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Aufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen

  1. 1

    Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion f(x)=4x2+32x2+16−2f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2 berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).

    Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm betrÀgt.

    Bild
  2. 2

    Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

    1. f(x)=7x−38x−5f(x)=\frac{7x-3}{8x-5}

    2. f(x)=x3(x−1)2+7xf(x)=\frac{x^3}{\left(x-1\right)^2}+7x

  3. 3

    Wie Ă€ndert sich der Wert des Terms T(x)=1−1xT\left(x\right)=1-\frac1x , wenn x „immer grĂ¶ĂŸer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

  4. 4

    Gegeben ist der Term T(a)=31−aT\left(a\right)=\frac3{1-a} .

    1. Berechne T(4), T(–5) und T(12)T\left(\frac12\right) .

    2. Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

    3. ErlĂ€utere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

  5. 5

    Gegeben ist der Bruchterm T(x)=1x−1x+2T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2} .

    1. Gib die Definitionsmenge des Terms T(x)=1x−1x+2T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2} an.

    2. Fasse die beiden BrĂŒche zusammen und vereinfache.

    3. Berechne T(3).

  6. 6

    Gegeben ist die Funktion h:  x↩1+xx−2h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}

    1. Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

    2. An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

  7. 7

    Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

    Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion
    1. Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen y=x−21+xy=\frac{x-2}{1+x} und y=−12x+1y=-\frac12x+1.

      Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung x−21+x=−12x+1\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1.

      Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.


    2. Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung x−21+x=−1\frac{x-2}{1+x}=-1 .


  8. 8

    Zeichne die Graphen zu den Termen  f(x)=xx−2\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}  und  g(x)  =  13x\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x  in ein Koordinatensystem.

    Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  f(x)=−3\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3  und die Schnittpunkte von f und g.

  9. 9

    Zeichne die Graphen der Funktionen f:  x↩3x+2f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2} und f1:  x↩12−xf_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}

    Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und ĂŒberprĂŒfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)


  10. 10

    Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift f:x↩2x2x+3f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3} .

    1. Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

    2. Berechne f(10), f(100), f(1000).

    3. Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

    4. Gib die Gleichungen der Asymptoten von  GfG_f an.

  11. 11

    Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den DefinitionslĂŒcken sowie fĂŒr x→±∞\mathrm x\rightarrow\pm\infty . Skizziere den Graphen.

    1. f(x)=2−x0,2x2−1\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0{,}2\mathrm x^2-1}

    2. g(x)=0,5x2−21−x\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0{,}5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}

    3. h(x)=x−1+2xx2+1\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}

    4. k(x)=x2x−4−x2+1x\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}

    5. m(x)=2+x+0,5x2x2−4\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0{,}5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}

    6. n(x)=2x+x22x−1\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}

  12. 12

    Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

  13. 13

    Spiegeln, verschieben, stauchen

    Zeichne den Graphen der Funktion f(x)=3xf(x)=\frac3x und bestimme damit die Graphen von g(x)=−3x−2g(x)=-\frac3x-2 , h(x)=3x+1,5h(x)=\frac3{x+1{,}5} und k(x)=1,5xk(x)=\frac{1{,}5}x

  14. 14

    Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

      • Der Graph von ff berĂŒhrt die x-Achse an der Stelle x=−1x=-1;

      • die Funktion ff hat die Polstelle x=3x=3.

    1. Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x1=2{\mathrm x}_1=2 und fĂŒr x→±∞\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5\mathrm y=0{,}5

    2. Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x1=−1{\mathrm x}_1=-1 und  x2=2{\mathrm x}_2=2 und fĂŒr x→±∞\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5x−1\mathrm y=0{,}5\mathrm x-1

    3. Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x1=−2{\mathrm x}_1=-2 , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat fĂŒr x→±∞\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0\mathrm y=0

    4. Der Graph von f hat eine Polstelle bei x1=0{\mathrm x}_1=0 und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

      FĂŒr x→±∞\mathrm x\rightarrow\pm\infty hat der Graph die Asymptote y=0\mathrm y=0 und bei x2=2{\mathrm x}_2=2 befindet sich eine Nullstelle.

  15. 15

    Gegeben ist die Funktion f:x↩f(x)=1x2+2f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2   mit maximaler Definitionsmenge.

    1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

    2. Weise nach, dass der Graph der Funktion ff achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

    3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

    4. FĂŒr welche Werte von xx unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion ff um weniger als  1100\frac{1}{100} vom Wert 22?


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