe 2

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%4%% Karten König.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen %%\frac4{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac3{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac4{52}\cdot\frac3{51}=%%

%%=\frac1{221}\approx0{,}45\,\% %%

Teilaufgabe 3

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon wird eine Pikdame und ein Karokönig gezogen.

Beim 1. Ziehen kann man entweder eine Pikdame oder einen Karokönig ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils %%\frac1{52}%%. Je nachdem, ob man Pikdame oder Karokönig beim ersten Mal gezogen hat, zieht man beim zweiten Mal die noch nicht gezogene Karte. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist jeweils nur noch %%\frac1{51}%%, da eine der Karten schon gezogen wurde. Insgesamt erhält man also mit der 1. und 2. Pfadregel:

%%\frac1{52}\cdot\frac1{51}+\frac1{52}\cdot\frac1{51}=2\cdot \frac1{52}\cdot\frac1{51}= \frac2{51\cdot52}%%

%%=\frac{2}{2652}\approx0{,}075\,\%=0{,}08\,\% %%

Zwei Laplace-Würfel werden nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Berechne die Wahrscheinlichkeit durch die Formel des Laplace-Experiments.
Alle möglichen Augensummen sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Die durch 3, 4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12.
Jetzt musst du aufpassen! Die Wahrscheinlichkeit die Augensumme 2 zu würfeln, ist unwahrscheinlicher als beispielsweise eine 8 zu würfeln, da man für eine 2 zwei Einser würfeln muss und es für eine 8 mehrere Möglichkeiten gibt (z.B. 2 Vierer oder eine 3 und eine 5). Daher kannst du nicht die Wahrscheinlichkeit über {3,4,5,6,7,8,9,10,12}{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}=911\frac{\left|\left\{3,4,5,6,7,8,9,10,12\right\}\right|}{\left|\left\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}\right|}=\frac{9}{11} berechnen, sondern musst bestimmen, welche Ergebnisse insgesamt möglich sind und welche Augensumme diese ergeben.

Direkter Lösungsweg

Jetzt musst du nur noch alle Ergebnisse aufschreiben und bestimmen, wie viele davon die Augensumme 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 haben. Da die Würfel nacheinander geworfen werden, kann kannst du zwischen einem ersten oder zweiten Wurf entscheiden und die Ergebnisse als (erster Wurf, zweiter Wurf)(\text{erster Wurf, zweiter Wurf}) schreiben.
Ω={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6);(4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)}\begin{array}{rcl}\Omega&=& \{\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(1,5\right);\left(1,6\right); \\ & & \left(2,1\right);\left(2,2\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(2,5\right);\left(2,6\right);\\ & &\left(3,1\right);\left(3,2\right);\left(3,3\right);\left(3,4\right);\left(3,5\right);\left(3,6\right); \\ & & \left(4,1\right);\left(4,2\right);\left(4,3\right);\left(4,4\right);\left(4,5\right);\left(4,6\right); \\ & & \left(5,1\right);\left(5,2\right);\left(5,3\right);\left(5,4\right);\left(5,5\right);\left(5,6\right); \\ & & \left(6,1\right);\left(6,2\right);\left(6,3\right);\left(6,4\right);\left(6,5\right);\left(6,6\right)\} \end{array}
Ω=66=36|\Omega|=6\cdot6=36

Mit E soll die Menge bezeichnet werden, deren Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar sind.
E={(1,2);(2,1);(1,5);(5,1);(2,4);(4,2);(3,3);(3,6);(6,3);(4,5);(5,4);(6,6)durch 3 teilbar;(1,3);(3,1);(2,2);(2,6);(6,2);(3,5);(5,3);(4,4)durch 4 (aber nicht durch 3) teilbar;(1,4);(4,1);(2,3);(3,2);(4,6);(6,4);(5,5)durch 5 teilbar}\begin{array}{l c c} E & = & \{ \underbrace{(1,2);(2,1);(1,5);(5,1);(2,4);(4,2);(3,3);(3,6);(6,3);(4,5);(5,4);(6,6)}_{\text{durch 3 teilbar}}; \\ & & \underbrace{(1,3);(3,1);(2,2);(2,6);(6,2);(3,5);(5,3);(4,4)}_{\text{durch 4 (aber nicht durch 3) teilbar}}; \\ &&\underbrace{(1,4);(4,1);(2,3);(3,2);(4,6);(6,4);(5,5)}_{\text{durch 5 teilbar}} \}\end{array}
E=27\Rightarrow\left|E\right|=27
Nun kannst du die Mächtigkeit der Menge aller günstigen Ergebnisse E\left|E\right| durch die Mächtigkeit der Menge aller Ergebnisse Ω\left|\Omega\right|teilen.
P(E)=2736=0,75P\left(E\right)=\frac{27}{36}=0,75
Rechne nun noch in Prozent um.
        \;\;\Rightarrow\;\;zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.

Weiterer Lösungsweg über das Gegenereignis

Du kannst die Rechnung auch abkürzen indem du mit dem Gegenereignis rechnest. Dies bietet sich immer an, wenn die Anzahl der günstigen Ergebnisse groß ist und das Gegenereignis nur wenige Elemente enthält.
Das Ereignis E="Augensumme ist durch 3, 4 oder 5 teilbar"E = "\text{Augensumme ist durch 3, 4 oder 5 teilbar}" ist gleichbedeutend mit "Augensumme ist 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12""\text{Augensumme ist 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12}".

Das Gegenereignis lautet E="Augensumme ist nicht durch 3, 4 oder 5 teilbar"\overline{E}="\text{Augensumme ist nicht durch 3, 4 oder 5 teilbar}" oder eben "Augensumme ist 2,7 oder 11""\text{Augensumme ist 2,7 oder 11}".
Da P(E)=1P(E)P(E)=1-P(\overline{E}) gilt, müssen wir nur noch P(E)P(\overline{E}) berechnen.
E={(1,1)Augensumme 2;(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)Augensumme 7;(5,6);(6,5)Augensumme 11}\overline{E}=\{ \underbrace{(1,1)}_{\text{Augensumme 2}}; \underbrace{(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)}_{\text{Augensumme 7}}; \underbrace{(5,6);(6,5)}_{\text{Augensumme 11}}\}
E=9\Rightarrow|\overline{E}|=9
Da wir oben schon berechnet haben, dass Ω=36|\Omega|=36 ist, ist P(E)=936P(\overline{E})=\frac{9}{36} und somit:
P(E)=1P(E)=1936=2736=0,75=75%\displaystyle P(E)=1-P(\overline{E})=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=0,75=75\%
        \;\;\Rightarrow\;\;zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.
In einer Familie gibt es 2 Söhne und 3 Töchter. Jeden Tag wird ausgelost, wer den Tisch abräumen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
es die jüngste Tochter an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die jüngste Tochter ausgelost wird. Da alle Kinder gleich wahrscheinlich gezogen werden benutze Formel für Laplace-Experimente.
Anzahl betroffener KinderGesamtanzahl Geschwister=15\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15
Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass es die jüngste Tochter zweimal hintereinander trifft.
1515=125=0,04=4%\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}=0,04=4\% 
es irgendein Kind an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier ist egal, welches der Kinder zweimal hintereinander gezogen wird. Deshalb ist es nicht wichtig, wer am ersten Tag gezogen wird. Berechne also die Wahrscheinlichkeit, dass am zweiten Tag ein bestimmtes Kind abräumen muss, nämlich das gleiche, das am ersten Tag ausgelost wurde.
Anzahl betroffener KinderGesamtanzahl Geschwister=15\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15
Ergibt sich aus Formel für Laplace-Experimente.
15=0,2=20%\frac15=0,2=20\% 
an zwei aufeinanderfolgenden Tagen Söhne abspülen müssen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze dazu die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten.
Bestimme dazu die Mächtigkeiten von Ω\Omega und EE = "an zwei Tagen nacheinander werden Söhne gezogen".
Es gibt an jedem Tag eines von fünf Kindern ausgewählt wird, ergeben sich für zwei aufeinaderfolgende Tage 55=255\cdot 5=25 Möglichkeiten.
Ω=25\Rightarrow |\Omega|=25
Um an zweimal nacheinander Söhne zu ziehen gibt es 22=42\cdot2=4 Möglichkeiten.
E=4\Rightarrow |E|=4
Berechne damit die Wahrscheinlichkeit.
P(E)=EΩ=425=0,16=16%\displaystyle P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{4}{25}=0,16=16\% 

Ein Prüfer gibt eine Liste von 8 Fragen aus. Bei der Prüfung wird er dem jeweiligen Prüfling 2 davon vorlegen, von denen dieser eine bearbeiten muss.

Felix Faul bereitet sich nur auf eine der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seine Frage gestellt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird zufällig eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Die von Fritz vorbereitete Frage kommt entweder als erste, dann ist die zweite Frage egal, oder sie kommt als zweite, wenn als erstes eine andere gezogen wurde.

%%P_1=\frac18\cdot \frac77=\frac18\cdot1=\frac18%%

Die vorbereitete Frage wird gleich als erste gezogen.

%%P_2=\frac78 \cdot \frac 17=\frac18%%

Es wird erst eine der anderen und dann die vorbereitete Frage gezogen.

%%\Rightarrow P=P_1+P_2=\frac18+\frac18=\frac28=\frac14=25\% %%

Alexander Arglos bereitet sich auf 6 der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens eine vorbereitete Frage vorgelegt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Hier ist es am einfachsten, über das Gegenereignis zu gehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der vorbereiten Fragen gezogen wird ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Fragen gezogen wird.

%%\text{P(keine der Fragen)}=\frac28\cdot \frac 17=\frac{2}{56}%%

In der esten Stufe sind zwei von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen nicht vorbereitet worden.

%%\Rightarrow \text{P(mindestens eine Frage)}%%
%%=1-\text{P(keine der Fragen)}%%

Berechne das Gegenereignis.

%%=1-\frac{2}{56}=\frac{54}{56}\approx0,964=96,4\% %%

Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um
zwei Damen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in beiden Stufen eine Dame gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Anzahl der Damen durch die Gesamtzahl der Personen.
P=612511=30132=5220,227=22,7%P=\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{30}{132}=\frac{5}{22}\approx 0{,}227=22{,}7\,\%
zwei Herren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in beiden Stufen ein Herr gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Anzahl der Männer durch die Gesamtzahl der Personen.
P=612511=30132=5220,227=22,7%P=\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{30}{132}=\frac{5}{22}\approx 0{,}227=22{,}7\,\%
eine Dame und einen Herren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss entweder in der ersten Stufe eine Dame und in der zweiten ein Herr gezogen werden oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der Damen bzw. Herren durch die Gesamtzahl der Personen.
P(erst Frau, dann Mann)=612611=36132P(\text{erst Frau, dann Mann})=\frac{6}{12}\cdot\frac{6}{11}=\frac{36}{132}
Da die Wahrscheinlichkeit in beiden Fällen identisch ist, kann diese einfach verdoppelt werden.
P(eine Dame und ein Herr)P(\text{eine Dame und ein Herr})
=P(erst Frau, dann Mann)+P(erst Mann, dann Frau)=P(\text{erst Frau, dann Mann})+P(\text{erst Mann, dann Frau})
=36132+36132=3666=6110,546=54,6%= \frac{36}{132}+\frac{36}{132}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\approx0{,}546=54{,}6\,\% 
ein Ehepaar?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in der zweiten Stufe der Ehepartner der in der ersten Stufe gezogenen Person gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist eins durch die Gesamtzahl der übrigen Personen. Welche Person dabei in der ersten Stufe gezogen wurde, ist egal.
P=1212111=1110,091=9,1%P=\frac{12}{12}\cdot \frac{1}{11}=\frac{1}{11}\approx0{,}091=9{,}1\,\% 

Zwei Buchstaben werden aus dem Wort "LASSO"  zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählt.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

zwei Konsonanten gewählt werden?

%%P\left(E\right)=\left\{LS_1;LS_2;S_1L;S_1S_2;S_2L;S_2S_1\right\}%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=6%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac6{20}=0,3%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 30% zieht man 2 Konsonanten.

mindestens ein S darunter ist

%%P\left(E\right)=\left\{LS_1;LS_2;AS_1;AS_2;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OS_1;OS_2\right\}\;\;%%\

%%\;\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=14%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac{14}{20}=0,7%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 70% zieht man mindestens ein S.

mindestens ein A darunter ist

%%P\left(E\right)=\left\{LA;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1A;S_2A;OA\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=8%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac8{20}=0,4%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 40% zieht man mindestens ein A.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen? (mit gleicher Wahrscheinlichkeit für jeden Monat)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Für den ersten Monat kann jeder der 12 Leute Geburtstag haben, im 2. nur noch 11 Leute, da einer schon im 1. Monat hatte, im 3. noch 10 Leute usw.
121211121012912812712612512412312212112\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac9{12}\cdot\frac8{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac6{12}\cdot\frac5{12}\cdot\frac4{12}\cdot\frac3{12}\cdot\frac2{12}\cdot\frac1{12}
=12!12120,005%=\frac{12!}{12^{12}}\approx0{,}005\,\% 
An einem Geburtstag setzen sich 5 Mädchen und 5 Jungen an einen runden Tisch. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine bunte Reihe.
Mit einer "bunten" Reihe ist gemeint, dass immer abwechselnd ein Junge und ein Mädchen sitzen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Informationen darüber, wie das hier geht, findest du im Artikel über Laplacewahrscheinlichkeiten; außerdem helfen dir Kenntnisse über Kombinatorik.
Es gibt 2 Möglichkeiten, die bunte Reihe aufzubauen.
Auf den 1. Platz kann sich jeder der 5 Jungen setzen, auf den 2. jedes der 5 Mädchen, auf den 3. nur noch 4 Jungen usw. (oder andersherum). Benutze hierfür die Multiplikation von Brüchen.
2510594847363524231212\cdot\frac5{10}\cdot\frac59\cdot\frac48\cdot\frac47\cdot\frac36\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot1 0,79%\approx0{,}79\,\% 
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit 4, 6 und 8 Seitenflächen erstellen.
Netze der 4-,6- und 8-seitigen Würfel
  1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhältst du für die Augenzahlen 0, 1 und 2 bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
  2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „2“ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
  3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „0“ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „0“ zu werfen?
  4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:

Augenzahl

0

1

2

absolute Häufigkeit

241

253

506

Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.

Teilaufgabe 1

Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.
Würfel 1
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =24=50%=\frac24=50\,\% 
Würfel 2
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Würfel 3
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =28=14=25%=\frac28=\frac14=25\,\% 

Teilaufgabe 2

Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine 2 zu würfeln, ist Würfel 1.

Teilaufgabe 3

Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu würfeln, von 100%100\,\% ab.
Würfel 1
100%25%=75%100\,\%-25\,\%=75\,\% 
Würfel 2
100%33%=67%100\,\%-33\,\%=67\,\% 
Würfel 3
100%37,5%=62,5%100\,\%-37{,}5\,\%=62{,}5\,\% 

Teilaufgabe 4

Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.
Summe aller Würfe =1000\begin{array}{l}=1000\\\end{array}
Anteil 0 =2411000=24,1%=\frac{241}{1000}=24{,}1\,\% 
Anteil 1 =2531000=25,3%=\frac{253}{1000}=25{,}3\,\% 
Anteil 2 =5061000=50,6%=\frac{506}{1000}=50{,}6\,\% 
Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 in Frage kommen kann.
Auf einer Fähre befinden sich 20 Personen. Zwei Personen haben Schmuggelware dabei, einer dieser Schmuggler ist Felix. Ein Zollbeamter ruft der Reihe nach 3 Personen zur Kontrolle von der Fähre herunter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
mindestens einer der Schmuggler entdeckt wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Bilde das Gegenereignis.
P(„Mindestens einer der SchmugglerP(\text{„Mindestens einer der Schmuggler}
  wird entdeckt“)\;\text{wird entdeckt“})
=1P(„Keiner der Schmuggler  wird  entdeckt)=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)}
18 von 20 Personen an Bord sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird, ist 1820\frac{18}{20}. Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1719\frac{17}{19}. Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.
1P(„Keiner der Schmuggler  wird  entdeckt)=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)} = 1(182017191618)=279528,4%1-\left(\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19}\cdot\frac{16}{18}\right)=\frac{27}{95}\approx28{,}4\,\% 
Felix entdeckt wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten wie Felix entdeckt werden könnte. 1. Bei der ersten Kontrolle. 2. Erst bei der zweiten Kontrolle. Davor wird irgendeiner der anderen Passagiere kontrolliert. 3. Erst bei der dritten Kontrolle. Diese Möglichkeiten müssen addiert werden.
P(„Felix wird entdeckt“)=P(\text{„Felix wird entdeckt“})=
=120bei der 1. Kontrolle+(1920119)bei der 2. Kontrolle=\underbrace{\frac1{20}}_\text{bei der 1. Kontrolle}+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac1{19}\right)}_\text{bei der 2. Kontrolle}+(19201819118)bei der 3. Kontrolle=+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac1{18}\right)}_\text{bei der 3. Kontrolle}=
=120+120+120==\frac1{20}+\frac1{20}+\frac1{20}=
=320=0,15=15%=\frac3{20}=0{,}15=15\,\% 
beide Schmuggler bei dieser Kontrolle entdeckt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

P=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl mo¨glicher ErgebnisseP=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}
Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.
Es gibt (203)\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix} Möglichkeiten, 33 Menschen aus 2020 auszuwählen.
Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es 1818 günstige Ergebnisse.
(22)18(203)=11820!17!3!=1811400,016\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\cdot18}{\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{1\cdot18}{\displaystyle\frac{20!}{17!\cdot3!}}=\frac{18}{1140}\approx0{,}016
Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach, bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Erstelle zunächst ein Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen). Berechne dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. Auch die Betrachtung eines Gegenereignisses kann hilfreich sein.
Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.
Da jeder Monitor nur einmal geprüft werden muss (denn danach weiß man ja, ob er kaputt ist oder nicht), wird hier ohne Zurücklegen gezogen.
Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:

K=der angesehene Monitor ist kaputt\bf{K} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{kaputt}}
G=der angesehene Monitor ist gut\bf{G} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{gut}}
Das Zufallsexperiment, das hier beschrieben wird, lässt sich mithilfe des Urnenmodells untersuchen:

Die Monitore sind hier Kugeln in einer Urne. Es gibt zwei rote Kugeln (kaputte Monitore)\color{cc0000}\text{rote Kugeln (kaputte Monitore)} und zwei blaue Kugeln (gute Monitore)\color{009999}\text{blaue Kugeln (gute Monitore)}. Man zieht der Reihe nach eine Kugel (bzw. einen Monitor) ohne Zurücklegen aus der Urne, und sieht nach, ob sie rot (kaputt) oder blau (gut) ist.
Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:
Baumdiagramm
Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.
Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.

Fertig nach zwei Überprüfungen

Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:

  • Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad KKGG\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(KKGG)=241311=212=16.P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
  • Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}. In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(GGKK)=241311=212=16.P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:
P(KKGG)+P(GGKK)=16+16=1333,3%.\displaystyle P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) + P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 33,3\%.

Fertig nach drei Überprüfungen

Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:

Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer KKGG \color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG} und GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}.
Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:

Das Ereignis "nach drei U¨berpru¨fungen fertig" \text{"nach drei Überprüfungen fertig" } ist genau das Gegenereignis zu "nach zwei U¨berpru¨fungen fertig"\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}. Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt:
P("nach drei U¨berpru¨fungen fertig" )=1P("nach zwei U¨berpru¨fungen fertig")=11366,7%.\displaystyle \begin{array}{rcl} &&P(\text{"nach drei Überprüfungen fertig" })\\ \\ &=& 1 - P(\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}) \\\\ &=& 1 - \dfrac{1}{3} \approx 66,7\%. \end{array}
Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen sollst, das sehr viele Pfade hat, schau nach, ob das Gegenereignis weniger Pfade hat. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Eregnisses wie folgt berechnen:
P(Ereignis)=1P(Gegenereignis).\displaystyle P(\text{Ereignis}) = 1 - P(\text{Gegenereignis}).
Zwei Jungen und drei Mädchen sind eingeladen. Sie treffen nacheinander ein. Jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
abwechselnd ein Junge und ein Mädchen eintreffen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

P(MJMJM)=3524231211P\left(MJMJM\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}
=0,1=10%=0{,}1=10\,\% 
die drei Mädchen direkt nacheinander eintreffen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

P(MMMJJ)=3524132211=0,1=10%P(MMMJJ)=\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13\cdot\frac22\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 
P(JJMMM)=2514332211=0,1=10%P(JJMMM) = \frac25\cdot\frac14\cdot\frac33\cdot\frac22\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 
P(JMMMJ)=2534231211=0,1=10%P(JMMMJ)=\frac25\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 

P(3 Ma¨dchen hintereinander)=10%+10%+10%=30%\Rightarrow P(\text{3 Mädchen hintereinander})= 10\,\%+10\,\%+10\,\%=30\,\% 
In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 6 Spanier und 10 Schweizer. Zwei Personen werden zufällig ausgelost. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Schweizer ausgelost wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Geg.: 5 Franzosen, 6 Spanier, 10 Schweizer.
\Rightarrow  Insgesamt: 21 Personen.
P(„genau ein Schweizer“)P(\text{„genau ein Schweizer“})
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schweizer ausgelost wird, ist 1021\frac{10}{21}. Beim 2. Losen dürfen nur Spanier oder Franzosen gezogen werden. Daher 1120\frac{11}{20}. Da aber auch erst ein Franzose oder Spanier und dann erst ein Schweizer gezogen werden kann, muss das Ganze mal 2 genommen werden.
=10211120+11211020=\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}+\frac{11}{21}\cdot\frac{10}{20}
=2(10211120)=2\cdot\left(\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}\right)
=21142=2\cdot\frac{11}{42}
=112152,4%=\frac{11}{21}\approx52{,}4\,\% 
In einer Schublade befinden sich 6 graue, 4 blaue und 4 rote Socken. Im Dunkeln werden der Schublade 2 Socken entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Socken von der gleichen Farbe?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit berechnen

Inhalt der Schublade: 14 Socken, davon 6 graue, 4 blaue und 4 rote.
Je nachdem, welche Socke zuerst gezogen wird, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für die geforderte gleiche 2. Socke. Bei jeder der 3 Möglichkeiten können anfangs noch 14 Socken gezogen werden, beim 2. Ziehen nur noch 13, da eine schon herausgenommen wurde.
614513+414313+414313\dfrac6{14}\cdot\dfrac5{13}+\dfrac4{14}\cdot\dfrac3{13}+\dfrac4{14}\cdot\dfrac3{13}
614513+414313+414313\dfrac6{14}\cdot\dfrac5{13}+\dfrac4{14}\cdot\dfrac3{13}+\dfrac4{14}\cdot\dfrac3{13}\\
=1591+691+691=\dfrac{15}{91}+\dfrac6{91}+\dfrac6{91}
=279129,7%=\dfrac{27}{91}\approx29{,}7\,\% 
Eine Urne enthält 7 blaue und 5 rote Kugeln. Man zieht 4 Kugeln einmal mit und einmal ohne Zurücklegen. Dabei erhält man die Farbfolge blau, rot, rot, blau. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis in beiden Fällen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit berechnen

b=blau
r=rot

Ziehen mit Zurücklegen

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer 712\frac7{12} für eine blaue Kugel bzw. 512\frac5{12} für eine rote Kugel, da alle Kugeln wieder zurückgelegt werden.
PP(„bei 4-maligem Ziehen brrb-Farbreihenfolge“)
=512712712512=\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12}\cdot\frac{5}{12}
=1225207365,91%=\frac{1225}{20736}\approx5{,}91\,\% 

Ziehen ohne Zurücklegen

Sobald eine Kugel herausgenommen wird, ist beim nächsten Ziehen eine Kugel weniger in der Urne.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel beim ersten Zug 712\frac{7}{12}.
Danach sind noch 11 Kugeln in der Urne. 5 davon sind rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit 511\frac{5}{11} als zweites eine rote Kugel zu ziehen.

Danach sind noch 10 Kugeln in der Urne. 4 davon sind rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit 410\frac{4}{10} als drittes eine rote Kugel zu ziehen.

Danach sind noch 9 Kugeln in der Urne. 6 davon sind rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit 69\frac{6}{9} als viertes eine blaue Kugel zu ziehen.
PP(„bei 4-maligem Ziehen brrb-Farbreihenfolge“)
=71251141069=\frac{7}{12}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}
=7997,07%=\frac7{99}\approx7{,}07\,\% 

Bei einem Gewinnspiel auf dem Volksfest stehen zwei Möglichkeiten für Max zur Verfügung. Bei der ersten gewinnt man, wenn man aus einer Urne mit 6 weißen und 4 roten Kugeln bei einmaligem Ziehen eine weiße Kugel erhält, bei der zweiten, indem man aus zwei Urnen, einer mit gleich vielen weißen und roten Kugeln und einer wie bei der ersten Möglichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zieht. Welche der beiden Möglichkeiten sollte Max wählen, um eine möglichst hohe Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn zu haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

1. Möglichkeit:

Insgesamt: 6w ;  4r
Es gibt 6 Möglichkeiten, dass eine weiße Kugel gezogen wird.
P("bei einmaligem Ziehen 1 weiße Kugel")=610=60%P({\text{"bei einmaligem Ziehen 1 weiße Kugel"}})=\frac6{10}=60\% 

2. Möglichkeit:

Urne 1: 6w ; 4r
Urne 2: x w ; x r
Wenn Max in Urne 1 zuerst eine Weiße zieht, muss er in Urne 2 eine Rote ziehen.
Wenn er in Urne 1 zuerst eine Rote zieht, muss er in Urne 2 eine Weiße ziehen.
In Urne 2 ist die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln gleich (   x  r  ;  x  w\rightarrow\;x\;r\;;\;x\;w ), deshalb ist jeweils die Chance die andere Farbe wie in Urne 1 zu ziehen 12\frac12 .
61012+41012=620+420\frac6{10}\cdot\frac12+\frac4{10}\cdot\frac12=\frac6{20}+\frac4{20}
=1020=12=50%=\frac{10}{20}=\frac12=50\% 
Multipliziere die Brüche im ersten Schritt und addiere die Brüche danach.
  \;\Rightarrow Es ist günstiger für Max die 1. Möglichkeit zu nehmen, da er eine höhere Gewinnchance hat.


Eine Laplace-Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. P(E)="Es fällt genau einmal Kopf"

  2. P(E)="Es fällt mindestens einmal Kopf"

  3. P(E)="Es fällt höchstens einmal Kopf"

Teilaufgabe a

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZK;\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=2%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac24=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt genau einmal Kopf.

Teilaufgabe b

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;KK;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt mindestens einmal Kopf.

Teilaufgabe c

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZZ;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt höchstens einmal Kopf.