10Die Kettenregel am Beispiel

Schau dir das Beispiel von vorher nochmal an:

\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2 +1)^\frac 1 3

Die innere Funktion ist die Basis der Potenzfunktion.

$v(x)= x^2+1$

$v'(x)=2x$

Die äußere Funktion ist der Exponent der Potenzfunktion zur neuen Basis $x$ .

$u(x)=x^\frac 1 3$

$u'(x)=\frac 13 x^{\frac 1 3 -1}$

Subtrahiere im Exponenten.

$u'(x)=\frac 1 3 x^{-\frac 2 3}$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle u'(v(x))\cdot v'(x)$
	↓	Setze die Ergebnisse von oben ein. Beachte, dass die Funktionen $u'$ und $v$ verkettet werden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot2x$
	↓	Berechne $\frac 1 3 \cdot 2x$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{3}(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Da der Exponent der Klammer negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{3}\cdot\frac{1}{(x^2+1)^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten von $(x^2+1)$ ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

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